Table of Contents
تمهيد عن الأجسام المترابطة
عندما نتعامل مع جسم واحد فقط يكون تطبيق قوانين نيوتن مباشرًا نسبيًا. لكن في كثير من المسائل الواقعية لا تتحرك الأجسام منفردة، بل تكون مرتبطة ببعضها بحبال أو قضبان أو تمر عبر بكرات. في هذه الحالات يصبح من المفيد النظر إلى المنظومة كلها كأجسام مترابطة، مع فهم كيف تنتقل القوة والشد بين مكوّنات المنظومة.
فكرة الأجسام المترابطة تظهر في أنظمة مثل عربة مربوطة بكتلة تتدلى من بكرة، أو كتلتين على سطحين مختلفين يصل بينهما حبل، أو عدة عربات مربوطة معًا، أو حتى نُظم أكثر تعقيدًا في الآلات.
في هذا الفصل نركّز على كيفية استخدام قوانين نيوتن لوصف حركة أكثر من جسم متصلين ببعضهم، وكيف نتعامل مع شد الحبل، والقوى المتبادلة، واختيار المنظومة المناسبة في كل مسألة.
مفهوم الشد في الحبال والقضبان المثالية
في المسائل البسيطة نفترض غالبًا أن الحبل أو الخيط:
- عديم الكتلة.
- غير قابل للاستطالة.
- أملس ويمر على بكرة مهملة الاحتكاك وكتلتها صغيرة.
في هذه الحالة يكون شد الحبل ثابتًا على امتداده. إذا رمزنا للشد بـ $T$ فهو نفسه عند كل نقطة من الحبل، إلا إذا وُجدت بكرة ذات قصور ذاتي أو احتكاك وهذا موضوع متقدم.
إهمال كتلة الحبل يعني أن الحبل نفسه لا يحتاج قوة صافية لتسارعه، لذا تكون القوى عند طرفيه متساوية في المقدار ومتعاكسة في الاتجاه. وعدم قابليته للاستطالة يعني أن تسارع كل جسم متصل به على طول نفس الخط يكون متساويًا في المقدار، وإن اختلف اتجاهه بحسب اختيار المحاور.
قاعدة مهمة في الحبال المثالية:
إذا كان الحبل عديم الكتلة وغير قابل للتمدد، والسطوح والبكرات مثالية، فإن:
- شد الحبل ثابت على امتداده.
- الأجسام المربوطة به يكون لها نفس مقدار التسارع على طول اتجاه الحبل.
المنظومة الكلية مقابل الأجسام المفردة
في الأجسام المترابطة يمكن حل المسألة بطريقتين رئيسيتين:
- تحليل كل جسم على حدة ورسم مخطط جسم حر لكل واحد، ثم كتابة معادلات نيوتن لكل جسم ومعالجة الشد كقوة مجهولة.
- اعتبار مجموعة الأجسام المترابطة كمنظومة واحدة، ثم تطبيق قانون نيوتن على المنظومة ككل.
الفرق الجوهري أن قوى الشد الداخلية بين الأجسام تلغى عند النظر إلى المنظومة ككل، لأنها قوى داخلية، بينما تظهر بوضوح عندما نحلل كل جسم منفصلًا. اختيار الطريقة المناسبة يعتمد على المطلوب، فإذا كنا نريد التسارع فقط غالبًا يكفي تحليل المنظومة ككل. أما إذا أردنا قيمة الشد في الحبل أو القوى المتبادلة بين الأجسام فنحتاج إلى تحليل الأجسام المفردة.
مثال توضيحي بسيط لفظي:
كتلتان $m_1$ و $m_2$ موصولتان بحبل عديم الكتلة على سطح أفقي أملس، تؤثر قوة أفقية $F$ على $m_1$ فقط. تتحرك الكتلتان معًا بنفس التسارع.
إذا اعتبرنا المنظومة كلها، فإن القوة الخارجية الوحيدة في اتجاه الحركة هي $F$، والكتلة الكلية هي $m_1 + m_2$، فيكون التسارع:
$$
a = \frac{F}{m_1 + m_2}
$$
لكن إذا أردنا شد الحبل بينهما يجب أن نحلل جسمًا على حدة مثل $m_2$ ونطبق عليه قانون نيوتن باستخدام التسارع $a$ الذي وجدناه.
الأجسام المترابطة على سطح أفقي أملس
الحالة الأبسط للأجسام المترابطة هي كتل على سطح أفقي أملس، موصولة بحبال أو قضبان، وتؤثر عليها قوة خارجية واحدة أو أكثر.
في سطح أفقي أملس لا يوجد احتكاك، لذا يكون مجموع القوى الأفقية هو ما يصنع التسارع. ولأن الحبال غير قابلة للتمدد، تتحرك جميع الكتل بنفس التسارع الخطي على خط واحد.
إذا كانت لدينا عدة كتل $m_1, m_2, \dots$ موصولة في خط واحد، وقوة أفقية $F$ تؤثر على إحدى الكتل في اتجاه معين، فإن التسارع الكلي للمنظومة يكون:
$$
a = \frac{\text{مجموع القوى الخارجية في اتجاه الحركة}}{\text{مجموع الكتل}}
$$
أما الشد بين كتلتين معينتين فيوجد بتحليل إحدى الكتلتين أو مجموعة جزئية من المنظومة.
ما يُميز هذه المسائل أن القوى الداخلية، أي شد الحبال بين الكتل، لا تدخل في حساب التسارع الكلي عند النظر للمنظومة كلها، لكنها ضرورية لمعرفة ما يحدث داخل المنظومة من توزيع للقوى.
الأجسام المترابطة مع بكرات مثالية
عندما يمر الحبل فوق بكرة مثالية تتغيّر اتجاهات القوى والتسارع من جسم لآخر. مثال شهير هو ما يعرف في الكتب بنظام "أتوود" الذي يتكون من كتلتين معلقتين على جانبي بكرة.
في هذا النوع من المسائل تبقى الفكرة الأساسية نفسها: شد الحبل ثابت، والتسارع له نفس المقدار على طرفي الحبل، لكن الجهة التي تعدها موجبة تختلف من جسم لآخر.
إذا كانت كتلتان $m_1$ و $m_2$ معلقتين بحبل يمر فوق بكرة مثالية، والكتلة $m_2$ أكبر، فإن المنظومة كلها تتحرك بحيث تنزل الكتلة الأكبر وتصعد الأصغر. القوة المحركة الصافية هي الفرق بين وزني الكتلتين، بينما مجموع الكتل هو ما يتسارع.
يكتب التسارع عادة على شكل:
$$
a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}
$$
مع افتراض $m_2 > m_1$. هذا التعبير يأتي مباشرة من تطبيق قانون نيوتن على المنظومة كلها، حيث الوزن الأكبر يحاول السحب إلى أسفل، والوزن الأصغر يعاكسه، والشد لا يظهر لأنه قوة داخلية.
لحساب الشد في الحبل نعود لنطبق قانون نيوتن على أحد الأجسام وحده مع استخدام قيمة التسارع السابقة، فنحصل على معادلة بسيطة للشد $T$ تختلف عن $m_1 g$ و $m_2 g$.
الأجسام المترابطة مع أسطح أفقية ورأسية
تركيب شائع آخر هو وجود كتلة على سطح أفقي مربوطة عبر بكرة بكتلة معلقة رأسيًا. في هذا الوضع تعمل قوة الوزن على الجسم المعلق لتسحب الجسم الذي على السطح.
في هذه المنظومة يتساوى مقدار التسارع للجسمين على طول الحبل، لكن اتجاهه يختلف، فالتسارع أفقي للجسم على السطح، ورأسي للجسم المعلق. عند استخدام قانون نيوتن لكل جسم يجب اختيار الإحداثيات بحيث يكون أحد المحاور موازيًا لاتجاه الحركة لكل جسم على حدة.
تطبيق قانون نيوتن على النظام ككل يعطي تعبيرًا عامًا للتسارع في حالة سطح أملس:
$$
a = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2}
$$
إذا كان $m_2$ هو الجسم المعلق و $m_1$ هو الموجود على السطح. ثم يُستخرج الشد من معادلات جسم واحد كما سبق.
إذا أُضيف احتكاك إلى السطح الأفقي يتغير التعبير عن التسارع، لأن الاحتكاك يصبح قوة خارجية تعاكس الحركة. هنا يفيد النظر إلى المنظومة كلها مع إدخال قوة الاحتكاك الكلية في حساب مجموع القوى الخارجية.
التأثير المتبادل بين الأجسام والقوى الداخلية
في الأجسام المترابطة لا توجد فقط حبال وبكرات، بل يمكن أن توجد أيضًا قوى تلامس بين الكتل، مثل عربتين متجاورتين على سطح، تؤثر إحداهما في الأخرى بقوة تلامس.
هذه القوى تعتبر قوى داخلية بالنسبة للمنظومة المكوّنة من العربتين معًا، لكنها قوى خارجية بالنسبة لكل عربة منفردة. لهذا السبب تختفي من معادلة المنظومة، لكنها تبقى مهمة عند تحليل التفاعل المتبادل بين الأجسام، مثل معرفة "قوة دفع" عربة على أخرى.
في التحليل المنهجي نبدأ غالبًا بحساب التسارع الكلي باستخدام المنظومة كلها، ثم ننتقل إلى حساب القوى المتبادلة بمخططات الجسم الحر لكل جزء.
مثال لفظي على قوى التلامس:
ثلاث كتل على خط مستقيم على سطح أملس، تُدفع الكتلة الأولى بقوة خارجية $F$. تتحرك الكتل الثلاثة معًا بكتلة كلية $M$ تساوي مجموع كتلها. التسارع:
$$
a = \frac{F}{M}
$$
إذا أردنا قوة التلامس بين الكتلة الأولى والثانية، نعتبر الكتلتين الثانية والثالثة وحدهما كمنظومة فرعية تتسارع بنفس $a$. القوة الوحيدة التي تدفع هذه المنظومة الفرعية هي قوة التلامس من الكتلة الأولى، ومنها نحصل على قيمتها.
اختيار الإطار التحليلي المناسب
في مسائل الأجسام المترابطة مفتاح النجاح ليس في الحسابات نفسها، بل في اختيار الإطار المناسب للتحليل. يمكن تلخيص الاستراتيجية العامة كما يلي من غير الدخول في تفاصيل القياس والقوانين التي نوقشت في الفصول الأخرى.
أولًا، تُحدَّد الأجسام التي تتحرك معًا والتي يربط بينها حبل أو تلامس، وتُرسم مخططات الجسم الحر لكل منها. ثانيًا، يُقرَّر ما إذا كان من الأسهل البدء بتحليل المنظومة كلها للحصول على التسارع، أو مباشرة كتابة معادلات لكل جسم والاعتماد على حل نظام المعادلات. ثالثًا، يُستخدم تسارع واحد مشترك على امتداد الحبل المثالي، مع الانتباه لاختلاف الاتجاهات بين الأجسام التي في جوانب مختلفة من البكرة. رابعًا، تُعالج قوى الشد وقوى التلامس ككميات مجهولة داخليًا وتُستخرج في مرحلة لاحقة بعد معرفة تسارع المنظومة.
ملاحظات عملية على حل مسائل الأجسام المترابطة
عند التعامل مع الأجسام المترابطة تظهر بعض الأخطاء الشائعة التي يمكن تجنبها باتباع قواعد بسيطة.
أولًا، يجب الحفاظ على اتساق الإشارات في المحاور المختارة، وتحديد الاتجاه الموجب للحركة لكل جسم قبل كتابة المعادلات، ثم الالتزام به. ثانيًا، لا ينبغي الخلط بين الشد في الحبل ووزن الأجسام المعلقة، فالشد يعتمِد على العجلة وإذا كان الجسم يتسارع لا يكون الشد مساويًا للوزن. ثالثًا، عند استخدام المنظومة الكلية لا تدخل قوى الشد بين الأجسام لأنها تلغي بعضها، لكن قوى مثل الوزن ورد الفعل والاحتكاك والبنى الثابتة تدخل في الحساب بحسب اتجاه الحركة.
قواعد أساسية عند حل مسائل الأجسام المترابطة:
- إذا كان الحبل مثاليًا قصيرة عديم الكتلة وغير قابل للتمدد يكون الشد نفسه في جميع نقاطه، والتسارع نفسه في المقدار على طوله.
- عند اعتبار عدة أجسام مترابطة كمنظومة واحدة لا تدخل قوى الشد أو قوى التلامس بينها في مجموع القوى الخارجية.
- لا تساوِ بين الشد والوزن إلا في حالات السكون أو التسارع الصفري وفق الشروط المناسبة.
بهذه المبادئ تصبح مسائل الأجسام المترابطة تطبيقات مباشرة لقوانين نيوتن، مع اهتمام خاص بطبيعة القوى الداخلية وطريقة انتقال الشد والتسارع بين مكوّنات المنظومة.