Table of Contents
لمحة تمهيدية عن المشتقات الكلية
في هذا الفصل نركّز على فكرة خاصة من أفكار التفاضل، هي المشتقة الكلية، التي تظهر متى كانت الدالة تعتمد على أكثر من متغير، وهذه المتغيرات نفسها تعتمد على متغير آخر مثل الزمن. في فصل «الدوال ذات المتغير الواحد وعدة متغيرات» تعرفنا على الدوال بعدة متغيرات، وفي فصل «المشتقات الجزئية» رأينا كيف نشتق بالنسبة إلى متغير واحد مع تثبيت باقي المتغيرات. هنا نرى ما الذي يحدث حين لا نستطيع تثبيت باقي المتغيرات لأنها نفسها دوال في متغير واحد مثل الزمن.
الفرق المفهومي بين المشتقة الجزئية والمشتقة الكلية
عندما نكتب دالة مثل $f(x,y)$ ثم نشتق بالنسبة إلى $x$ مع تثبيت $y$ ثابتة نحصل على مشتقة جزئية هي $ \dfrac{\partial f}{\partial x} $. هذه المشتقة تخبرنا كيف يتغير $f$ إذا حركنا $x$ وحده، وبقينا في «خط» مواز لمحور $x$ في مستوى $(x,y)$.
أمّا في الفيزياء، فكثيرًا ما تكون $x$ و $y$ نفسيهما دوالًا في الزمن $t$، مثل موضع جسم يتحرك في بعدين، حيث نكتب
$$
x = x(t), \quad y = y(t).
$$
هنا لا يتغير $x$ وحده ولا $y$ وحدها حين يمر الزمن، بل يتغير الاثنان معًا. إذا أردنا معرفة معدل تغيّر $f$ مع الزمن فعلًا، أي كيف تتغير قيمة $f(x(t),y(t))$ مع الزمن أثناء الحركة، لا تكفي المشتقة الجزئية. نحتاج إلى «مشتقة كلية» تأخذ في الاعتبار كل طرق تغيّر $f$ مع الزمن، سواء عن طريق تغيّر $x$ أو عن طريق تغيّر $y$ أو كليهما معًا.
إذًا المشتقة الكلية مع الزمن، وغالبًا نرمز لها بـ $\dfrac{df}{dt}$، تقيس التغير الكلي في $f$ عندما يتغير كل ما تعتمد عليه مع الزمن.
صيغة المشتقة الكلية في بعدين
إذا كانت لدينا دالة بمتغيرين
$$
f = f(x,y),
$$
وكان كل من $x$ و $y$ دالتين في الزمن $t$
$$
x = x(t), \quad y = y(t),
$$
فإن المشتقة الكلية لـ $f$ بالنسبة إلى الزمن تُعطى بالعلاقة
$$
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
$$
هذه الصيغة نتيجة مباشرة لاستخدام «قاعدة السلسلة» في سياق الدوال بعدة متغيرات. نلاحظ فيها الآتي.
التغير الكلي لـ $f$ مع الزمن هو مجموع مساهمتين، الأولى بسبب تغير $x$ مع الزمن والثانية بسبب تغير $y$ مع الزمن. المعاملان $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ و $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ يصفان حساسية $f$ لتغير $x$ و $y$ كلٌ بمفرده، بينما $\dfrac{dx}{dt}$ و $\dfrac{dy}{dt}$ يخبراننا كيف يتغير $x$ و $y$ فعليًا مع الزمن.
مثال توضيحي
لنفرض أن لدينا دالة
$$
f(x,y) = x^2 y,
$$
وأن حركة نقطة في المستوى تُعطى بالعلاقتين
$$
x(t) = t, \quad y(t) = t^2.
$$
أولًا نحسب المشتقات الجزئية
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2.
$$
ثم نحسب معدلات تغير الإحداثيات مع الزمن
$$
\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t.
$$
نضع هذا في صيغة المشتقة الكلية
$$
\frac{df}{dt} = (2xy)\frac{dx}{dt} + (x^2)\frac{dy}{dt}.
$$
نعوّض عن $x$ و $y$ بدوال الزمن
$$
\frac{df}{dt} = 2\,(t)\,(t^2)\,(1) + (t^2)\,(2t) = 2t^3 + 2t^3 = 4t^3.
$$
يمكن التحقق مباشرة أيضًا بكتابة $f$ بدلالة $t$ فقط، حيث
$$
f(t) = x(t)^2 y(t) = t^2 \cdot t^2 = t^4,
$$
فتكون
$$
\frac{df}{dt} = \frac{d}{dt}(t^4) = 4t^3.
$$
نلاحظ أن النتيجة نفسها، وهذا يؤكد صحة صيغة المشتقة الكلية.
المشتقة الكلية في عدة أبعاد
لا تقتصر الفكرة على متغيرين فقط. إذا كانت لدينا دالة
$$
f = f(x_1, x_2, \dots, x_n),
$$
بحيث أن كل $x_i$ دالة في الزمن $t$
$$
x_i = x_i(t),
$$
فإن المشتقة الكلية لـ $f$ بالنسبة إلى الزمن تُكتب على الشكل العام
$$
\frac{df}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}\,\frac{dx_i}{dt}.
$$
هذه الصيغة هي تعميم مباشر لصيغة البعدين. كل حد في المجموع يمثل مساهمة تغير المتغير $x_i$ في التغير الكلي لـ $f$ مع الزمن.
في الفيزياء، غالبًا ما تكون المتغيرات $x_1, x_2, x_3$ هي إحداثيات الموضع في الفضاء الثلاثي $(x,y,z)$، فتصبح المشتقة الكلية معبرًا عن التغير الكلي في كمية ما تعتمد على الموضع، عندما يتحرك الجسم في الفضاء.
كتابة المشتقة الكلية بصيغة متجهة
في فصل «حساب المتجهات» سنرى مفاهيم مثل متجه التدرج. من المفيد هنا أن نستبق استخدامًا واحدًا بسيطًا له دون الدخول في تفاصيله.
إذا كانت
$$
\vec{r} = \vec{r}(t)
$$
متجه الموضع الذي يصف حركة نقطة في الفضاء، وكان لدينا مجال عددي
$$
f = f(\vec{r}),
$$
فإن المشتقة الكلية لـ $f$ بالنسبة إلى الزمن $t$ يمكن كتابتها بشكل متجه مختصر
$$
\frac{df}{dt} = \nabla f \cdot \frac{d\vec{r}}{dt},
$$
حيث $\nabla f$ متجه التدرج، و $\dfrac{d\vec{r}}{dt}$ هو متجه السرعة.
هذه الصيغة المكافئة للصيغة العامة السابقة، لكنها تبرز بوضوح أن تغير $f$ مع الزمن يتبع اتجاه حركة النقطة في الفضاء، وأنه يساوي الإسقاط القياسي لتدرج $f$ على متجه السرعة.
المشتقة الكلية مع متغير مستقل عام
حتى الآن ركزنا على الزمن باعتباره المتغير المستقل، لكن المشتقة الكلية ليست مرتبطة بالزمن وحده. إذا كانت لدينا دالة
$$
f = f(x_1, x_2, \dots, x_n),
$$
وكل $x_i$ دالة في متغير مستقل عام، لنسمّه $u$
$$
x_i = x_i(u),
$$
فإن المشتقة الكلية لـ $f$ بالنسبة إلى $u$ تُكتب
$$
\frac{df}{du} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}\,\frac{dx_i}{du}.
$$
يمكن أن يكون $u$ مثلًا الإحداثي على مسار معين أو زاوية أو أي متغير يحدد الحالة على طول منحنى في الفضاء. الفكرة نفسها تبقى كما هي، لكن بدل الزمن نستخدم المتغير المناسب للمسألة.
تفريق الدوال التي تعتمد مباشرة وغير مباشرة على المتغير
أحيانًا تعتمد $f$ على الزمن بطريقتين في آن واحد. الأولى مباشرة عندما يظهر $t$ صراحة في التعبير عن $f$، والثانية غير مباشرة عندما تعتمد $f$ على متغيرات هي بدورها دوال في الزمن. في هذه الحالة علينا أن نكون حذرين في كتابة المشتقة الكلية.
لنفرض أن
$$
f = f(x,y,t),
$$
حيث
$$
x = x(t), \quad y = y(t).
$$
أي أن $t$ يظهر صراحة في الدالة، ويؤثر أيضًا من خلال $x$ و $y$. في هذه الحالة تكون المشتقة الكلية
$$
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t}.
$$
المصطلح الأخير $\dfrac{\partial f}{\partial t}$ يمثل التغير «المباشر» في $f$ مع الزمن عندما نثبت $x$ و $y$، بينما باقي الحدود تمثل التغير «غير المباشر» عبر تغير $x$ و $y$ مع الزمن.
قاعدة مهمة
عندما تعتمد دالة على متغير مستقل مثل الزمن بطريقتين مباشرة وغير مباشرة عبر متغيرات أخرى، لا يكفي اشتقاق الجزء الصريح فقط، بل يجب جمع كل المساهمات باستخدام صيغة المشتقة الكلية
$$
\frac{df}{dt} = \sum_{i}\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{dx_i}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t}.
$$
مثال على اعتماد مباشر وغير مباشر على الزمن
لتكن
$$
f(x,t) = x^2 t,
$$
مع
$$
x(t) = \sin t.
$$
هنا $f$ تعتمد على $t$ مباشرة من خلال العامل $t$، وغير مباشرة من خلال $x(t)$.
أولًا نحسب
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xt, \quad \frac{\partial f}{\partial t} = x^2.
$$
ثم
$$
\frac{dx}{dt} = \cos t.
$$
نستعمل صيغة المشتقة الكلية
$$
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t}
= (2xt)\cos t + x^2.
$$
نعوّض $x = \sin t$
$$
\frac{df}{dt} = 2t\sin t \cos t + \sin^2 t.
$$
يمكن التأكد مباشرة بكتابة $f$ بدلالة $t$
$$
f(t) = (\sin t)^2 t = t\sin^2 t,
$$
ثم الاشتقاق بالنسبة إلى $t$
$$
\frac{df}{dt} = \sin^2 t + t \cdot 2\sin t \cos t = \sin^2 t + 2t\sin t \cos t.
$$
النتيجة نفسها، وهذا يوضح كيف تتوزع مساهمة الزمن المباشرة وغير المباشرة في المشتقة الكلية.
المعنى الهندسي للمشتقة الكلية
الهندسة تساعد على بناء الحدس. تخيل أن الدالة $f$ معرفة على مستوى $(x,y)$، وأن النقطة $(x(t),y(t))$ تتحرك في هذا المستوى مع الزمن على مسار ما. القيمة $f(x(t),y(t))$ تمثل «ارتفاع» سطح $f$ فوق هذا المسار في كل لحظة.
حينما نأخذ المشتقة الكلية $\dfrac{df}{dt}$، فإننا نقيس سرعة تغيّر هذا الارتفاع مع الزمن أثناء الحركة على المسار. إذا كانت المشتقة موجبة، فهذا يعني أن نقطة الحركة ترتقي إلى قيم أعلى لـ $f$. وإذا كانت سالبة، فهذا يعني أنها تنزل إلى قيم أقل. وإذا كانت المشتقة الكلية صفرًا في لحظة معينة، فهذا يعني أن التغير في $f$ منعدم في تلك اللحظة رغم احتمال استمرار تغير الإحداثيات $(x,y)$.
من هذه الزاوية يمكن النظر إلى المشتقة الكلية كأنها «معدل تغير الدالة على طول مسار معين» في فضاء المتغيرات.
المشتقة الكلية في الفيزياء الكلاسيكية
في الميكانيكا الكلاسيكية، تظهر المشتقات الكلية في مواضع عديدة. من الأمثلة التقليدية أن تكون لدينا كمية فيزيائية تعتمد على الموضع والزمن، مثل درجة الحرارة أو الجهد أو كثافة ما، ثم نريد معرفة كيف تتغير هذه الكمية مع الزمن على طول حركة جسيم. عندئذ نستعمل المشتقة الكلية مع الزمن بدلالة موضع الجسيم كدالة في الزمن.
سنرى أيضًا في فصول لاحقة، خاصة في «ديناميكا نيوتن» و«حركة أنظمة الجسيمات» و«حركة الموجات»، أن استخدام المشتقة الكلية مع الزمن ضروري للتفريق بين تغير حقيقي في الكمية وتغير يُرى بسبب الحركة في مجال غير متجانس في الفضاء أو في الزمن.
تلخيص الفكرة الأساسية
جوهر المشتقة الكلية أنها تطبق قاعدة السلسلة على دوال بعدة متغيرات، عندما تكون هذه المتغيرات نفسها دوالًا في متغير مستقل واحد. بدل أن نسأل كيف تتغير الدالة مع تغيّر متغير واحد فقط بينما الباقي ثابت، نسأل كيف تتغير مع الزمن عندما يتحرك جميع المتغيرات معًا وفقًا لعلاقات محددة.
لذلك، كلما رأيت دالة تعتمد على متغيرات تتغير مع الزمن، وفكّرت في معدل تغير هذه الدالة مع الزمن، يجب أن تفكر في المشتقة الكلية وصيغتها العامة
$$
\frac{df}{dt} = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_i}\,\frac{dx_i}{dt},
$$
مع إضافة $\dfrac{\partial f}{\partial t}$ إن كان الزمن يظهر صراحة في الدالة.