Table of Contents
تمهيد عن المستويات المائلة
في هذه الفقرة نطبّق قوانين نيوتن على حالة مهمة جدًا في الميكانيكا الكلاسيكية, وهي حركة جسم على سطح مائل بزاوية على الأفق. الفكرة الأساسية هي تحليل القوى إلى مركبات موازية للمستوى ومتعامدة عليه, ثم استخدام قانون نيوتن الثاني على كل اتجاه على حدة.
المستوى المائل يظهر في مسائل عديدة مثل المنحدرات, أسطح الطرق الجبلية, السلالم المتحركة, وبعض الآلات البسيطة التي تستخدم لتقليل القوة المطلوبة لرفع الأجسام. ما يميّز هذه المسائل هو أنّ وزن الجسم لا يكون عموديًا على اتجاه الحركة, بل يتجزأ إلى مركبتين, إحداهما هي التي تسبب انزلاق الجسم.
توصيف الحالة الفيزيائية
نتخيّل سطحًا أملسًا مائلاً بزاوية $\theta$ عن الأفق, موضوعًا عليه جسم كتلته $m$. توجد قوة الوزن $\vec{W}$ متجهة عموديًا إلى أسفل, وقوة رد الفعل العمودي من السطح $\vec{N}$ متجهة عموديًا على السطح.
عند دراسة الحركة على المستوى المائل نختار عادةً جهاز إحداثيات يكون فيه:
محور $x$ موازيًا للمستوى المائل (إلى أعلى أو إلى أسفل بحسب الاتجاه المختار للحركة).
محور $y$ عموديًا على سطح المستوى المائل.
هذا الاختيار يجعل معادلات نيوتن أبسط كثيرًا, لأن القوة العمودية على السطح تنفصل عن القوة الموازية له.
تحليل القوى على مستوى مائل أملس (بدون احتكاك)
على مستوى أملس لا توجد قوة احتكاك, لذلك القوى الوحيدة المؤثرة على الجسم هي:
قوة الوزن $\vec{W}$ ذات الشدة $mg$.
قوة رد الفعل العمودي $\vec{N}$ من السطح.
قوة الوزن يمكن تحليلها بالنسبة للمحاور المختارة إلى:
$$
W_{\parallel} = mg \sin\theta
$$
موازية للمستوى, متجهة إلى أسفل المستوى.
$$
W_{\perp} = mg \cos\theta
$$
عمودية على المستوى, متجهة نحو داخله.
قوة رد الفعل العمودي $\vec{N}$ تعاكس المركبة العمودية للوزن, لذلك في اتجاه المحور العمودي على السطح:
$$
\sum F_y = N - mg\cos\theta = 0
$$
إذًا:
$$
N = mg\cos\theta
$$
في اتجاه المحور الموازي للمستوى, تكون القوة الوحيدة هي مركبة الوزن الموازية للمستوى:
$$
\sum F_x = mg\sin\theta = m a
$$
ومنها:
$$
a = g \sin\theta
$$
إذًا تسارع الجسم على مستوى مائل أملس يعتمد فقط على زاوية الميل $\theta$ ولا يعتمد على الكتلة.
القاعدة الأساسية في المستوى الأملس:
تسارع الجسم المنزلق من على مستوى مائل أملس هو
$$
a = g\sin\theta
$$
وقوة رد الفعل العمودي هي
$$
N = mg\cos\theta
$$
مثال توضيحي
جسم كتلته $5\,\text{kg}$ على مستوى مائل أملس بزاوية $\theta = 30^\circ$. خذ $g = 9.8\,\text{m/s}^2$.
التسارع:
$$
a = g\sin 30^\circ = 9.8 \times 0.5 = 4.9\,\text{m/s}^2
$$
قوة رد الفعل:
$$
N = mg\cos 30^\circ = 5 \times 9.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 42.4\,\text{N}
$$
تأثير الاحتكاك على المستوى المائل
عندما يكون السطح خشناً تظهر قوة الاحتكاك بين الجسم والمستوى. اتجاه الاحتكاك يكون دائمًا معاكسا لمحاولة الحركة أو لحركة الجسم الفعلية على السطح.
على مستوى مائل خشن نستخدم معاملات الاحتكاك السكوني والحركي (مذكورة في فصل الاحتكاك) لكن في سياق المستوى المائل ما يهمنا هو:
قوة رد الفعل العمودي لا تزال تقريبًا:
$$
N = mg\cos\theta
$$
قوة الاحتكاك الحركي (إذا كان الجسم في حالة انزلاق فعلي) تأخذ الصورة:
$$
f_k = \mu_k N = \mu_k mg\cos\theta
$$
حيث $\mu_k$ معامل الاحتكاك الحركي.
إذا انزلق الجسم إلى أسفل المستوى, تكون القوى الموازية للمستوى:
مركبة الوزن $mg\sin\theta$ متجهة إلى أسفل.
قوة الاحتكاك $f_k$ متجهة إلى أعلى المستوى.
في الاتّجاه الموازي للمستوى:
$$
\sum F_x = mg\sin\theta - f_k = m a
$$
باستبدال $f_k$:
$$
mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta = m a
$$
وبالقسمة على $m$:
$$
a = g\left(\sin\theta - \mu_k\cos\theta\right)
$$
تسارع جسم ينزلق إلى أسفل مستوى مائل خشن هو
$$
a = g(\sin\theta - \mu_k \cos\theta)
$$
إذا كانت $\mu_k\cos\theta > \sin\theta$ يكون التعبير سالبًا, أي أنّ الاحتكاك يمنع الانزلاق في هذا الاتجاه ويغيّر وضع الحركة.
مثال
جسم كتلته $2\,\text{kg}$ على مستوى مائل بزاوية $\theta = 40^\circ$, معامل الاحتكاك الحركي $\mu_k = 0.2$, أوجد تسارعه.
$$
a = g(\sin 40^\circ - \mu_k \cos 40^\circ)
$$
نقرب $\sin 40^\circ \approx 0.643$, $\cos 40^\circ \approx 0.766$.
$$
a \approx 9.8(0.643 - 0.2 \times 0.766)
= 9.8(0.643 - 0.153)
= 9.8 \times 0.490 \approx 4.8\,\text{m/s}^2
$$
حالة التوازن على مستوى مائل خشن
قد يكون الجسم على المستوى المائل في وضع سكون دون أن ينزلق. هنا يكون الاحتكاك احتكاكًا سكونيًا, وقيمته تتحدد بما يلزم لمنع الحركة حتى يصل إلى قيمة قصوى.
من أجل بقاء الجسم ساكنًا على مستوى مائل, يجب أن توازن قوة الاحتكاك مركبة الوزن الموازية للمستوى:
في الاتّجاه الموازي للمستوى, إذا كان الجسم ساكنًا:
$$
f_s = mg\sin\theta
$$
لكن هذه القيمة يجب أن تكون أقل من أو تساوي أقصى احتكاك سكوني:
$$
f_s \le f_{s,\text{max}} = \mu_s N = \mu_s mg\cos\theta
$$
شرط إمكان بقاء الجسم ساكنًا هو:
$$
mg\sin\theta \le \mu_s mg\cos\theta
$$
وبالتبسيط:
$$
\tan\theta \le \mu_s
$$
شرط عدم انزلاق جسم على مستوى مائل خشن:
إذا كان $\tan\theta \le \mu_s$ يمكن للجسم أن يبقى ساكنًا.
إذا كان $\tan\theta > \mu_s$ يبدأ الجسم في الانزلاق.
مثال
مستوى مائل بزاوية $\theta = 20^\circ$, ومعامل الاحتكاك السكوني بينه وبين جسم موضوع عليه هو $\mu_s = 0.30$. هل ينزلق الجسم؟
نحسب:
$$
\tan 20^\circ \approx 0.364
$$
نجد أن
$$
\tan 20^\circ \approx 0.364 > 0.30 = \mu_s
$$
إذًا لا يكفي الاحتكاك السكوني لمنع الحركة, وسينزلق الجسم إلى أسفل المستوى.
السحب أو الدفع على مستوى مائل
في مسائل كثيرة لا يترك الجسم للحركة تحت تأثير وزنه فقط, بل تؤثر عليه قوة خارجية مثل سحب أو دفع أو شد بواسطة حبل. تكون هذه القوة غالبًا موازية للمستوى أو بزاوية مع المستوى.
إذا أثّرت قوة شد $T$ موازية للمستوى وتتجه إلى أعلى, بينما يحاول الوزن سحب الجسم إلى أسفل, وكانت الاحتكاكات مهملة, تكون معادلة الحركة على طول المستوى:
عندما يتحرك الجسم لأعلى المستوى:
$$
\sum F_x = T - mg\sin\theta = m a
$$
وعندما يتحرك لأسفل المستوى لكن القوة لا تزال لأعلى, تتغير إشارة التسارع حسب الاتجاه المختار.
مع وجود الاحتكاك الحركي $f_k = \mu_k mg\cos\theta$ ويقاوم الحركة, وإذا كان الجسم يتحرك إلى أعلى المستوى, تكون القوى الموازية للمستوى:
إلى أعلى المستوى: $T$.
إلى أسفل: $mg\sin\theta$ و $f_k$.
فتصبح:
$$
T - mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta = m a
$$
منها يمكن إيجاد $a$ أو $T$ حسب المعطيات.
مثال
سُحب جسم كتلته $4\,\text{kg}$ لأعلى مستوى مائل بزاوية $\theta = 30^\circ$ بقوة شد ثابتة $T = 40\,\text{N}$, ومعامل الاحتكاك الحركي $\mu_k = 0.1$. أوجد تسارع الجسم. خذ $g = 9.8\,\text{m/s}^2$.
نحسب القوى الموازية للمستوى:
مركبة الوزن:
$$
mg\sin 30^\circ = 4 \times 9.8 \times 0.5 = 19.6\,\text{N}
$$
قوة الاحتكاك:
$$
f_k = \mu_k mg\cos 30^\circ
= 0.1 \times 4 \times 9.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
\approx 3.4\,\text{N}
$$
معادلة الحركة:
$$
T - mg\sin\theta - f_k = m a
$$
$$
40 - 19.6 - 3.4 = 4 a
$$
$$
17.0 = 4 a \Rightarrow a \approx 4.25\,\text{m/s}^2
$$
اختيار اتجاه الحركة والإشارات
في جميع مسائل المستويات المائلة, الاختيار الصحيح للمحاور والإشارات يسهّل الحل بشكل كبير. من الشائع أن نختار اتجاه الحركة المفترض موجبًا على طول المستوى, ثم نكتب معادلات نيوتن بحيث تحمل القوى المساعدة للحركة إشارة موجبة والقوى المعارضة إشارة سالبة.
على سبيل المثال, إذا افترضنا أن الجسم يتحرك إلى أسفل المستوى, يكون:
المركبة $mg\sin\theta$ موجبة.
الاحتكاك $f$ سالبًا لأنه إلى أعلى.
فإذا جاءت نتيجة التسارع $a$ سالبة, فهذا يعني أن افتراضنا لاتجاه الحركة أو الاتجاه الموجب يحتاج لإعادة تفسير.
قاعدة عملية في مسائل المستوى المائل:
اختر محورًا موازيًا للمستوى.
اعتبر الاتجاه المرجّح للحركة موجبًا.
اكتب مجموع القوى في هذا الاتجاه مساويًا $m a$ مع مراعاة الإشارات.
استخدام معادلات الحركة في بعد واحد على المستوى المائل
بعد إيجاد التسارع $a$ على المستوى المائل, تتم دراسة موضع الجسم وسرعته بالاعتماد على معادلات الحركة في بعد واحد التي تم تناولها في الكينماتيكا.
كل ما في الأمر أننا نستبدل تسارع الجاذبية $g$ بالتسارع الفعلي على المستوى, مثل $g\sin\theta$ أو $g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$, ثم نطبّق المعادلات مع اعتبار الإزاحة على طول المستوى.
فمثلًا إذا انزلق جسم من السكون على مستوى أملس بطول $L$, فإن الزمن اللازم للوصول إلى أسفل المستوى يمكن إيجاده من المعادلة:
$$
s = \frac{1}{2} a t^2
$$
حيث $s = L$ و $a = g\sin\theta$, فنحصل على:
$$
L = \frac{1}{2} g\sin\theta \, t^2
$$
ومنها:
$$
t = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\theta}}
$$
أما السرعة عند أسفل المستوى فتكون:
$$
v^2 = 2 a s = 2 g\sin\theta \, L
$$
هذه التطبيقات تظهر كيف أن المستوى المائل يمثّل مثالًا واضحًا على استخدام قوانين نيوتن مع الكينماتيكا في بعد واحد عندما تكون القوى غير موازية لجهة الحركة الأصلية بل تحتاج إلى تحليل إلى مركبات مناسبة.