Table of Contents
معنى مركز الكتلة بصورة أدق
عند الحديث عن أنظمة مكوّنة من أكثر من جسيم واحد, يصبح من غير العملي في العادة أن نتتبع حركة كل جسيم على حدة. في الفصل الأب "مركز الكتلة" تم تقديم الفكرة العامة بأن هناك نقطة خاصة في النظام يمكن أن نعامل حركة النظام كله كما لو أن كتلته مركّزة فيها. في هذا الفصل نركز على التعريف الرياضي الدقيق لمركز الكتلة, وعلى خواصه الأساسية التي تجعل منه أداة قوية في الميكانيكا.
لفهم مركز الكتلة بدقة, نتخيل نظاما من جسيمات نقطية, لكل جسيم كتلة وموقع في الفضاء. مركز الكتلة هو نوع من "متوسط" مواقع هذه الجسيمات, لكن ليس متوسطا حسابيا عاديا, بل متوسطا موزونا بالكتلة, لأن الجسيم الأثقل "يؤثر" أكثر في تحديد موضع مركز الكتلة من الجسيم الأخف.
التعريف الرياضي لمركز الكتلة لنظام جسيمات
لنأخذ نظاما من $N$ جسيمات, كتلة الجسيم رقم $i$ هي $m_i$, وموقعه متجه موضع $\vec r_i$. نعبر عن متجه الموضع بالنسبة إلى أصل جهاز إحداثيات ما في الفضاء. يعرّف متجه موضع مركز الكتلة $\vec R_{\text{cm}}$ بالعلاقة
$$
\vec R_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec r_i,
\quad
M = \sum_{i=1}^{N} m_i
$$
حيث $M$ هي الكتلة الكلية للنظام. هذا التعريف هو لب كل ما يأتي من خواص.
إذا كنا نعمل في بعد واحد فقط, يصبح المتجه عددا حقيقيا, مثلا على المحور $x$ يكون
$$
x_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i x_i
$$
وفي الفضاء الثلاثي الأبعاد, يمكن كتابة متجه مركز الكتلة على مستوى الإحداثيات الديكارتية بالشكل
$$
\vec R_{\text{cm}} = \bigl(x_{\text{cm}},\, y_{\text{cm}},\, z_{\text{cm}}\bigr)
$$
مع
$$
x_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i x_i,
\quad
y_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i y_i,
\quad
z_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i z_i
$$
مثال عددي بسيط في بعد واحد
جسمان نقطيان على محور مستقيم. الجسيم الأول كتلته $2\,\text{kg}$ عند الموضع $x_1 = 0\,\text{m}$. الجسيم الثاني كتلته $3\,\text{kg}$ عند الموضع $x_2 = 4\,\text{m}$.
الكتلة الكلية
$$
M = 2 + 3 = 5\,\text{kg}
$$
إحداثي مركز الكتلة
$$
x_{\text{cm}} = \frac{1}{5}\bigl(2 \cdot 0 + 3 \cdot 4\bigr) = \frac{12}{5} = 2.4\,\text{m}
$$
لاحظ أن مركز الكتلة أقرب إلى الجسيم الأثقل كما نتوقع intuitively.
التعميم إلى التوزيعات المستمرة للكتلة
إذا لم يكن لدينا عدد محدود من الجسيمات بل جسم ممتد كتوزيع مستمر للكتلة, لا يمكن جمع كتل نقطية, بل نستخدم التكامل. نفترض أن الكتلة موزعة بكثافة كتلية حجمية $\rho(\vec r)$, أي أن عنصر حجم صغير $dV$ حول الموضع $\vec r$ يحوي كتلة
$$
dm = \rho(\vec r)\, dV
$$
في هذه الحالة يعرف مركز الكتلة بالعلاقة
$$
\vec R_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \int \vec r \, dm
= \frac{1}{M} \int_V \vec r \, \rho(\vec r)\, dV
$$
حيث يمتد التكامل على كامل حجم الجسم $V$, و $M$ هي الكتلة الكلية للجسم
$$
M = \int_V \rho(\vec r)\, dV
$$
في كثير من التطبيقات البسيطة نفترض أن الكثافة منتظمة, أي أن $\rho$ ثابت لا يعتمد على الموضع. حينها يمكن تبسيط التعبيرات, وغالبا ما يتم تعريف مركز الكتلة بنفس تعبير "متوسط" الموضع, لكنه يتحول عمليا إلى "مركز هندسي" إذا كانت الكثافة متماثلة.
خواص أساسية لمركز الكتلة
من التعريف الرياضي يمكن استخراج مجموعة من الخواص العامة. هذه الخواص تجعل مفهوم مركز الكتلة أكثر من مجرد تعريف شكلي, بل أداة عملية تسهّل تحليل الحركة.
خاصية التجميع أو الإضافة
يمكن التعامل مع نظام مكوّن من مجموعات من الجسيمات على مرحلتين. في المرحلة الأولى نحسب مركز الكتلة لكل مجموعة فرعية على حدة, ثم في المرحلة الثانية نعامل كل مجموعة فرعية كجسيم واحد كتلته كتلة المجموعة وموضعه مركز الكتلة الخاص بها. مركز الكتلة الكلي للنظام يساوي عندئذ مركز الكتلة لهذه "الجسيمات المكافئة".
رياضيا, لنفترض أن لدينا مجموعتين فرعيتين, كتلة الأولى $M_1$ ومركز كتلتها $\vec R_1$, وكتلة الثانية $M_2$ ومركز كتلتها $\vec R_2$. يعتبر النظام كاملا كما لو كان مؤلفا من جسيمين فقط, حينها يصبح مركز الكتلة الكلي
$$
\vec R_{\text{cm}} = \frac{M_1 \vec R_1 + M_2 \vec R_2}{M_1 + M_2}
$$
يمكن تعميم هذه الفكرة إلى أكثر من مجموعتين. هذه الخاصية مفيدة مثلا عندما ندرس نظام كوكبي, أو قضيبا مركّبا من مقاطع مختلفة الكثافة.
خاصية خط الوزن في بعد واحد
في بعد واحد على محور مستقيم, يمكن النظر إلى مركز الكتلة كأنه نقطة تتحقق عندها "توازن عزوم" بالنسبة إلى أي نقطة مرجعية. هذا يذكّرنا بتوازن ميزان بسيط, حيث يحدد موقع نقطة التعليق التي تجعل الجسم متوازنا.
إذا اخترنا مثلا أصل الإحداثيات عند نقطة ما, فإن تعريف مركز الكتلة في بعد واحد يعطي
$$
M x_{\text{cm}} = \sum_{i=1}^{N} m_i x_i
$$
يمكن اعتبار الطرف الأيمن كمجموع عزوم الكتل حول الأصل, والطرف الأيسر كأنه عزم "الكتلة المكافئة" $M$ الموجودة عند $x_{\text{cm}}$. لذا يمكن القول إن مركز الكتلة هو النقطة التي يكون فيها مجموع عزوم الكتل بالنسبة إليها مساويا للصفر إذا أخذنا الإشارة المناسبة.
هذه الفكرة تمتد إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد عند دراسة العزوم والعزوم الموازية, ولكن مع تعريف متجهات العزم التي تُبحث بتفصيل في مواضع أخرى من الكتاب.
مركز الكتلة بين الجسيمات في الحالة الثنائية
لنأخذ حالة خاصة لنظام من جسيمين فقط, كتلتاهما $m_1$ و $m_2$, وموضعاهما $\vec r_1$ و $\vec r_2$. من التعريف
$$
\vec R_{\text{cm}} = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2}{m_1 + m_2}
$$
يمكن كتابة متجه الموضع بنسبة بين الموقعين
$$
\vec R_{\text{cm}} = \vec r_1 + \frac{m_2}{m_1 + m_2}(\vec r_2 - \vec r_1)
$$
إذن مركز الكتلة يقع على المستقيم الواصل بين الجسيمين, ويقسّم القطعة المستقيمة بنسبة عكسية للكتلتين
$$
\frac{|\vec R_{\text{cm}} - \vec r_1|}{|\vec R_{\text{cm}} - \vec r_2|} = \frac{m_2}{m_1}
$$
أي أنه أقرب إلى الجسيم الأثقل. هذه الخاصية ذات أهمية خاصة في الأنظمة الثنائية مثل نجمين يدوران حول بعضهما, أو كوكب وقمره.
مثال في بعد واحد لجسيمين
جسيمان على خط مستقيم. $m_1 = 1\,\text{kg}$ عند $x_1 = 0\,\text{m}$, و $m_2 = 4\,\text{kg}$ عند $x_2 = 5\,\text{m}$.
من التعريف
$$
x_{\text{cm}} = \frac{1\cdot 0 + 4\cdot 5}{1+4} = \frac{20}{5} = 4\,\text{m}
$$
نسبة الأبعاد
$$
\frac{|x_{\text{cm}} - x_1|}{|x_{\text{cm}} - x_2|}
= \frac{4}{1} = 4
$$
وهي مساوية للنسبة $\frac{m_2}{m_1} = 4$ كما ينص القانون السابق.
الاستقلال عن اختيار جهاز الإحداثيات
من المهم أن يكون مفهوم مركز الكتلة فيزيائيا حقيقيا لا يعتمد على طريقة الوصف أو على اختيار الأصل. لنرَ كيف يتصرف مركز الكتلة تحت تحويل بسيط لجهاز الإحداثيات.
افترض أننا ننتقل من جهاز إحداثيات قديم إلى جديد بتحويل إزاحة ثابتة
$$
\vec r_i' = \vec r_i + \vec a
$$
حيث $\vec a$ متجه ثابت يمثّل انتقال الأصل. باستخدام التعريف في الجهاز الجديد
$$
\vec R_{\text{cm}}' = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec r_i'
= \frac{1}{M} \sum m_i (\vec r_i + \vec a)
$$
نجد
$$
\vec R_{\text{cm}}' = \frac{1}{M} \sum m_i \vec r_i + \frac{1}{M} \sum m_i \vec a
= \vec R_{\text{cm}} + \vec a
$$
إذن يتحول مركز الكتلة بنفس طريقة تحول المواضع العادية, فهو لا يعتمد على الأصل اختزالا, بل يتغير بطريقة متسقة مع بقية النظام. الفروق بين مواضع الجسيمات ومركز الكتلة تبقى نفسها بغض النظر عن الإحداثيات المختارة.
وجود مركز الكتلة داخل الجسم أو خارجه
قد يتبادر إلى الذهن أن مركز الكتلة يجب أن يكون دائما داخل المادة نفسها, لكن هذا غير صحيح بشكل عام. موقع مركز الكتلة يتحدد رياضيا من توزيع الكتلة, ولا يشترط أن يقع داخله.
مثال بسيط هو حلقة رفيعة منتظمة الكثافة تشبه طوقا دائريا. الكتلة كلها موزعة على محيط الدائرة, بينما مركز الكتلة يوجد في مركز الدائرة الهندسي, أي في منطقة خالية تماما من المادة. كذلك بالنسبة لإطار مربع رفيع, أو جسم على شكل حرف "U", يمكن أن يقع مركز الكتلة في الفراغ الذي يحده الشكل.
في المقابل, إذا كان الجسم متصلا ومحدبا وذا كثافة منتظمة, مثل كرة مصمتة أو مكعب أو اسطوانة, يكون مركز الكتلة دائما في داخل الجسم, وغالبا في مركزه الهندسي نتيجة التماثل.
التماثل وموقع مركز الكتلة
التماثل الهندسي يلعب دورا مهما في تعيين موقع مركز الكتلة دون حاجة إلى حسابات تفصيلية في كثير من الأحيان.
إذا كان للجسم تماثل مستوي, وكان توزيع الكتلة متماثلا بالنسبة إلى هذا المستوي, فلا بد أن يقع مركز الكتلة في هذا المستوي. وإذا كان هناك أكثر من مستوي تماثل متقاطع, فإن مركز الكتلة يقع عند تقاطعها.
على سبيل المثال, كرة متجانسة تمتلك تماثلا كاملا في كل الاتجاهات, لذا يكون مركز كتلتها عند مركز الكرة تماما. اسطوانة متجانسة جالسة على قاعدتها تمتلك تماثلا دورانيا حول محورها, وتماثل مستويا حول المستوى الذي يمر بمحورها ويقسّم القطر, فيستنتج أن مركز الكتلة يقع على المحور وفي منتصف الارتفاع.
هذه النتائج تعتمد على فكرة أن لكل جزء من الكتلة على أحد جانبي مستوي التماثل يوجد جزء مكافئ على الجانب الآخر, فيتلاشى تأثير إزاحة مركز الكتلة عن المستوي.
العلاقة مع الكميات الأخرى في النظام
في هذا الفصل نركز على التعريف والخواص الهندسية لمركز الكتلة. مع ذلك من المفيد أن نلمّح بصورة مختصرة إلى علاقة مركز الكتلة ببعض الكميات الأخرى, مع تأجيل التفصيل إلى الفصول اللاحقة المختصة بديناميكا أنظمة الجسيمات.
ارتباطه بالزخم الكلي
الزخم الخطي لنظام جسيمات يعرّف بصفته مجموع الزخم لكل جسيم. إذا كان لكل جسيم سرعة $\vec v_i$, فإن الزخم الكلي للنظام هو
$$
\vec P = \sum_{i=1}^{N} m_i \vec v_i
$$
من ناحية أخرى, يمكن تعريف سرعة مركز الكتلة بأنها مشتقة موضعه بالنسبة إلى الزمن
$$
\vec V_{\text{cm}} = \frac{d\vec R_{\text{cm}}}{dt}
$$
باستخدام تعريف مركز الكتلة, يظهر أن الزخم الكلي يمكن كتابته بصورة مدمجة
$$
\vec P = M \vec V_{\text{cm}}
$$
وهذه علاقة مهمة تربط مركز الكتلة بالحركة الكلية للنظام, وسيُستفاد منها لاحقا لإثبات أن حركة مركز الكتلة تخضع لقوانين نيوتن كما لو كان جسما واحدا.
الاستفادة من مركز الكتلة في توصيف الحركة
عندما ندرس حركة نظام من الجسيمات, يمكن أحيانا تقسيم الحركة إلى جزأين. الجزء الأول هو حركة مركز الكتلة نفسه, وكأن النظام جسيم مكافئ كتلته $M$ يتحرك بموضع $\vec R_{\text{cm}}(t)$. الجزء الثاني هو الحركة النسبية للجسيمات حول مركز الكتلة.
هذه الفكرة تجعل مركز الكتلة نقطة مرجعية طبيعية لوصف الحركة الداخلية للنظام, مثل اهتزازات الجسيمات في جسم صلب أو غاز, أو الحركات المدارية لنجوم في عنقود نجمي. التفاصيل الكاملة لهذا التقسيم وعلاقته بالطاقة الحركية والزخم ستبحث في مواضع أخرى من الكتاب, ولكن يكفي هنا الإشارة إلى أن مركز الكتلة ليس فقط "متوسطا" للمواضع, بل أيضا إطارا خاصا لوصف الديناميكا.
أمثلة توضيحية على خواص مركز الكتلة
فيما يلي بعض الأمثلة البسيطة التي تبرز المعاني العملية للخواص السابقة دون الغوص في الديناميكا التفصيلية.
مثال, منظور التماثل
اعتبر قضيباً رفيعاً متجانساً طوله $L$ موضوعاً على محور $x$ من $x = 0$ إلى $x = L$. الكثافة ثابتة, لذا كل نقطة على القضيب لها "شريك" متماثل بالنسبة إلى النقطة $x = L/2$. النتيجة البديهية من التماثل أن مركز الكتلة يكون عند
$$
x_{\text{cm}} = \frac{L}{2}
$$
وإذا تم قطع جزء من أحد الأطراف, يزاح مركز الكتلة باتجاه الطرف الذي بقي منه جزء أكبر, وهو ما يمكن التحقق منه رياضيا باستخدام تعريف مركز الكتلة المجزأ والخاصية التجميعية.
مثال, مركز كتلة شكل مركب
افترض لدينا لوحة مكونة من مربع متجانس جانبه $a$ ملتصق عند أحد أضلاعه بطول كامل بمستطيل متجانس أبعاده $a \times 2a$. كل من المربع والمستطيل له كثافة ومساحة مختلفة, لكنهما من نفس المادة.
يمكن إيجاد مركز الكتلة الكلي بالتالي من خلال خاصية التجميع
- حساب مساحة كل جزء, $A_1$ و $A_2$, والتي تتناسب مع الكتلة ما دامت الكثافة ثابتة.
- تحديد مركز الكتلة الهندسي لكل جزء على حدة بالنسبة إلى جهاز إحداثيات مناسب, مثلا زاوية مشتركة.
- اعتبار أن كتلة كل جزء $M_i$ متناسبة مع مساحته $A_i$.
- استخدام العلاقة
$$
\vec R_{\text{cm}} = \frac{M_1 \vec R_1 + M_2 \vec R_2}{M_1 + M_2}
$$
من غير الضروري هنا تنفيذ الأرقام التفصيلية, المهم أن نرى كيف تتيح لنا خاصية التجميع التعامل مع الأشكال المركبة بطريقة منهجية.
خلاصة مفاهيمية
مركز الكتلة مفهوم هندسي في الأساس, يُعرَّف رياضيا باعتباره متوسطا موزونا بالكتلة لمواضع الجسيمات أو لتوزيع الكتلة في جسم ممتد. من هذا التعريف تتولد خواص مهمة, مثل إمكانية تجميع أجزاء النظام, وكونه نقطة توازن للعزوم في بعد واحد, وارتباطه الوثيق بالزخم الكلي.
لا يشترط أن يقع مركز الكتلة داخل المادة نفسها, بل قد يوجد في الفراغ الذي تحيط به, خصوصا في الأجسام ذات الأشكال المجوفة أو الحلقية. من خلال التماثل يمكن غالبا تحديد موقعه نوعيا دون حسابات مفصلة, وهذا ما يجعل مفهومه أداة قوية في حل مسائل الميكانيكا الكلاسيكية, خاصة عند دراسة الحركة الجماعية لأنظمة متعددة الجسيمات.