Table of Contents
فكرة المشتقة الجزئية
في التفاضل العادي نتعامل غالبا مع دوال ذات متغير واحد مثل $y(x)$ وندرس كيف يتغير $y$ عندما يتغير $x$. أمّا في المشتقات الجزئية فنحن نتعامل مع دوال تعتمد على أكثر من متغير مثل $f(x, y)$ أو $f(x, y, z)$ حيث تمثل عادة كميات فيزيائية في فضاء ثنائي أو ثلاثي الأبعاد مثل درجة الحرارة أو الجهد الكهربائي أو الارتفاع.
الفكرة الجوهرية في المشتقة الجزئية هي دراسة تغير الدالة بالنسبة إلى أحد متغيراتها مع تثبيت المتغيرات الأخرى كما لو كانت ثوابت. لذلك نرمز للمشتقة الجزئية بالنسبة إلى $x$ بالرمز $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ ونعني بها مقدار تغير $f$ إذا تغيّر $x$ وحده بينما تبقى باقي المتغيرات ثابتة.
من المهم في السياق الفيزيائي أن نلاحظ أنّ المشتقة الجزئية تعكس "اتجاها محددا للتغير" داخل فضاء من المتغيرات حيث لكل متغير معنى فيزيائي مستقل مثل الإحداثيات المكانية أو الزمن.
التعريف الرياضي للمشتقة الجزئية
لنأخذ دالة ذات متغيرين $f(x, y)$. المشتقة الجزئية لـ $f$ بالنسبة إلى $x$ عند نقطة $(x_0, y_0)$ تُعرّف حدويا بالصيغة
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
=
\lim_{\Delta x \to 0}
\frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}
$$
في هذا التعريف يبقى $y_0$ ثابتا ولا يتغير إطلاقا, أي أننا نتحرك على خط مواز لمحور $x$ في المستوى.
وبالمثل, المشتقة الجزئية بالنسبة إلى $y$ هي
$$
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
=
\lim_{\Delta y \to 0}
\frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
$$
هنا يُثبّت $x_0$ وننظر فقط إلى تأثير تغيير $y$.
قواعد الاشتقاق للمشتقات الجزئية
قواعد الاشتقاق الأساسية التي عرفتها في المشتقات العادية ما تزال صحيحة للمشتقات الجزئية, مع ملاحظة أساسية, كل متغير آخر غير المتغير الذي نشتق بالنسبة إليه يعامل كأنه ثابت.
من أهم القواعد
- مشتقة ثابت تساوي صفرا
- مشتقة مجموع تساوي مجموع المشتقات
- مشتقة حاصل ضرب تساوي
$$
\frac{\partial}{\partial x}(uv) = u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial x}
$$ - يمكن استعمال قاعدة السلسلة مع المشتقات الجزئية, وستظهر أهميتها أكثر عند الحديث عن المشتقات الكلية في فصل لاحق.
قاعدة مهمة:
عند حساب $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ يجب أن تتعامل مع كل ظهور لـ $y, z, \dots$ على أنها ثوابت, حتى لو كانت فيزيائيا كميات متغيرة في حالة أخرى. عملية الاشتقاق هنا "محلية" بالنسبة إلى المتغير الذي نشتق عنه فقط.
أمثلة حسابية أساسية
مثال 1
لتكن
$$
f(x, y) = x^2 y + 3xy^2
$$
لحساب المشتقة الجزئية بالنسبة إلى $x$
$$
\frac{\partial f}{\partial x}
=
\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial x}(3xy^2)
$$
نعد $y$ ثابتا في الحد الأول, فيكون
$$
\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2x y
$$
وفي الحد الثاني يعد $y^2$ ثابتا
$$
\frac{\partial}{\partial x}(3xy^2) = 3 y^2
$$
إذن
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2
$$
الآن المشتقة الجزئية بالنسبة إلى $y$
$$
\frac{\partial f}{\partial y}
=
\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(3xy^2)
$$
في الحد الأول يعد $x^2$ ثابتا
$$
\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2
$$
وفي الحد الثاني يعد $3x$ ثابتا
$$
\frac{\partial}{\partial y}(3xy^2) = 6xy
$$
إذن
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy
$$
مثال 2
لتكن دالة ثلاثية المتغيرات
$$
f(x, y, z) = x^2 + y^2 z + e^{xz}
$$
نحسب
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 0 + z e^{xz}
$$
لأن $y^2 z$ لا يعتمد على $x$ فيعامل كثابت, وأما $e^{xz}$ فمشتقته حسب قاعدة السلسلة هي $z e^{xz}$ مع تثبيت $z$.
كذلك
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = 2y z
$$
حيث لا يعتمد أي حد آخر في $f$ على $y$.
وأخيرا
$$
\frac{\partial f}{\partial z} = y^2 + x e^{xz}
$$
المشتقات الجزئية من رتب أعلى
كما في حالة متغير واحد يمكن أن نشتق مرة أخرى لنحصل على مشتقات من رتبة أعلى. إذا اشتققنا $f(x, y)$ مرتين بالنسبة إلى $x$ نحصل على
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
$$
وهي المشتقة الجزئية الثانية لـ $f$ بالنسبة إلى $x$.
ويمكن أيضا اشتقاق $f$ مرة بالنسبة إلى $x$ ثم مرة بالنسبة إلى $y$ فنحصل على مشتقة مختلطة
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
=
\frac{\partial}{\partial y}
\left(
\frac{\partial f}{\partial x}
\right)
$$
ويكتب أحيانا
$$
f_{xy}
$$
وبالمثل
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{yx}
$$
في كثير من الحالات الفيزيائية, عندما تكون الدالة ناعمة بما فيه الكفاية, تتحقق مساواة المشتقات المختلطة
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}
=
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
$$
هذه النتيجة مهمة في مواضيع لاحقة مثل حساب المتجهات ومعادلات لابلاس وبواسون.
معنى المشتقات الجزئية هندسيا
إذا كانت $f(x, y)$ تمثل سطحا في الفضاء الثلاثي, حيث يعطي كل زوج $(x, y)$ ارتفاعا $z = f(x, y)$, فإن
$$
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
$$
هي ميل المقطع الناتج عن تقاطع السطح مع المستوى الذي يمر بالنقطة $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ والموازي لمستوى $x z$. أي أنها تعطي ميل منحنى الارتفاع إذا تحركنا في اتجاه محور $x$ فقط عند ثبات $y = y_0$.
بنفس الطريقة
$$
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
$$
تعطي ميل المقطع الموازي لمستوى $y z$, أي تعبر عن كيفية تغير الارتفاع إذا تحركنا في اتجاه محور $y$ فقط عند ثبات $x = x_0$.
هذا الفهم الهندسي سيكون خطوة مهمة عند تعريف متجه التدرج في فصل "حساب المتجهات" حيث سنجمع كل هذه المشتقات الجزئية في كيان متجهي واحد.
المشتقات الجزئية في السياق الفيزيائي
في الفيزياء تظهر المشتقات الجزئية طبيعيا عندما تعتمد الكمية الفيزيائية على أكثر من متغير مستقل. على سبيل المثال قد تعتمد درجة الحرارة $T$ في نقطة من الفراغ على الإحداثيات الثلاثة
$$
T = T(x, y, z)
$$
عندها تعني
$$
\frac{\partial T}{\partial x}
$$
معدل تغير درجة الحرارة عندما نتحرك في اتجاه محور $x$ مع تثبيت $y$ و $z$. أي أننا نسأل تحديدا: كيف تتغير $T$ إذا تحركنا أفقيا على طول اتجاه واحد فقط من الإحداثيات مع بقاء باقي الإحداثيات ثابتة.
بنفس الطريقة إذا كان لدينا حقل سرعة لسيولة ما
$$
\vec{v}(x, y, z, t)
$$
فإن الكميات
$$
\frac{\partial \vec{v}}{\partial x},
\quad
\frac{\partial \vec{v}}{\partial y},
\quad
\frac{\partial \vec{v}}{\partial z},
\quad
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}
$$
كل واحدة منها تصف نوعا مختلفا من التغير, بعضها مكاني وبعضها زمني. الربط الدقيق بين هذه المشتقات الجزئية ومعنى التغير مع حركة جسيم في الحقل سيظهر في فصل "المشتقات الكلية", لذلك لن نفصل فيه هنا.
المشتقات الجزئية والرموز
من الناحية العملية في الفيزياء تستعمل رموز مختلفة للمشتقات الجزئية بحسب السياق. فإلى جانب الرمز القياسي
$$
\frac{\partial f}{\partial x}
$$
يمكن أن نرى أحيانا رموزا مختصرة مثل
$$
f_x, \quad f_y, \quad f_{xx}, \quad f_{xy}
$$
أو يكتب أحيانا في سياق المعادلات التفاضلية
$$
\partial_x f, \quad \partial_t f
$$
حيث $\partial_x$ تعني "اشتق بالنسبة إلى $x$" وهكذا.
تنبيه فيزيائي:
عندما ترى رمزا مثل $\dfrac{\partial f}{\partial t}$ في معادلة فيزيائية يجب أن تسأل دائما, ما هي المتغيرات التي تثبت هنا. فمثلا في الديناميكا الحرارية تثبيت الحجم يختلف عن تثبيت الضغط, وفي الحركيات قد نثبت الإحداثيات المكانية أو نتبع جسيم متحرك. هذه الفروق الدقيقة تصبح حاسمة في تفسير النتائج الفيزيائية.
دور المشتقات الجزئية في الميكانيكا الكلاسيكية
في بقية الكتاب ستظهر المشتقات الجزئية في عدة مواضع أساسية مثل وصف الحقول مثل الجهد الجاذبي والجهد الكهربائي حيث يكون التدرج عبارة عن مجموعة من المشتقات الجزئية, وفي معادلات الاستمرارية في الميكانيكا الموائع, وفي الصيغ المتقدمة مثل ميكانيكا لاغرانج وميكانيكا هاملتون حيث تعتمد الدوال على إحداثيات كثيرة وزمن.
لذلك فإن إتقان معنى وكيفية حساب المشتقات الجزئية, والتعود على معاملـة بعض المتغيرات كثوابت أثناء الاشتقاق, سيكون أداة رياضية ضرورية لكل ما يأتي بعد هذا الفصل.