Table of Contents
مدخل إلى التكاملات في حساب المتجهات
في هذا الفصل نركز على ثلاثة أنواع أساسية من التكاملات في حساب المتجهات, التكامل الخطي, التكامل السطحي, والتكامل الحجمي. في الفصول السابقة عن حساب المتجهات تم تعريف التدرج والتباعد والدوران, وهنا سنرى كيف ترتبط هذه العمليات بالتكاملات على منحنيات, وعلى سطوح, وعلى أحجام.
الهدف ليس التعمق في التقنيات الحسابية التفصيلية لكل نوع, بل فهم الفكرة الهندسية والفيزيائية الأساسية, وكيف تُستخدم هذه التكاملات لوصف كميات فيزيائية مثل الشغل والتدفق والكتلة والشحنات.
التكاملات الخطية
التكامل الخطي هو تكامل على منحنى في الفضاء. يمكن أن نتكامل على طول خط مستقيم أو مسار منحن في مستوى ثنائي الأبعاد أو في فضاء ثلاثي الأبعاد. هناك نوعان رئيسيان مهمان في الفيزياء, التكامل الخطي لدالة قياسية على طول منحنى, والتكامل الخطي لحقل متجهي على طول منحنى.
التكامل الخطي لدالة قياسية على طول منحنى
نفرض أن لدينا دالة قياسية $f(x,y,z)$ ومسار منحني $C$ في الفضاء, ونريد حساب "المجموع" المستمر لقيم $f$ على طول $C$. تخيل أن $f$ تمثل الكثافة الخطية لكتلة على سلك رقيق منحن, والمسار $C$ يمثل شكل هذا السلك. مجموع الكتلة الإجمالي هو تكامل قيم الكثافة على طول السلك.
يُكتب هذا التكامل عادة بالشكل
$$
\int_C f\, ds
$$
حيث $ds$ هو عنصر الطول على المنحنى. إذا كان المنحنى يُمثَّل بالمعلمة $t$ على صورة
$$
\vec r(t) = \big(x(t), y(t), z(t)\big), \quad a \le t \le b
$$
فإن عنصر الطول الصغير يُعطى بـ
$$
ds = \left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\| dt
$$
فيصبح التكامل
$$
\int_C f\, ds = \int_a^b f\big(x(t), y(t), z(t)\big)\, \left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|\, dt
$$
فيزيائياً, هذا النوع من التكامل يُستخدم لحساب كميات مثل الكتلة الكلية لسلك ذي كثافة خطية متغيرة, أو كمية الشحنة على سلك مشحون, أو حتى طول المسار نفسه عندما يكون $f=1$.
مثال
سلك على خط مستقيم في بعد واحد من $x = 0$ إلى $x = 2$, وله كثافة خطية $\lambda(x) = 3x$ (مثلا بوحدات كغ/م). الكتلة الكلية هي
$$
M = \int_0^2 \lambda(x)\, dx = \int_0^2 3x\, dx = \left.\frac{3}{2}x^2\right|_0^2 = 6
$$
هنا المنحنى بسيط في بعد واحد, وعنصر الطول $ds$ يساوي $dx$.
التكامل الخطي لحقل متجهي, الشغل على طول مسار
النوع الأهم في الميكانيكا هو التكامل الخطي لحقل متجهي على منحنى. إذا كان لدينا حقل قوة متجهي
$$
\vec F(x,y,z)
$$
وجسيم يتحرك على مسار $C$ موصوف بـ $\vec r(t)$, فإن الشغل الذي تبذله القوة على الجسيم عند انتقاله على طول المسار يُعطى بالتكامل الخطي المتجهي
$$
W = \int_C \vec F \cdot d\vec r
$$
حيث $d\vec r$ متجه صغير يلامس المنحنى, وهو
$$
d\vec r = \frac{d\vec r}{dt} dt
$$
إذًا يمكن كتابة الشغل في صورة
$$
W = \int_a^b \vec F\big(\vec r(t)\big) \cdot \frac{d\vec r}{dt}\, dt
$$
هذه الصيغة مهمة جدا في الفيزياء, فهي تربط بين القوة والمسار لتحديد الشغل. لاحظ أن التكامل هنا يأخذ في الحسبان اتجاه الحركة, لذلك يمكن لنفس نقطة البداية والنهاية أن تعطي شغلا مختلفا إذا تغير شكل المسار.
مثال في بعدين
لنفرض أن جسيم يتحرك في مستوى $(x,y)$ في مجال قوة
$$
\vec F(x,y) = (2x, 3y)
$$
على مسار مستقيم من النقطة $(0,0)$ إلى $(1,1)$, يمكن تمثيل المسار بالمعلمة
$$
\vec r(t) = (t, t), \quad 0 \le t \le 1
$$
إذن
$$
\frac{d\vec r}{dt} = (1, 1)
$$
وقيمة القوة على المسار
$$
\vec F(\vec r(t)) = (2t, 3t)
$$
الشغل
$$
W = \int_0^1 \vec F(\vec r(t)) \cdot \frac{d\vec r}{dt} \, dt
= \int_0^1 (2t,3t)\cdot(1,1)\, dt
= \int_0^1 (5t)\, dt = \frac{5}{2}
$$
قاعدة مهمة
في التكاملات الخطية المتجهية من النوع $\int_C \vec F \cdot d\vec r$, اتجاه المسار $C$ مهم جدا. إذا عكست اتجاه المسار يتغير إشارة التكامل, أي
$$
\int_{C_{\text{عكسي}}} \vec F \cdot d\vec r = - \int_C \vec F \cdot d\vec r
$$
العلاقة مع التدرج, حقول القوى المحافظة
عندما يكون الحقل المتجهي $\vec F$ هو تدرج دالة قياسية, أي
$$
\vec F = \nabla \phi
$$
فإن التكامل الخطي له على منحنى بين نقطتين يعتمد فقط على قيم $\phi$ في البداية والنهاية, ولا يعتمد على شكل المسار. هذه الفكرة أساسية في فهم القوى المحافظة والطاقة الكامنة, وسيتم استخدامها لاحقا في فصول الشغل والطاقة وحفظ الطاقة.
التكاملات السطحية
إذا كان التكامل الخطي "يمشي" على منحنى, فإن التكامل السطحي "يمتد" على سطح ثنائي الأبعاد في الفضاء. كما في التكاملات الخطية, يوجد نوعان مهمان, تكامل دالة قياسية على سطح, وتكامل حقل متجهي على سطح.
تمثيل السطح والعنصر السطحي
ليكن لدينا سطح أملس $S$ في الفضاء, يمكن تمثيله في كثير من الحالات بواسطة معلمتين $u,v$ بالشكل
$$
\vec r(u,v) = \big(x(u,v), y(u,v), z(u,v)\big)
$$
لعناصر $(u,v)$ في مجال مناسب. يمكن عندئذ تعريف متجهين مماسيين للسطح
$$
\vec r_u = \frac{\partial \vec r}{\partial u}, \quad \vec r_v = \frac{\partial \vec r}{\partial v}
$$
ومتجه عمودي محلي على السطح
$$
\vec n_{\text{غير مُوحّد}} = \vec r_u \times \vec r_v
$$
طول هذا المتجه يعطي مساحة متوازي الأضلاع الصغير على السطح الناتج عن تغيير صغير في $u$ و $v$, لذلك عنصر المساحة السطحية هو
$$
dS = \|\vec r_u \times \vec r_v\|\, du\, dv
$$
هذه الصيغة هي الأساس لتحديد شكل التكاملات السطحية في الإحداثيات العامة.
التكامل السطحي لدالة قياسية
إذا كان لدينا دالة قياسية $f(x,y,z)$ معرَّفة على السطح $S$, فيمكننا التكامل على السطح لإيجاد "المجموع" المستمر لقيم $f$ فوق السطح. يُكتب هذا عادة
$$
\iint_S f\, dS
$$
وباستخدام التمثيل بالمعلمتين $u,v$ يصبح
$$
\iint_S f\, dS = \iint_D f\big(\vec r(u,v)\big)\, \|\vec r_u \times \vec r_v\|\, du\, dv
$$
حيث $D$ هو المجال في مستوى $(u,v)$ الذي يحدد السطح.
في الفيزياء, هذا التكامل يُستخدم مثلا لحساب كتلة غشاء رقيق ذي كثافة سطحية متغيرة, أو شحنة سطحية, أو تدفق حرارة عبر سطح إذا كانت $f$ كمية مناسبة.
التكامل السطحي لحقل متجهي, التدفق
الأهم في الميكانيكا والحقول هو التكامل السطحي للحقل المتجهي. إذا كان لدينا حقل متجهي
$$
\vec F(x,y,z)
$$
وسطح $S$ ذو متجه عمودي وحدي $\hat n$, فإن التكامل السطحي المتجهي يُكتب
$$
\iint_S \vec F \cdot d\vec S
$$
حيث
$$
d\vec S = \hat n\, dS
$$
في التمثيل بالمعلمتين $u,v$, يكون المتجه السطحي العنصري
$$
d\vec S = \big(\vec r_u \times \vec r_v\big)\, du\, dv
$$
وبالتالي
$$
\iint_S \vec F \cdot d\vec S
= \iint_D \vec F\big(\vec r(u,v)\big)\cdot\big(\vec r_u \times \vec r_v\big)\, du\, dv
$$
فيزيائيا, هذا التكامل يمثل التدفق عبر السطح. إذا كانت $\vec F$ سرعة مائع, فإن التكامل يعطي معدل الحجم الذي يعبر السطح في وحدة الزمن. إذا كانت $\vec F$ حقلا كهربائيا أو مغناطيسيا, فإن التكامل يمثل تدفق المجال, وهذا يرتبط مباشرة بقوانين ماكسويل في الكهرومغناطيسية.
مثال بسيط
لنفترض حقلا متجها ثابتا في الفضاء
$$
\vec F = (0, 0, 5)
$$
وسطحا هو مربع في مستوى $xy$ عند $z = 0$, حدوده $0 \le x \le 2$, $0 \le y \le 3$. متجه العمودي على السطح يشير نحو الأعلى
$$
\hat n = (0, 0, 1)
$$
وعنصر المساحة
$$
dS = dx\, dy
$$
إذن
$$
d\vec S = \hat n\, dS = (0,0,1)\, dx\, dy
$$
التدفق عبر السطح
$$
\iint_S \vec F \cdot d\vec S
= \int_0^2 \int_0^3 (0,0,5)\cdot(0,0,1)\, dy\, dx
= \int_0^2 \int_0^3 5\, dy\, dx = 5\cdot 3\cdot 2 = 30
$$
ملاحظة عن اتجاه السطح
التكامل السطحي المتجهي يعتمد على اختيار اتجاه العمودي. إذا عكست اتجاه $\hat n$, أي اخترت العمودي في الجهة المعاكسة, يتغير إشارة التكامل
$$
\iint_{S_{\text{معكوس}}} \vec F \cdot d\vec S = - \iint_S \vec F \cdot d\vec S
$$
لذلك عند استخدام قوانين مثل مبرهنة غاوس أو ستوكس, يجب الانتباه للاتجاه المتفق عليه.
العلاقة مع التباعد والدوران
في حساب المتجهات توجد مبرهنتان مركزيتان تربطان بين التكاملات السطحية والتكاملات الحجمية أو الخطية, مبرهنة غاوس للتباعد, ومبرهنة ستوكس للدوران. مبرهنة غاوس تربط تكامل التباعد داخل حجم بتكامل التدفق على السطح المغلق المحيط به, ومبرهنة ستوكس تربط تكامل الدوران على سطح مفتوح بتكامل خطي على حد هذا السطح. هاتان المبرهنتان توضحان كيف تتحول معلومات محلية عن حقل متجهي إلى معلومات عن سلوك الحقل على الحدود, وستُستخدم كثيرا في تطبيقات ديناميكا الموائع والكهرومغناطيسية والجاذبية.
التكاملات الحجمية
بعد المنحنيات والأسطح نصل إلى التكامل على أحجام ثلاثية الأبعاد. التكامل الحجمي هو تعميم للتكامل المعتاد في بعد واحد إلى ثلاثة أبعاد. فكرة التكامل الحجمي أن نحسب "المجموع" المستمر لقيم دالة داخل حجم معين في الفضاء.
تعريف التكامل الحجمي
إذا كان لدينا دالة قياسية $f(x,y,z)$ معرَّفة على حجم $V$, فنكتب التكامل الحجمي كالتالي
$$
\iiint_V f\, dV
$$
حيث $dV$ عنصر الحجم الصغير. في الإحداثيات الكارتيزية
$$
dV = dx\, dy\, dz
$$
وفي الإحداثيات الأخرى مثل الإسطوانية أو الكروية يأخذ $dV$ صورا مختلفة, وهذا سيكون مهما في التطبيقات الفيزيائية مثل المسائل ذات التناظر الكروي أو المحوري.
في الميكانيكا تُستخدم التكاملات الحجمية كثيرا لحساب كتلة جسم ثلاثي الأبعاد ذي كثافة حجمية $\rho(x,y,z)$
$$
M = \iiint_V \rho\, dV
$$
أو لحساب الشحنة الكلية في توزيع حجمي, أو لحساب عزم القصور الذاتي, وغيرها من الكميات.
مثال بسيط
جسم مكعب أبعاده $1 \times 2 \times 3$ في الإحداثيات الكارتيزية, وذو كثافة ثابتة $\rho = 4$ كغ لكل وحدة حجم. إذا أخذنا حدود المكعب
$$
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 2,\quad 0 \le z \le 3
$$
فإن الكتلة
$$
M = \iiint_V \rho\, dV
= \int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 4\, dz\, dy\, dx
= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
$$
العلاقة مع التباعد, مبرهنة غاوس
التباعد $\nabla \cdot \vec F$ لحقل متجهي يرتبط بالتكاملات الحجمية عن طريق مبرهنة غاوس. إذا كان $V$ حجما مغلقا يحده سطح مغلق $S$, فإن
$$
\iiint_V (\nabla \cdot \vec F)\, dV = \iint_S \vec F \cdot d\vec S
$$
هذه المبرهنة تقول أن مجموع "مصادر" الحقل داخل حجم يساوي التدفق الكلي عبر السطح المحيط به. في الفيزياء يظهر هذا في صيغ قوانين الحفظ للكتلة والشحنة والطاقة, حيث تربط التغير في كمية داخل حجم معين بما يعبر من حدود هذا الحجم.
المقارنة بين التكاملات الخطية والسطحية والحجمية
كل نوع من هذه التكاملات يعبّر عن جمع مستمر لكميات على هندسة مختلفة. التكامل الخطي يجمع على طول, التكامل السطحي يجمع على مساحة, والتكامل الحجمي يجمع على حجم. الدوال المتجهية تدخل في التكامل الخطي والسطحي لتصف الشغل والتدفق, بينما التكامل الحجمي يُستخدم غالبا للدوال القياسية مثل الكثافة.
يمكن النظر إلى هذه التكاملات كسلسلة مترابطة في حساب المتجهات, فالتدرج يرتبط بالتكاملات الخطية عبر حقول القوى المحافظة, والتباعد يرتبط بالتكاملات الحجمية عبر مبرهنة غاوس, والدوران يرتبط بالتكاملات السطحية عبر مبرهنة ستوكس. هذه الروابط تجعل حساب المتجهات أداة قوية في الميكانيكا الكلاسيكية وفي مجالات فيزيائية أخرى عديدة.
خلاصة قواعد أساسية
- في التكاملات الخطية والسطحية المتجهية, اتجاه المسار أو السطح مهم جدا ويؤثر في إشارة النتيجة.
- في التكاملات على منحنيات وسطور وأحجام, اختيار الإحداثيات المناسبة يمكن أن يبسّط التكامل بشكل كبير.
- التكاملات على حقول متجهة ليست مجرد "مساحة تحت المنحنى", بل تمثل كميات فيزيائية مثل الشغل والتدفق, لذا يجب فهم معناها الهندسي قبل محاولة حسابها.
بهذا تكون لديك صورة عامة عن التكاملات الخطية والسطحية والحجمية في حساب المتجهات, وكيف تُستخدم في وصف الظواهر الفيزيائية ذات الأبعاد المختلفة. التفاصيل الحسابية المتقدمة وتطبيقات هذه التكاملات ستظهر متفرقة في فصول لاحقة عند دراسة الشغل والطاقة, والتدفق, وقوانين الحفظ, والحقول الجاذبية والكهرومغناطيسية.