Table of Contents
مقدمة تمهيدية
في هذا الفصل ندخل إلى قلب حساب المتجهات من خلال ثلاثة مفاهيم أساسية هي التدرّج، والتباعد، والدوران. هذه الكميات المتجهية والقياسية تُعرّف عندما يكون لدينا دوال تعتمد على متغيرات مكانية مثل $x$ و $y$ و $z$، وتظهر في كل فروع الفيزياء تقريبًا، من الشحنات الكهربائية والمجالات الجاذبية إلى حركة الموائع وانتشار الحرارة.
سنفترض أنك تعرف فكرة المتجهات، والإحداثيات، والمشتقات الجزئية من الفصول السابقة، ونركِّز هنا على ما هو خاص بهذه العمليات الثلاث وكيف تُستخدم في التعبير عن البنى المكانية للمجالات.
التدرّج (Gradient)
فكرة التدرّج
تخيّل سطحًا جبليًا يمثله ارتفاع الأرض بدالة $f(x,y)$ أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد بدالة $f(x,y,z)$. عند كل نقطة، يمكن أن نسأل: في أي اتجاه تصعد بأسرع شكل ممكن؟ وكم تكون سرعة الارتفاع إذا تحركت خطوة صغيرة في هذا الاتجاه؟
الإجابة على هذا السؤال يقدّمها التدرّج. التدرّج يحوّل دالة قياسية مثل $f$ إلى متجه عند كل نقطة يحدّد:
- اتجاه أكبر زيادة للدالة.
- معدل هذه الزيادة في هذا الاتجاه، أي "حدة" أو "شدة" الصعود.
التعريف الرياضي للتدرّج
لنفترض أن لدينا حقلًا قياسيًا في الفضاء الثلاثي $f(x,y,z)$. التدرّج يُرمز له بـ $\nabla f$ أو $\text{grad}\,f$ ويُعرّف بصيغة:
$$
\nabla f =
\left(
\frac{\partial f}{\partial x},
\frac{\partial f}{\partial y},
\frac{\partial f}{\partial z}
\right)
$$
يمكن أيضًا كتابته على شكل استعمال العامل $\nabla$:
$$
\nabla =
\left(
\frac{\partial}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}
\right),
\qquad
\nabla f =
\left(
\frac{\partial}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}
\right) f
$$
هنا $f$ دالة عددية، و$\nabla f$ متجه.
مثال بسيط
خذ الحقل القياسي
$$
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2.
$$
نحسب المشتقات الجزئية:
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x,\quad
\frac{\partial f}{\partial y} = 2y,\quad
\frac{\partial f}{\partial z} = 2z.
$$
إذن:
$$
\nabla f = (2x, 2y, 2z).
$$
في الفيزياء، إذا كانت $f$ تمثّل "جهدًا" مثل الجهد الجاذبي أو الكهربائي، فإن التدرّج يعطي اتجاه ومقدار أعظم تغير للجهد في المكان.
التفسير الهندسي والفيزيائي
يمكن فهم التدرّج من عدّة زوايا مترابطة.
اتجاه أكبر زيادة
إذا أخذت متجهًا وحديًا $\hat{u}$ وأردت حساب معدل التغير في $f$ عندما تمشي في اتجاه $\hat{u}$، فإن هذا المعدل هو:
$$
\frac{df}{ds} = \nabla f \cdot \hat{u}
$$
حيث $s$ هو طول المسار. يصبح المعدل أكبر ما يمكن عندما يكون $\hat{u}$ في نفس اتجاه $\nabla f$. ولهذا نقول إن التدرّج يشير إلى اتجاه أكبر زيادة للدالة.
خطوط التساوي وعمودية التدرّج
في كثير من التطبيقات نرسم "منحنيات أو سطوح تساوي" مثل خطوط تساوي الارتفاع في الخرائط الطبوغرافية. هذه الخطوط تمثّل مواضع ذات نفس القيمة لـ $f$.
في هذه الحالة يكون التدرّج عند أي نقطة عموديًا على سطح أو منحنى التساوي الذي يمر بتلك النقطة. عمليًا، إذا كانت $f$ ثابتة على سطح معيّن، فإن التحرك على هذا السطح لا يغيّر قيمة $f$، لذلك يكون اتجاه تغير $f$ الأعظم متجهًا بعيدًا عن السطح وليس بداخله.
العلاقة مع القوى المحافظة
في مجالات كثيرة في الميكانيكا يُستفاد من أن القوى "المحافظة" يمكن التعبير عنها كتدرّج لجهد مع إشارة سالبة، مثلًا:
$$
\vec{F} = - \nabla U
$$
حيث $U$ طاقة كامنة. هذا المعنى التفصيلي يُناقش في فصل الطاقة، لكن من المفيد ملاحظة أن التدرّج يربط بين مجال قياسي مثل الجهد ومجال متّجه مثل القوة.
قاعدة مهمّة
التدرّج يُطبّق على الحقول القياسية فقط. إذا كانت الكمية معطاة أصلاً على شكل متجه مثل $\vec{A}(x,y,z)$، لا يمكنك ببساطة أن تكتب $\nabla \vec{A}$ كأنها تدرّج عادي. التعامل مع الحقول المتجهة له صيغ خاصة مثل التباعد والدوران التي سنراها الآن.
التباعد (Divergence)
فكرة التباعد
التباعد يصف "مدى انتشار" أو "خروج" حقل متجه من نقطة ما. تخيّل حقل سرعة لمائع ينساب داخل أنبوب على سبيل المثال. عند نقطة ما قد يكون المائع متجمّعًا ومتدفقًا نحو الداخل، أو يخرج منها إلى الخارج، أو يمرّ عبرها من دون أن يكون هناك "مصدر" أو "مصب" محلي.
التباعد يعطي عددًا واحدًا عند كل نقطة يعبّر عن هذا السلوك:
- قيمة موجبة تعني سلوكًا كمصدر، الحقل يخرج من النقطة.
- قيمة سالبة تعني سلوكًا كمصب، الحقل يدخل إلى النقطة.
- قيمة صفر تعني أن النقطة ليست مصدرًا ولا مصبًا للحقل في ذلك الموضع.
التعريف الرياضي للتباعد
إذا كان لدينا حقل متجه:
$$
\vec{F}(x,y,z) = (F_x(x,y,z), F_y(x,y,z), F_z(x,y,z))
$$
فإن التباعد، ويرمز له بـ $\nabla \cdot \vec{F}$ أو $\text{div}\,\vec{F}$، يُعرّف بـ:
$$
\nabla \cdot \vec{F} =
\frac{\partial F_x}{\partial x} +
\frac{\partial F_y}{\partial y} +
\frac{\partial F_z}{\partial z}
$$
هنا الناتج عدد قياسي عند كل نقطة، ليس متجهًا.
مثال على التباعد
لنأخذ:
$$
\vec{F}(x,y,z) = (x, y, z).
$$
نحسب التباعد:
$$
\nabla \cdot \vec{F} =
\frac{\partial}{\partial x}(x) +
\frac{\partial}{\partial y}(y) +
\frac{\partial}{\partial z}(z)
= 1 + 1 + 1 = 3.
$$
التباعد ثابت ويساوي $3$ في كل مكان. يمكن اعتبار هذا الحقل حقلًا يخرج من كل نقطة بشكل "متجانس".
تفسير فيزيائي موجز
من أهم التفسيرات للتمايع في الفيزياء يظهر في سياق معادلات الحفظ مثل حفظ الكتلة أو الشحنة. إذا اعتبرنا $\vec{F}$ حقل كثافة تدفق مثل "تدفق كمية مادية" فإن التباعد يرتبط بمعدل تغيّر الكمية الموجودة داخل حجم صغير.
إذا كان:
$$
\nabla \cdot \vec{F} = 0
$$
فإن الحقل يوصف بأنه "عديم التباعد" أو "لا تباعدي". في سياق الموائع هذا يعني أنه لا يوجد مصدر ولا مصب داخلي، وكل ما يدخل من سطح حجم معيّن يخرج من سطح آخر. في سياق الكهرباء، استخدام مثل هذه الصيغ يقود إلى شكل من أشكال معادلات ماكسويل، لكن التفاصيل تأتي في موضعها من المقرّر.
ملاحظة
التباعد يُعرّف فقط للحقول المتجهة. لا معنى للتباعد لدالة قياسية $f$ مباشرة. إذا صادفت تعبيرًا مثل $\nabla \cdot f$ فعادة إما أن يكون خطأ أو أنه يُفهم ضمن سياق خاص كتحويل $f$ إلى متجه بطريقة معيّنة سبق تعريفها.
العلاقة بين التدرّج والتباعد
يمكن تركيب العمليات ببعضها. من التركيبات المهمّة:
- تباعد تدرّج دالة قياسية:
$$
\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f
$$
ويسمّى هذا العامل "مؤثر لابلاس" أو "لابلاسيان" للدالة $f$. يظهر هذا الشكل في معادلات انتشار الحرارة، والمعادلة الموجية، ومعادلات الجهد في الكهرباء والجاذبية.
هنا يكفي أن نلاحظ أنّ:
- التدرّج يحوّل حقلًا قياسيًا إلى متجه.
- التباعد يحوّل حقلًا متجهيًا إلى قياسي.
- تركيب الاثنين يعيدنا إلى حقل قياسي مرة أخرى هو $\nabla^2 f$.
الدوران (Curl)
فكرة الدوران
في حين أن التباعد يصف "مصادر" الحقل و"مصابّه"، فإن الدوران يصف "الالتفاف" أو "الدوران الموضعي" للحقل. هذا مفيد جدًا في دراسة دوران الموائع، والدوّامات، وبعض الحقول الكهرومغناطيسية.
تخيّل حقل سرعة لمائع يتحرّك حول محور، قد يكون هناك دوران واضح حول نقطة معيّنة حتى لو لم يكن هناك تباعد. الدوران يقيس مدى "قابلية الحقل لإحداث دوران لجسيم صغير" موضوع في هذا الحقل.
التعريف الرياضي للدوران
لدينا حقل متجه:
$$
\vec{F}(x,y,z) = (F_x, F_y, F_z).
$$
الدوران، ويرمز له بـ $\nabla \times \vec{F}$ أو $\text{curl}\,\vec{F}$، هو حقل متجه يُعرّف في الإحداثيات الديكارتية على النحو الشائع باستخدام محدّد رمزي:
$$
\nabla \times \vec{F} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} &
\frac{\partial}{\partial y} &
\frac{\partial}{\partial z} \\
F_x & F_y & F_z
\end{vmatrix}
$$
والذي يعادل مكوّنات:
$$
\nabla \times \vec{F} =
\left(
\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},
\,
\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},
\,
\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\right)
$$
الناتج متجه عند كل نقطة، يعبّر عن "محور وشدة الدوران" للحقل.
مثال على الدوران
لنأخذ حقلًا في المستوى معتمدًا على $x$ و $y$:
$$
\vec{F}(x,y,z) = (-y, x, 0).
$$
يمكن تفسير هذا الحقل كحقل سرعة لجسيمات تتحرك في دوائر حول محور $z$.
نحسب الدوران:
- المركبة $x$ للدوران:
$$
(\nabla \times \vec{F})_x =
\frac{\partial F_z}{\partial y} -
\frac{\partial F_y}{\partial z} =
\frac{\partial (0)}{\partial y} - \frac{\partial (x)}{\partial z} = 0
$$ - المركبة $y$ للدوران:
$$
(\nabla \times \vec{F})_y =
\frac{\partial F_x}{\partial z} -
\frac{\partial F_z}{\partial x} =
\frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial (0)}{\partial x} = 0
$$ - المركبة $z$ للدوران:
$$
(\nabla \times \vec{F})_z =
\frac{\partial F_y}{\partial x} -
\frac{\partial F_x}{\partial y} =
\frac{\partial (x)}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} =
1 - (-1) = 2
$$
إذن:
$$
\nabla \times \vec{F} = (0, 0, 2).
$$
لدينا دوران ثابت حول محور $z$، يشير إلى أن الحقل يسبب دورانًا حول هذا المحور بشدة ثابتة.
معنى "عديم الدوران"
إذا كان:
$$
\nabla \times \vec{F} = \vec{0}
$$
نقول إن الحقل "عديم الدوران" أو "خالي من الدوّامات". في هذه الحالة هناك خصائص مهمّة، منها أن الحقل يمكن غالبًا أن يُكتب على صورة تدرّج حقل قياسي في نطاق مناسب، أي:
$$
\vec{F} = \nabla f
$$
لأجل دالة قياسية ما. هذه العلاقة بين انعدام الدوران وكون الحقل تدرّجًا لحقل قياسي تظهر بوضوح في القواعد التي تحكم الحقول المحافظة.
العلاقة بين الدوران والتدرّج
يوجد تركيب مهم بين التدرّج والدوران هو دوران تدرّج دالة قياسية:
$$
\nabla \times (\nabla f) = \vec{0}
$$
أي أن أي حقل من الشكل $\nabla f$ يكون حقلًا عديم الدوران دائمًا. هذه علاقة عامة تنطبق على أي دالة سلسة بشكل كافٍ.
يمثل هذا واحدة من "الهويات" الأساسية في حساب المتجهات، وتُستخدم بكثرة في تبسيط المعادلات وفي إثبات خصائص الحقول الفيزيائية مثل الجهد الكهربائي والجهد الجاذبي.
هوية مهمة
لكل دالة قياسية سلسة $f$:
$$
\nabla \times (\nabla f) = \vec{0}
$$
ولكل حقل متجه سلس $\vec{F}$:
$$
\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0
$$
أي أن تباعد دوران حقل متجه يساوي دائمًا صفر. هذه الهويات تستعمل كثيرًا في الفيزياء والرياضيات، وتساعد في التحقق من صحة الحسابات.
نظرة موحّدة على $\nabla$
العامل $\nabla$ أداة موحّدة لحساب المشتقات في الفضاء. كيف يعمل تختلف باختلاف نوع "الضرب" الذي نختاره:
- عندما نطبّقه على حقل قياسي بدون ضرب نحصل على التدرّج:
$$
\nabla f
$$
- عندما نأخذ "الضرب القياسي" بين $\nabla$ وحقل متجه نحصل على التباعد:
$$
\nabla \cdot \vec{F}
$$
- عندما نأخذ "الضرب الاتجاهي" بين $\nabla$ وحقل متجه نحصل على الدوران:
$$
\nabla \times \vec{F}
$$
هذا الأسلوب في الكتابة ليس مجرد حيلة شكلية. هو يختصر أنماط مشتقات متعددة في صيغة واحدة مدمجة تسهّل قراءة وصياغة المعادلات الفيزيائية.
ارتباط هذه المفاهيم بالفيزياء الكلاسيكية
من غير المناسب هنا الدخول في تفاصيل كل تطبيق، لأن فصولًا لاحقة ستستخدم هذه الأدوات في سياقات محددة، لكن من المفيد الإشارة بإيجاز إلى مواضع ظهورها كي تتضح أهميتها:
- التدرّج يظهر في تعريف القوى المحافظة من الجهد، وفي حساب ميل الجهد الجاذبي والكهربائي.
- التباعد يظهر في معادلات الاستمرارية وحفظ الكتلة أو الشحنة، وفي وصف كيف تعمل الشحنات كمصادر للمجال الكهربائي.
- الدوران يظهر في وصف الحقول الدوّامية في الموائع وفي المغناطيسية، وفي فهم كيف يمكن لمجال أن يحرك الأشياء على شكل دوران بدلًا من حركة مباشرة.
مع التدرّج والتباعد والدوران يصبح لدينا لغة رياضية قوية لوصف كيف "يتغير" شيء في المكان، سواء كان عددًا مثل درجة الحرارة أو متجهًا مثل السرعة أو القوة. هذه اللغة ستُستخدم بتكرار في بقية أجزاء الميكانيكا الكلاسيكية، وفي فروع أخرى من الفيزياء.