Table of Contents
تمهيد
عندما نصف الظواهر الفيزيائية، نحن لا نكتفي بكلمات عامة مثل "سريع" أو "ثقيل"، بل نحتاج إلى أعداد يمكن مقارنتها وقياسها بدقة. هذه الأعداد لا معنى لها من دون "وحدات"، مثل المتر للطور، والثانية للزمن، والكيلوغرام للكتلة. أما "الأبعاد" فهي تصف نوع الكمية الفيزيائية بصورة أكثر تجريداً، مثل بعد الطول أو الزمن أو الكتلة، بصرف النظر عن اختيارنا للوحدة.
هذا الفصل يهدف إلى توضيح الفارق بين الوحدات والأبعاد، ولماذا يعد النظام الدولي للوحدات أساساً للفيزياء الحديثة، وكيف نستخدم التحليل البعدي كأداة لفهم القوانين الفيزيائية والتأكد من صحتها الشكلية.
الكميات الأساسية والمشتقة
في الفيزياء توجد كميات "أساسية" لا تُعرَّف بكميات أخرى أبسط منها داخل النظرية، مثل الطول والزمن والكتلة، وكميات "مشتقة" تُبنى من هذه الكميات الأساسية، مثل السرعة والتسارع والقوة.
في النظام الدولي للوحدات، نركِّز في الميكانيكا على ثلاث كميات أساسية رئيسية هي الطول والكتلة والزمن. نرمز لأبعادها عادة بالرموز اللاتينية على النحو الآتي:
الطول: البعد $L$
الكتلة: البعد $M$
الزمن: البعد $T$
أي كمية فيزيائية في الميكانيكا يمكن التعبير عن بعدها باستخدام قوى لهذه الأبعاد الثلاثة. مثلاً السرعة تتمثل كبعد طول مقسوماً على زمن، لذلك يكون بعدها
$$
[v] = L T^{-1}
$$
بينما التسارع سرعة مقسومة على زمن، فيكون
$$
[a] = L T^{-2}
$$
أما القوة في الميكانيكا النيوتنية فهي كتلة مضروبة في تسارع، فيصبح بعدها
$$
[F] = M L T^{-2}
$$
هنا الأقواس المربعة تعني "بعد الكمية". الأبعاد لا تتعلق بعدد معين أو وحدة معينة، بل بكيفية تركيب الكمية من الطول والكتلة والزمن على مستوى مجرد.
مثال توضيحي
الطاقة في الميكانيكا يمكن كتابتها مثلاً كطاقة حركية لجسم يتحرك بسرعة $v$ وكتلته $m$:
$$
K = \frac{1}{2} m v^2
$$
نستخرج بعدها من أبعاد الكتلة والسرعة
$$
[K] = [m] [v]^2 = M \left(L T^{-1}\right)^2 = M L^2 T^{-2}
$$
سواء حسبنا طاقة جسيم في المختبر أو سيارة على طريق، يبقى بعد الطاقة هو نفسه $M L^2 T^{-2}$ مهما تغيّرت الوحدات المستعملة.
النظام الدولي للوحدات
الوحدات هي "المقاييس" التي نقيس بها الأبعاد. فبعد الطول $L$ يمكن قياسه بواحدة المتر أو القدم، وبعد الزمن $T$ يمكن قياسه بالثانية أو الدقيقة. لكي نتفاهم بشكل موحّد على مستوى عالمي، تم اعتماد "النظام الدولي للوحدات" الذي يختصر غالباً بالرمز SI من الفرنسية.
في ميكانيكا المبتدئين نهتم بشكل خاص بالوحدات الثلاث الآتية في النظام الدولي:
الطول: المتر، ويرمز له بـ $m$
الكتلة: الكيلوغرام، ويرمز له بـ $kg$
الزمن: الثانية، ويرمز لها بـ $s$
من هذه الوحدات الأساسية تُعرَّف وحدات مشتقة لكميات مثل السرعة والقوة والطاقة. مثلاً:
السرعة: متر لكل ثانية، أي $m/s$
التسارع: متر لكل ثانية مربعة، أي $m/s^2$
القوة: وحدة نيوتن، ويرمز لها بـ $N$
يمكن ربط النيوتن بالوحدات الأساسية عبر قانون نيوتن الثاني، القوة تساوي الكتلة مضروبة في التسارع:
$$
1\, N = 1\, kg \cdot 1\, m/s^2
$$
إذن النيوتن ليس وحدة مستقلة بذاتها، بل وحدة مشتقة من الوحدات الأساسية للكتلة والطول والزمن.
مثال على وحدة مشتقة أخرى
الطاقة في النظام الدولي تُقاس بالجول، ويرمز له بـ $J$. التعريف المبسط في الميكانيكا أن $1\,J$ هو الشغل الذي تبذله قوة مقدارها $1\,N$ لتحريك جسم مسافة مقدارها $1\,m$ في اتجاه القوة. بالتالي
$$
1\, J = 1\, N \cdot 1\, m = 1\, kg \cdot \frac{m^2}{s^2}
$$
إذن وحدة الجول مشتقة أيضاً من $kg$ و $m$ و $s$.
البادئات العشرية وتحويل الوحدات
القيم الفيزيائية قد تكون صغيرة جداً أو كبيرة جداً. بدلاً من كتابة أعداد طويلة جداً من الأصفار، نستعمل بادئات قياسية مرتبطة بقوى العشرة. هذه البادئات تلصق أمام اسم الوحدة لتعبِّر عن مضاعفاتها أو أجزائها.
من أكثر البادئات استعمالاً في الميكانيكا الأولية:
الكيلو، ويرمز له بـ k، يعني الضرب في $10^3$ مثل $1\,km = 10^3\,m$
الملي، ويرمز له بـ m، يعني القسمة على $10^3$ مثل $1\,mm = 10^{-3}\,m$
المايكرو، ويرمز له بـ \mu، يعني $10^{-6}$ مثل $1\,\mu s = 10^{-6}\,s$
التحويل بين الوحدات يعتمد فقط على هذه العلاقات العددية. عندما نغيّر الوحدة، لا يتغير "البعد" الفيزيائي للكمية بل يتغير الرقم الذي يعبّر عنها. فمثلاً سرعة مقدارها $10\,m/s$ هي نفسها سرعة مقدارها $36\,km/h$، كلاهما له البعد $L T^{-1}$، لكن طريقة التعبير العددية مختلفة.
مثال في التحويل بين الكسور العشرية والبادئات
افترض أن المسافة بين نقطتين هي $1500\,m$. يمكن كتابتها أيضاً على نحو
$$
1500\,m = 1.5 \times 10^3\,m = 1.5\,km
$$
لا يتغير البعد الفيزيائي $L$، لكننا غيّرنا الوحدة من المتر إلى الكيلومتر وغيّرنا الرقم المعبر عن المسافة بحيث تبقى القيمة الفعلية نفسها.
الفرق بين الأبعاد والوحدات
من المهم عدم الخلط بين "البعد" و"الوحدة". الأبعاد هي بنية مجردة تصف طبيعة الكمية، أما الوحدات فهي أدوات اصطلاحية لقياس هذه الكمية.
السرعة مثلاً لها بعد واحد ثابت هو $L T^{-1}$. لكن يمكن قياسها بوحدات متعددة، مثل $m/s$ في النظام الدولي، أو $km/h$ في الحياة اليومية، أو حتى $mile/h$ في بعض الدول. تغيير الوحدة لا يغيّر بعد السرعة، بل فقط يغيّر عامل التحويل بين الوحدات المختلفة.
يمكن التعبير عن الفرق كما يلي:
البعد: شيء مثل $M^1 L^2 T^{-2}$
الوحدة: شيء مثل $kg \, m^2 / s^2$
هنا نستطيع أن نرى الأبعاد كهيكل عام، والوحدات كتجسيد عددي عملي لهذا الهيكل.
قاعدة أساسية
لا يمكن جمع كميتين لهما أبعاد مختلفة. مثلاً لا يمكن جمع $3\,kg$ مع $5\,m$، لأن الكتلة والطول لهما أبعاد مختلفة. كذلك لا معنى لجمع زمن مع سرعة بشكل مباشر. الجمع والطرح لا يُسمح بهما إلا بين كميات ذات أبعاد متماثلة.
من ناحية أخرى، يمكن ضرب أو قسمة الكميات ذات الأبعاد المختلفة للحصول على كميات جديدة، مثل المسافة على الزمن تعطي السرعة.
التحليل البعدي
التحليل البعدي هو طريقة بسيطة لكنها قوية للتحقق من اتساق المعادلات الفيزيائية أو لاستخراج شكل تقريبي لعلاقة فيزيائية. الفكرة الأساسية أن أي علاقة صحيحة بين كميات فيزيائية يجب أن تكون أبعاد الطرف الأيمن مساوية لأبعاد الطرف الأيسر من المعادلة.
إذا كتبنا مثلاً علاقة افتراضية لزمن السقوط لجسم تحت تأثير الجاذبية الأرضية في صورة
$$
t = k \sqrt{\frac{h}{g}}
$$
حيث $t$ زمن، و $h$ ارتفاع، و $g$ تسارع الجاذبية، و $k$ عدد بلا بعد. نستطيع التحقق من أن البعد على اليمين يساوي بعد الزمن.
الارتفاع $h$ بعده $L$
تسارع الجاذبية $g$ بعده $L T^{-2}$
النسبة $h / g$ أبعادها
$$
\frac{L}{L T^{-2}} = T^2
$$
ثم الجذر التربيعي يعطي
$$
\sqrt{T^2} = T
$$
إذن بعد الطرف الأيمن يساوي $T$ وهو نفسه بعد الزمن في الطرف الأيسر. هذا لا يثبت أن المعادلة صحيحة فيزيائياً بشكل كامل، لكنه على الأقل يؤكد أنها لا تتعارض مع الأبعاد، وهو شرط ضروري لأي قانون فيزيائي.
مثال على كشف خطأ بعدي
افترض أن أحدهم كتب قانوناً مفترضاً للسرعة على شكل
$$
v = g + t
$$
حيث $v$ سرعة، و $g$ تسارع، و $t$ زمن. بعد السرعة $L T^{-1}$، وبعد التسارع $L T^{-2}$، وبعد الزمن $T$. لا يمكن جمع $g$ و $t$ لأن أبعادهما مختلفة. المعادلة إذن غير متسقة بعدياً قبل أن نحتكم حتى إلى التجربة أو النظريات الأخرى.
الكميات بلا أبعاد
ليست كل الكميات الفيزيائية لها أبعاد. توجد كميات بلا أبعاد، أي أن أبعادها يمكن كتابتها كـ $M^0 L^0 T^0$، أي القيمة العددية الصرفة. من هذه الأمثلة الزوايا المقاسة بالراديان، والنسب بين كميتين من النوع نفسه، مثل $h_1 / h_2$ حيث كل من $h_1$ و $h_2$ له بعد الطول فيلغى البعد في النسبة.
على الرغم من أن الكميات بلا أبعاد ليس لها وحدات أساسية في النظام الدولي، إلا أنها تلعب دوراً مهماً في وصف الظواهر المختلفة، خصوصاً عند مقارنة حالات أو أنظمة مختلفة بعلاقة واحدة مشتركة.
معنى اختيار نظام وحدات مختلف
النظام الدولي ليس النظام الوحيد الممكن للوحدات. يمكن في بعض المجالات استعمال أنظمة أخرى مثل النظام الإمبراطوري أو أنظمة "طبيعية" في فيزياء متقدمة. لكن جميع هذه الأنظمة تشترك في الفكرة العامة نفسها، وهي أن الأبعاد الفيزيائية تبقى ثابتة، بينما تتغير الأعداد وعوامل التحويل تبعاً لاختيار الوحدات.
في ميكانيكا المبتدئين عادة نعتمد النظام الدولي بسبب بساطته وانتشاره في الكتب والأبحاث العلمية، وهذا يعني أن غالبية المعادلات التي سنستخدمها لاحقاً تفترض القياس بالمتر، والثانية، والكيلوغرام، ووحدات المشتقات التابعة لها مثل النيوتن والجول.
قاعدة عملية في الحلول العددية
عند حل مسائل عددية في الميكانيكا باستخدام معادلات مبنية على النظام الدولي للوحدات، يجب التأكد من أن جميع المعطيات قد حُوّلت إلى وحدات النظام الدولي قبل التعويض. مثلاً إذا كان الزمن بالدقائق والمسافة بالكيلومترات والكتلة بالطن فيجب تحويلها إلى $s$ و $m$ و $kg$ قبل استخدام القوانين. وإلا ستكون النتيجة النهائية خاطئة حتى لو كان التعويض في المعادلة صحيحاً شكلياً.
خلاصة
الوحدات والأبعاد هما اللغة التي نكتب بها القوانين الفيزيائية. الأبعاد تخبرنا بنوع الكمية من وجهة نظر مجردة، والوحدات تعطينا قيماً عددية عملية تتوافق مع هذا النوع. النظام الدولي للوحدات يوفّر مرجعاً موحّداً لهذه اللغة، والتحليل البعدي يمنحنا أداة لفهم بنية القوانين الفيزيائية واختبار اتساقها الشكلي قبل الرجوع إلى التجربة. في الفصول التالية سنستخدم هذه الأفكار باستمرار من غير تكرار التعريف، لذلك من المهم أن تصبح هذه المفاهيم مألوفة وواضحة منذ الآن.