Table of Contents
تمهيد إلى مفهوم مركز الكتلة
عند الانتقال من دراسة جسيم واحد إلى دراسة نظام مكوّن من عدة جسيمات، يصبح من الصعب وصف حركة كل جسيم على حدة. في هذه الحالة يظهر مفهوم مهم وبسيط في الوقت نفسه، هو مركز الكتلة. مركز الكتلة هو نقطة افتراضية يمكن أن نُسند إليها "حركة النظام ككل"، بحيث نتعامل مع النظام كأنه جسيم واحد متركز في هذه النقطة وله الكتلة الكلية للنظام.
في هذا الفصل سنركّز على التعريف الرياضي لمركز الكتلة، وطريقة حسابه في حالات مختلفة، وما المعنى الفيزيائي لموضعه وحركته، دون الدخول في تفاصيل ديناميكا أنظمة الجسيمات التي ستُبحث لاحقًا.
التعريف الرياضي لمركز الكتلة
تخيّل مجموعة من الجسيمات ذات كتل مختلفة موزعة في الفضاء. intuitively، مركز الكتلة هو "متوسط" مواضع هذه الجسيمات، ولكن ليس متوسطًا حسابيًا بسيطًا، بل متوسطًا موزونًا بالكتلة. الجسيم ذو الكتلة الأكبر يسهم أكثر في تحديد موضع مركز الكتلة من الجسيمات الأخف.
لنفترض نظامًا من $N$ جسيمات، كتلها $m_1, m_2, \dots, m_N$ ومواضعها متجهات في الفضاء $\vec r_1, \vec r_2, \dots, \vec r_N$. عندئذ يُعرَّف متجه موضع مركز الكتلة $\vec R_\text{cm}$ بالعلاقة:
$$
\vec R_\text{cm} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N} m_i}
$$
حاصل جمع الكتل في المقام هو الكتلة الكلية للنظام
$$
M = \sum_{i=1}^{N} m_i
$$
إذاً يمكن كتابة التعريف بصورة أبسط:
$$
\vec R_\text{cm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec r_i
$$
هذا التعريف متجه، أي أنه ينطبق على كل مركبة من مركبات الموضع. في الإحداثيات الكارتيزية مثلًا نكتب:
$$
\vec r_i = (x_i, y_i, z_i)
$$
فتكون مركبات مركز الكتلة:
$$
x_\text{cm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i x_i
$$
$$
y_\text{cm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i y_i
$$
$$
z_\text{cm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i z_i
$$
أمثلة بسيطة لمركز الكتلة
جسيمان على مستقيم
لنأخذ أبسط حالة، جسيمان يتحركان على محور واحد، مثل محور $x$. كتلة الأول $m_1$ وموضعه $x_1$، وكتلة الثاني $m_2$ وموضعه $x_2$. عندئذ يكون موضع مركز الكتلة على ذلك المحور:
$$
x_\text{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}
$$
مثال
جسمان، كتلة الأول $2 \,\text{kg}$ عند الموضع $x_1 = 0 \,\text{m}$، وكتلة الثاني $4 \,\text{kg}$ عند الموضع $x_2 = 3 \,\text{m}$ على نفس المحور.
الكتلة الكلية:
$$
M = 2 + 4 = 6 \,\text{kg}
$$
موضع مركز الكتلة:
$$
x_\text{cm} = \frac{2 \cdot 0 + 4 \cdot 3}{6} = \frac{12}{6} = 2 \,\text{m}
$$
نلاحظ أن مركز الكتلة أقرب إلى الجسيم الأثقل، فهو يقع على بعد $2 \,\text{m}$ من الجسيم الأول و $1 \,\text{m}$ من الجسيم الثاني.
من هذا المثال نرى أن مركز الكتلة لا يقع بالضرورة في منتصف المسافة الهندسية بين الجسيمين، بل يتموضع أقرب إلى الأكبر كتلة.
نظام جسيمات على محور واحد
لمجموعة جسيمات على محور واحد، تُستخدم الصيغة العامة نفسها، لكنها تصبح في بعد واحد فقط:
$$
x_\text{cm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i x_i
$$
مثال
ثلاث كتل على محور أفقي:
$m_1 = 1 \,\text{kg}$ عند $x_1 = 0 \,\text{m}$،
$m_2 = 2 \,\text{kg}$ عند $x_2 = 1 \,\text{m}$،
$m_3 = 3 \,\text{kg}$ عند $x_3 = 4 \,\text{m}$.
الكتلة الكلية:
$$
M = 1 + 2 + 3 = 6 \,\text{kg}
$$
موضع مركز الكتلة:
$$
x_\text{cm} = \frac{1\cdot 0 + 2\cdot 1 + 3\cdot 4}{6} = \frac{0 + 2 + 12}{6} = \frac{14}{6} \approx 2.33 \,\text{m}
$$
إذًا يقع مركز الكتلة بين الكتلتين الثانية والثالثة، لأنه توجد كتلة كبيرة نسبيًا عند الموضع $4 \,\text{m}$.
مركز الكتلة في بعدين وثلاثة أبعاد
في بعدين أو ثلاثة أبعاد لا يتغير جوهر الفكرة، وإنما تتوزع المركبات على محورين أو ثلاثة محاور.
في بعدين
إذا كان لكل جسيم موضع ثنائي الأبعاد $\vec r_i = (x_i, y_i)$، فإن:
$$
x_\text{cm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i x_i,
\quad
y_\text{cm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i y_i
$$
مثال
ثلاث كتل على سطح مستو:
$m_1 = 1 \,\text{kg}$ عند $(x_1, y_1) = (0, 0)$،
$m_2 = 1 \,\text{kg}$ عند $(x_2, y_2) = (2, 0)$،
$m_3 = 2 \,\text{kg}$ عند $(x_3, y_3) = (0, 2)$.
الكتلة الكلية:
$$
M = 1 + 1 + 2 = 4 \,\text{kg}
$$
إحداثيات مركز الكتلة:
$$
x_\text{cm} = \frac{1\cdot 0 + 1\cdot 2 + 2\cdot 0}{4} = \frac{2}{4} = 0.5
$$
$$
y_\text{cm} = \frac{1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 2\cdot 2}{4} = \frac{4}{4} = 1
$$
إذًا مركز الكتلة عند النقطة $(0.5, 1)$، وهي نقطة في داخل المثلث الذي تشكله الكتل الثلاث.
في ثلاثة أبعاد
إذا كان لكل جسيم موضع ثلاثي الأبعاد $\vec r_i = (x_i, y_i, z_i)$ فإن:
$$
x_\text{cm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i x_i
$$
$$
y_\text{cm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i y_i
$$
$$
z_\text{cm} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i z_i
$$
هذه الصيغ لا تختلف في جوهرها عما سبق، لكنها تسمح بدراسة أنظمة جسيمات في الفضاء الثلاثي الأبعاد كما في الحالات الفيزيائية الواقعية.
مركز الكتلة كتقاطع لمحاور
في كثير من الأجسام المنتظمة هندسيًا والمتماثلة في توزيع الكتلة، يمكن تحديد مركز الكتلة دون حسابات معقدة، بالاستفادة من التماثل.
في مثل هذه الأجسام، يكون مركز الكتلة عند تقاطع محاور التماثل. على سبيل المثال، في:
- قضيب منتظم رفيع، كثافته الكتلية ثابتة، يكون مركز كتلته في منتصف طوله.
- مربع منتظم مكوّن من مادة متجانسة في مستوى، يكون مركز كتلته في تقاطع قطريه.
- دائرة أو قرص منتظم، يكون مركز كتلته في مركز الدائرة الهندسي.
هذه النتائج يمكن تبريرها من التعريف العام لمركز الكتلة مع استخدام التكامل لحالات التوزيع المتصل للكتلة، لكننا هنا نكتفي بالإشارة إلى الفكرة العامة.
مركز الكتلة في الأجسام المتصلة
حتى الآن افترضنا أن النظام يتكون من عدد من الجسيمات المنفصلة. لكن في الواقع كثير من الأجسام هي توزيع "متصل" للكتلة، مثل قضيب، أو لوح، أو كرة صلبة. في هذه الحالة لا تكون الكتلة مركزة في نقاط محددة، بل موزعة على طول الجسم أو سطحه أو حجمه.
إذا كانت الكثافة الكتلية معروفة، يمكن التعبير عن مركز الكتلة باستخدام التكامل بدل الجمع. لنأخذ رمزًا عامًا للتعبير عن عنصر كتلة صغير $dm$ عند موضع $\vec r$. عندئذ يُعرّف مركز الكتلة كما يلي:
$$
\vec R_\text{cm} = \frac{1}{M} \int \vec r \, dm
$$
وهنا يكون $M$ الكتلة الكلية للجسم:
$$
M = \int dm
$$
هذه الصيغة عامة، وتختلف طريقة التكامل حسب الحالة:
- في جسم خطي كقضيب رفيع، يُعبَّر عن $dm$ بدلالة عنصر طول صغير.
- في لوح رقيق، يُعبَّر عن $dm$ بدلالة عنصر مساحة صغير.
- في جسم ثلاثي الأبعاد، يُعبَّر عن $dm$ بدلالة عنصر حجم صغير.
في كثير من المسائل المبتدئة تكفي النتائج الجاهزة المستنتجة من هذا التعبير، ولا يكون من الضروري تنفيذ التكاملات كاملة.
العلاقة بين مركز الكتلة والإحداثيات المرجعية
موضع مركز الكتلة يعتمد على الإطار المرجعي المستخدم. إذا غيّرنا أصل الإحداثيات انتقل موضع مركز الكتلة بالنسبة لهذا الأصل. ولكن من المهم ملاحظة أن:
- مواضع الجسيمات بالنسبة إلى مركز الكتلة لا تعتمد على اختيار الأصل.
- المسافات النسبية بين الجسيمات تبقى نفسها في كل الأطر المرجعية.
يمكن التعبير عن موضع كل جسيم بكتابة:
$$
\vec r_i = \vec R_\text{cm} + \vec r_i'
$$
حيث $\vec r_i'$ هو موضع الجسيم بالنسبة إلى مركز الكتلة، أي في إطار يكون أصله عند مركز الكتلة نفسه.
مجموع المتجهات $\vec r_i'$ الموزونة بالكتلة يساوي صفرًا:
$$
\sum_{i=1}^{N} m_i \vec r_i' = 0
$$
هذه الخاصية تبرز أن مركز الكتلة هو "متوسط" موزون بالكتلة، بحيث تتوازن الإزاحات حوله.
الحركة الخطية لمركز الكتلة
عند دراسة الحركة، يمكن أن يعتبر مركز الكتلة نقطة مميزة لحركة النظام ككل. إذا كانت مواضع الجسيمات تعتمد على الزمن $\vec r_i(t)$ فإن موضع مركز الكتلة سيعتمد أيضًا على الزمن:
$$
\vec R_\text{cm}(t) = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec r_i(t)
$$
يمكن بعد ذلك تعريف سرعة مركز الكتلة بتفاضل موضعه بالنسبة للزمن:
$$
\vec V_\text{cm} = \frac{d\vec R_\text{cm}}{dt}
$$
وكذلك تسارعه:
$$
\vec A_\text{cm} = \frac{d^2 \vec R_\text{cm}}{dt^2}
$$
هذه الكميات ستأخذ دورًا مهمًا عند دراسة ديناميكا أنظمة الجسيمات وقوانين الحفظ لها. في هذا الفصل يكفينا أن نلاحظ أن مركز الكتلة يتحرك كما لو كان "جسمًا مكافئًا" يمثل كامل النظام.
مركز الكتلة في بعض الحالات الخاصة
جسمان متساويا الكتلة
إذا كان $m_1 = m_2$ على خط مستقيم، فإن:
$$
x_\text{cm} = \frac{m x_1 + m x_2}{2m} = \frac{x_1 + x_2}{2}
$$
أي أن مركز الكتلة يقع في منتصف المسافة بينهما هندسيًا، لأن التوزيع الكتلي متماثل.
جسم واحد
إذا كان النظام يتكون من جسيم واحد كتّلته $m$ وموضعه $\vec r$ فإن:
$$
\vec R_\text{cm} = \frac{m \vec r}{m} = \vec r
$$
أي أن مركز الكتلة في هذه الحالة هو الجسيم نفسه. هذه خاصية طبيعية توحّد المفهوم بين جسيم واحد ونظام من عدة جسيمات.
أجسام متماثلة حول نقطة
إذا كان لدينا عدة جسيمات موزعة حول نقطة معينة بحيث يمكن لكل جسيم أن نجد جسيمًا آخر يعادله في الكتلة ويقع متماثلًا بالنسبة إلى تلك النقطة، فإن هذه النقطة تكون مركز الكتلة. هذه الفكرة تُستخدم كثيرًا لتحديد مركز الكتلة بالاستفادة من التماثل دون الحاجة إلى حسابات مفصلة.
المعنى الفيزيائي لموضع مركز الكتلة
من الناحية الفيزيائية، يمكن النظر إلى مركز الكتلة على أنه النقطة التي "تتركز" عندها الكتلة الكلية للنظام. هذا لا يعني أن الكتلة متجمعة فعليًا في تلك النقطة، بل يعني أن كثيرًا من القوانين الحركية والكمية يمكن كتابتها كما لو أن الجسم المركب هو جسيم واحد عند هذه النقطة.
في المسائل اليومية مثل توازن الأجسام، أو سقوط الأجسام المركّبة، أو حركة الأجسام الصلبة، يكون موضع مركز الكتلة ذا أهمية مباشرة. فمثلًا، عند محاولة إبقاء جسم قائم ومستقر، يجب أن يكون إسقاط مركز كتلته على سطح الأرض داخل قاعدة الارتكاز، وإلا سقط الجسم.
خاتمة
في هذا الفصل تعرّفنا إلى مركز الكتلة كنقطة مميزة تمثل موضع "الكتلة المكافئة" لنظام من الجسيمات أو لجسم متصل. قدّمنا التعريف الرياضي لموضعه في صورة مجموعات وفي صورة تكاملات للأجسام المتصلة، ورأينا كيف يمكن حسابه في أبعاد مختلفة، وكيف يرتبط بالتماثل الهندسي.
سوف يُستخدم هذا المفهوم لاحقًا في دراسة ديناميكا أنظمة الجسيمات، وقوانين الحفظ، والحركة الدورانية، حيث سيتبيّن أن مركز الكتلة ليس مجرد تعريف هندسي، بل أداة قوية لتبسيط فهم حركة الأجسام المعقدة.