Table of Contents
مقدمة إلى مخططات الجسم الحر
في هذه المرحلة من دراسة ديناميكا نيوتن تكون فكرة القوة وقوانين نيوتن نفسها معرّفة سابقا. ما نركّز عليه هنا هو أداة عملية قوية تساعد على تطبيق هذه القوانين بشكل منظّم وهي مخططات الجسم الحر. هذه الأداة هي الجسر بين المسألة الكلامية والمعادلات الرياضية التي تصف الحركة.
مخطط الجسم الحر ليس رسما زخرفيا بل لغة مختصرة لوصف القوى التي تؤثر في جسم واحد. كلما كان هذا المخطط واضحا وصحيحا أصبحت كتابة معادلات نيوتن أبسط وأقل عرضة للأخطاء.
الفكرة الأساسية لمخطط الجسم الحر
مخطط الجسم الحر هو رسم نمثّل فيه جسما واحدا مع جميع القوى الخارجية المؤثرة فيه ولا شيء غير ذلك. كلمة "حر" تعني أننا نتصور أن الجسم "تحرر" من كل ما حوله ثم نعوّض تأثير ما حوله بقوى فقط.
لا نهتم في هذا المخطط بشكل الجسم الحقيقي ولا لونه ولا تفاصيله الدقيقة. يكفي نقطة أو مستطيل صغير يمثل الجسم. المهم هو تمثيل اتجاه ومكان كل قوة وكتابة رمزها بوضوح.
مهم
في مخطط الجسم الحر لا نرسم:
- أكثر من جسم واحد في نفس المخطط.
- القوى التي يؤثر بها الجسم في الأجسام الأخرى.
- التسارع على شكل矢 كقوة, التسارع ليس قوة.
خطوات رسم مخطط الجسم الحر
هناك طريقة منهجية يمكن اتباعها في معظم المسائل. مع الممارسة ستصبح هذه الخطوات تلقائية.
اختيار الجسم وتحديده
أول قرار هو: ما هو "الجسم" الذي سنرسم له المخطط. قد يكون جسما واحدا مثل صندوق أو سيارة, وقد يكون نظاما أبسط أو أعقد مثل عربة متصلة بكتلة أو حتى عدة كتل ننظر إليها كنظام واحد.
بعد الاختيار نرسم شكلا مبسطا للجسم غالبا نقطة أو مستطيلا صغيرا في منتصف الصفحة. من هذه اللحظة نتخيل أن هذا الجسم معزول عن محيطه وكل ما حوله سيمثل بقوى.
تحديد إطار الإحداثيات
بما أن قوانين نيوتن تكتب في صورة متجهات فمن المفيد أن نختار محورا $x$ ومحورا $y$, وأحيانا محور $z$ في المسائل ثلاثية الأبعاد.
عادة نختار:
- محور واحد موازيا لاتجاه الحركة أو الميل في المسائل على سطح مائل.
- محورا عموديا عليه.
اختيار الإحداثيات اختيار حر لكن اختيارا ذكيا يمكن أن يبسط كثيرا معادلات القوى.
حصر القوى المؤثرة
الخطوة الأهم هي قائمة القوى. هنا نستعمل فهمنا لأنواع القوى التي ستُناقش في فصل "القوى" مثل قوة الوزن, قوة السطح العمودية, قوة الشد, قوة الاحتكاك, قوة الزنبرك وغيرها, لكننا هنا نركّز على تمثيلها في المخطط.
لكل قوة نسأل:
- من هو الجسم الذي يؤثر بالقوة؟
- أين تؤثر هذه القوة على الجسم المدروس؟
- ما هو اتجاه هذه القوة؟
ثم نرسم متجه قوة سهم يبدأ من الجسم ويمتد في اتجاه تأثير القوة. نكتب بجانب السهم رمزا واضحا مثل $W$, $T$, $N$, $f$, أو $F$ مع وصف إذا لزم الأمر.
قاعدة عامة
لكل تأثير فيزيائي خارجي على الجسم يجب تمثيل قوة واحدة فقط في المخطط, ولا نضع قط قوتين للتعبير عن نفس التأثير.
مراجعة المخطط
بعد أن نعتبر أننا أنهينا الرسم نعطي أنفسنا دقيقة لمراجعته:
- هل أغفلنا قوة ظاهرة مثل الوزن؟
- هل رسمنا قوة غير موجودة؟ أحيانا نتوهم وجود احتكاك رغم أن السطح أملس.
- هل اتجاه كل سهم مقنع بالمقارنة مع الوصف الكلامي للمسألة؟
أنواع القوى في مخطط الجسم الحر
لن نعيد تعريف القوى بالتفصيل هنا بل نركّز على كيف تظهر في المخطط.
قوة الوزن
قوة الوزن هي تأثير الجاذبية الأرضية على الجسم. في مخطط الجسم الحر تظهر دائما متجهة إلى أسفل نحو مركز الأرض مهما كان ميل السطح.
رمزها الشائع $W$ أو $\vec{W}$ وغالبا ما نكتب $mg$ عند الانتقال إلى المعادلات حيث $m$ الكتلة و $g$ تسارع الجاذبية.
القوى العمودية وقوى التلامس
عندما يلامس الجسم سطحا صلبا فإن السطح يؤثر فيه بقوة عمودية على السطح تسمى القوة العمودية ورمزها $N$ أو $\vec{N}$.
في المخطط نرسم هذه القوة من نقطة التلامس تقريبا, متجهة عموديا على السطح, وليس بالضرورة عمودية على اتجاه الجاذبية.
إذا كان هناك حبل أو خيط مشدود متصل بالجسم نرسم قوة شد $T$ في اتجاه الحبل بعيدا عن الجسم لأن الحبل "يسحب" ولا "يدفع".
قوى الاحتكاك
إذا كان هناك احتكاك على سطح خشن فهو يظهر في المخطط كقوة على السطح, موازية للسطح ومعاكسة لاتجاه الحركة أو اتجاه الحركة المحتملة.
في حالة احتكاك ساكن قد لا نعرف قيمته بدقة ولكنه يتجه دائما ليمنع الانزلاق.
نرمز لقوة الاحتكاك ب $f$ أو $f_k$ للاحتكاك الحركي و $f_s$ للاحتكاك الساكن.
قوى أخرى
قد توجد قوة مطبّقة من شخص يدفع أو يسحب جسما, أو قوة زنبرك, أو مقاومة هواء, أو قوى مغناطيسية. كلها تمثّل في نفس الإطار كمتجهات بقيم ورموز واتجاهات تناسب الوصف في المسألة.
من المخطط إلى معادلات نيوتن
بعد رسم المخطط يأتي دور قوانين نيوتن في كل من المحورين أو المحاور المختارة. هنا لا نكرّر صياغة القوانين, بل نبيّن كيف يساعدنا المخطط على كتابتها.
أولا نحلل كل قوة إلى مركبات على المحاور. إذا اخترنا مثلا محور $x$ أفقيا و $y$ عموديا فنكتب لكل قوة:
$$
\vec{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j}
$$
ثم نستخدم قانون نيوتن الثاني على كل محور على حدة:
$$
\sum F_x = m a_x
$$
$$
\sum F_y = m a_y
$$
المهم هنا أن كل مجموع قوى في اتجاه معين يأتي مباشرة من سهام المخطط. إذا لم يظهر سهم في اتجاه معين لن تدخل قوته في مجموع قوى ذلك الاتجاه.
قاعدة منهجية
لا تكتب أي قوة في معادلات نيوتن ما لم تكن ممثلة بسهم في مخطط الجسم الحر. وبالمقابل, كل سهم في المخطط يجب أن يظهر في معادلة واحدة أو أكثر حسب مركباته.
مثال تفصيلي على مخطط جسم حر
مثال
صندوق كتلته $m$ موضوع على سطح أفقي خشن. يؤثر شخص بقوة أفقية ثابتة $F$ تدفع الصندوق إلى اليمين. يتحرك الصندوق بسرعة متزايدة.
المطلوب رسم مخطط الجسم الحر للصندوق.
الحل المفهومي للمخطط:
- نختار الجسم: الصندوق نفسه.
- نرسمه مستطيلا صغيرا في الوسط.
- نختار محاور: $x$ أفقيا إلى اليمين, $y$ عموديا إلى الأعلى.
- نحدد القوى:
- الوزن $\vec{W}$ متجه إلى أسفل: سهم من مركز الصندوق للأسفل مكتوب بجانبه $mg$.
- القوة العمودية $\vec{N}$ من السطح إلى الأعلى, عمودية على السطح الأفقي: سهم إلى الأعلى مكتوب بجانبه $N$.
- قوة الدفع $\vec{F}$, أفقية إلى اليمين: سهم من جانب الصندوق إلى اليمين مكتوب $F$.
- قوة الاحتكاك $\vec{f}_k$, أفقية إلى اليسار لأنها تعاكس الحركة إلى اليمين: سهم إلى اليسار مكتوب $f_k$.
- نراجع:
لا توجد قوى أخرى ظاهرة مثل شد أو زنبرك. السطح أفقي إذن $\vec{N}$ عمودي تماما على $\vec{W}$.
الآن من هذا المخطط يمكننا بالسهولة كتابة:
على المحور $x$:
$$
F - f_k = m a_x
$$
على المحور $y$:
$$
N - mg = 0
$$
حيث استخدمنا حقيقة أن التسارع عمودي على المحور $y$ يساوي صفرا في هذا المثال.
اختيار الإحداثيات المناسبة
في بعض المسائل يكون اختيار المحاور أساسيا لتبسيط الحسابات. هذه المهارة جزء من استخدام مخططات الجسم الحر.
في حركة على سطح مائل يكون من المريح أن نجعل أحد المحاور موازيا للميل والآخر عموديا عليه. حينها:
- قوة الوزن تبقى متجهة إلى الأسفل لكننا نحللها إلى مركبتين واحدة على طول السطح والأخرى عمودية عليه.
- القوة العمودية تصبح على المحور العمودي على السطح.
- الاحتكاك يكون موازيا للسطح.
بهذا تصبح معادلات نيوتن على المحورين بسيطة لأن عددا من القوى يسقط بالكامل من أحد المحورين.
مخططات الجسم الحر للأنظمة المترابطة
عندما يكون لدينا أكثر من جسم متصل بحبال أو سطوح قد نضطر لرسم عدة مخططات جسم حر, واحد لكل جسم. في كل مخطط نمثّل فقط القوى التي تؤثر على ذلك الجسم وحده.
قوة الشد في الحبل مثلا تظهر في مخطط كل جسم متصل بالحبل, ولكنها تظهر باتجاهات معاكسة على كل جسم حسب كونه مسحوبا أو ساحبا. لا نرسم في أي مخطط القوة التي يؤثر بها الجسم نفسه في الحبل, لأننا نركز على القوى المؤثرة عليه هو.
هذه الطريقة تسمح بكتابة معادلات نيوتن لكل جسم ثم حلها معا باستخدام المعلومات المشتركة مثل أن الشد في حبل خفيف مثالي يكون نفسه على طوله, أو أن التسارعات مرتبطة بعضها ببعض.
أخطاء شائعة في مخططات الجسم الحر
هناك مجموعة من الأخطاء التي يقع فيها المبتدئون يمكن تجنبها بسهولة إذا كنا واعين لها.
رسم قوى داخلية
أحيانا يرسم الطالب قوة أن "الصندوق يدفع الحبل" في مخطط الصندوق نفسه أو يرسم قوتين متعاكستين بنفس المقدار على نفس الجسم تسميان "قوتين فعل ورد فعل". حسب قانون نيوتن الثالث هذه القوى تؤثر على جسمين مختلفين فلا يجب أن توضع معا في مخطط جسم واحد.
في مخطط الجسم الحر نضع فقط القوى الخارجية على هذا الجسم, وليس القوى التي يؤثر بها هو على غيره.
تكرار القوى
بعض الطلاب يرسم الوزن مرتين مثلا, مرة في مركز الجسم ومرة على نقطة تلامس, ظنا أنه يعبّر عن نفس التأثير في مكانين. في الميكانيكا التقليدية على مستوى الأجسام النقطية نعوّض كل تأثير الجاذبية بقوة واحدة مكافئة عند مركز الكتلة.
إغفال القوة العمودية أو الوزن
غالبا ما ينسى المبتدئون رسم القوة العمودية لأنهم لا "يرونها" في الواقع. لكن وجود أي تلامس مع سطح صلب في اتجاه معيّن يعني وجود قوة تلامس من السطح قد يكون جزء منها عموديا على السطح وجزء موازيا احتكاكا.
الخلط بين التسارع والقوة
التسارع ليس قوة ولا يرسم كسهم قوة في مخطط الجسم الحر. بدلا من ذلك نستخدم اتجاه التسارع فقط في معادلات نيوتن لتحديد إشارة $a_x$ أو $a_y$ والمقارنة مع مجموع القوى في هذا الاتجاه.
مهارة التفكير من خلال مخطط الجسم الحر
مخطط الجسم الحر ليس فقط خطوة تقنية قبل الحساب بل هو أداة للتفكير الفيزيائي. من خلاله يمكننا أن:
- نرى بسرعة إذا كان الجسم في حالة اتزان عندما يكون مجموع القوى صفرا في كل اتجاه.
- نتنبأ باتجاه التسارع حتى قبل الحساب, فمن المتوقع أن يكون اتجاه التسارع قريبا من اتجاه محصلة القوى المرسومة.
- نختبر هل نموذجنا للقوى متسق مع الوصف الكلامي للمسألة.
مع التدريب يصبح رسم مخططات الجسم الحر عادة تلقائية قبل البدء بأي مسألة تتعلق بحركة الأجسام أو اتزانها. هذه العادة هي أساس الاستخدام الصحيح لقوانين نيوتن في بقية فصول الميكانيكا الكلاسيكية.