الشغل

تمهيد إلى مفهوم الشغل

عندما نتحدث في الحياة اليومية عن "الشغل" قد نقصد أي نشاط يبذل فيه الإنسان مجهودا ذهنيا أو جسديا. في الفيزياء لا نستعمل هذا المعنى العام، بل نعطي كلمة "الشغل" تعريفا محددا ورياضيا يرتبط بتأثير قوة في إحداث تغيير في حركة جسم.

في هذا الفصل سنركّز على المعنى الفيزيائي الدقيق للشغل، وعلى كيفيّة حسابه في مواقف بسيطة ومألوفة، تمهيدا للفصول اللاحقة التي تربطه بالطاقة وبقوانين الحفظ.

الشغل والقوة والإزاحة

الفكرة الأساسية هي أن القوة وحدها لا تكفي ليتحقق الشغل بالمعنى الفيزيائي. يجب أن تُحْدِث القوة "إزاحة" في الجسم، أي تغييرا في موضعه. كما أن اتجاه القوة بالنسبة لاتجاه الإزاحة يلعب دورا رئيسيا في مقدار الشغل.

إذا أثّرت قوة ثابتة $\vec{F}$ على جسم فتحرك الجسم من موضع إلى آخر بإزاحة متجهة $\vec{s}$ فإن الشغل الذي تبذله هذه القوة يُعرّف رياضيا بالعلاقة

$$
W = \vec{F} \cdot \vec{s}
$$

حيث $\vec{F} \cdot \vec{s}$ هو الضرب القياسي بين المتجهين.

من خواص الضرب القياسي يمكن كتابة الشغل على الصورة

$$
W = F \, s \cos\theta
$$

حيث

• $F$ مقدار القوة
• $s$ مقدار الإزاحة
• $\theta$ الزاوية بين اتجاه القوة واتجاه الإزاحة

هذه الصيغة توضّح مباشرة أن الشغل ليس مجرد "قوة × مسافة" في كل الأحوال، بل يعتمد أيضا على الزاوية بينهما.

الشغل ككمية قياسية وتوقيعه

الشغل كمية قياسية، أي يحدد بمقدار وعدد فقط ولا يحتاج لاتجاه. لكن يمكن أن يكون موجبا أو سالبا أو صفرا، تبعا للعلاقة بين اتجاه القوة واتجاه الحركة.

من العلاقة $W = F s \cos\theta$ يمكن تفسير ذلك كالتالي:

1. إذا كانت القوة في نفس اتجاه الإزاحة تقريبا، أي $\theta$ صغيرة بحيث $\cos\theta > 0$ يكون الشغل موجبا.
2. إذا كانت القوة تعاكس الحركة أو تميل في الاتجاه المعاكس بحيث $\theta > 90^\circ$ فيكون $\cos\theta < 0$ ويصبح الشغل سالبا.
3. إذا كانت القوة عمودية تماما على الإزاحة، أي $\theta = 90^\circ$ فإن $\cos 90^\circ = 0$ ويكون الشغل صفرا.

الشغل في حالة قوة ثابتة واتجاه مستقيم

أبسط حالة عملية هي عندما تؤثر قوة ثابتة القيمة والثابتة الاتجاه على جسم يتحرك في خط مستقيم.

إذا كانت القوة موازيه لاتجاه الإزاحة تماما، أي $\theta = 0$ فيصبح

$$
W = F s
$$

هذا التعبير شائع جدا في الحالات المدرسية البسيطة مثل جر صندوق على سطح أملس بسرعة ثابتة بقوة أفقية، أو رفع جسم رأسيا بسرعة ثابتة بقوة رأسية مساوية لوزنه.

في هذه الحالات لا يكون هناك حاجة لاستعمال المتجهات صراحة، ويكفي تتبع الإشارات. مثلا عند رفع جسم إلى أعلى مع اعتبار الاتجاه إلى أعلى موجبا، يكون الشغل الذي تبذله قوة الرفع موجبا، بينما يكون شغل وزن الجسم سالبا لأنه يعاكس الحركة.

الشغل في حالة قوة غير موازية للحركة

في كثير من المواقف الواقعية لا تتجه القوة في نفس اتجاه الإزاحة. مثال مشهور هو جر جسم على سطح أفقي بواسطة حبل يميل إلى الأعلى بزاوية. في هذه الحالة لا "تساهم" كل القوة في دفع الجسم أفقيا، بل يساهم مركبها الموازي للحركة فقط.

من العلاقة العامة

$$
W = F s \cos\theta
$$

يمكن تفسير الشغل بطريقتين رياضيتين متكافئتين.

إما أن نقول إن الشغل يساوي حاصل ضرب مقدار الإزاحة في مركبة القوة الموازية للحركة، أي

$$
W = F_{\parallel} \, s
$$

حيث $F_{\parallel} = F \cos\theta$.

أو نقول إنه يساوي حاصل ضرب مقدار القوة في مركبة الإزاحة الموازية للقوة، أي

$$
W = F \, s_{\parallel}
$$

حيث $s_{\parallel} = s \cos\theta$.

الطريقة الأولى هي الأكثر استعمالا في مسائل الميكانيكا، لأننا غالبا نُحلِّل القوة إلى مركبات أفقية ورأسية.

وحدة قياس الشغل

في النظام الدولي للوحدات يُقاس الشغل بوحدة الجول ويُرمز لها بـ J. يُعرَّف الجول الواحد بأنه الشغل المبذول عندما تؤثر قوة مقدارها نيوتن واحد على جسم في اتجاه حركته فتنقله مسافة متر واحد، أي

$$
1\,\text{J} = 1\,\text{N} \cdot 1\,\text{m}
$$

وبما أن النيوتن نفسه يُعرّف بدلالة الكتلة والتسارع، فيمكن كتابة الجول بدلالة الوحدات الأساسية كالتالي

$$
1\,\text{J} = 1\,\text{kg} \cdot \text{m}^2 / \text{s}^2
$$

هذه الصيغة ستظهر مرة أخرى عندما نربط الشغل بالطاقة الحركية والطاقة الكامنة.

الشغل وقوى المحافظة وغير المحافظة

مع أن دراسة القوى المحافظة وغير المحافظة تُفصّل في مواضع لاحقة، من المفيد هنا الإشارة باختصار إلى العلاقة العامة بين نوع القوة وطريقة حساب الشغل في الحركة العامة.

القوة المحافظة هي التي يعتمد الشغل المبذول بواسطتها فقط على موضعي البداية والنهاية، ولا يعتمد على المسار المتبع بينهما. مثال مهم على ذلك قوة الجاذبية وقوة النابض المثالي. هذا يعني أن الشغل في هذه الحالة يمكن ربطه بدالة طاقة كامنة، ويكون لحركة الجسم تفسير أنيق من حيث حفظ الطاقة.

في المقابل القوى غير المحافظة مثل الاحتكاك ومقاومة الهواء يبذل شغلها اعتمادا على طبيعة المسار وطوله، ولا يمكن اختصاره بدلالة موضعي البداية والنهاية فقط. هذا الاختلاف سيكون أساسيا عندما ندرس حفظ الطاقة وفقدانها إلى أشكال أخرى مثل الحرارة.

في هذا الفصل نكتفي بالإشارة إلى أن الشغل الذي تبذله قوة ما يمكن أن يكون تعبيرا عن "نقل الطاقة" من نوع إلى آخر، وأن نوع القوة سيحدد كيف يُحسب هذا الشغل، وهل يمكن ربطه بطاقة كامنة أم لا.

الشغل كتكامل خطي للقوة

حينما تكون القوة غير ثابتة أو يكون مسار الحركة منحنيا، لا تكفي العلاقة البسيطة $W = F s \cos\theta$ بوصفها ضرب عددين فقط. في هذه الحالات نتعامل مع المسار على أجزاء صغيرة جدا بحيث تكون القوة ثابتة تقريبا على كل جزء صغير، ثم نجمع مساهمات الشغل على طول المسار كله. هذه الفكرة التعبيرية تقودنا إلى تعريف تكاملي عام للشغل.

إذا أثّرت قوة متجهة $\vec{F}$ على جسم يتحرك على مسار ما، وكان عنصر الإزاحة الصغير على المسار هو المتجه $d\vec{s}$، فإن الشغل التفاضلي الذي تبذله القوة على هذا الجزء الصغير هو

$$
dW = \vec{F} \cdot d\vec{s}
$$

للحصول على الشغل الكلي من الموضع الأول إلى الموضع الأخير على طول المسار نستخدم التكامل الخطي

$$
W = \int_{\text{المسار}} \vec{F} \cdot d\vec{s}
$$

في هذا التعبير تُطبَّق نفس الفكرة التي رأيناها في حالة القوة الثابتة، ولكن بطريقة عامة تسمح بتغيّر مقدار القوة واتجاهها وتغيّر اتجاه الإزاحة على طول المسار.

في هذا المستوى يكفي أن نفهم أن هذا التكامل هو طريقة "جمع" مساهمات صغيرة من الشغل على طول مسار الحركة عندما لا نستطيع استعمال العلاقة البسيطة. التفاصيل الرياضية لحساب هذه التكاملات تُناقش على نحو أوسع في الفصول المخصصة للتكاملات الخطية وفي تطبيقات الشغل على قوى محددة.

الشغل والرسوم البيانية للقوة مع الإزاحة

طريقة مفيدة لفهم الشغل في حالة القوى التي تعتمد على الإزاحة هي استعمال الرسوم البيانية. إذا رسمنا مبيانا لمقدار القوة $F$ بدلالة الإزاحة $x$ في حالة حركة على خط مستقيم، فإن الشغل المبذول من الموضع $x_1$ إلى الموضع $x_2$ يساوي "المساحة" تحت منحنى $F(x)$ بين هذين الموضعين.

في حالة القوة الثابتة يكون المنحنى خطا أفقيا، وتكون المساحة مستطيلا مساحته $F (x_2 - x_1)$، وهو ما يطابق العلاقة البسيطة $W = F s$.

إذا تغيّرت القوة مع الإزاحة، تصبح المساحة تحت المنحنى غير منتظمة، ويصبح حساب هذه المساحة مرتبطا بالتكامل

$$
W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\, dx
$$

هذه الطريقة البصرية تساعد على بناء إحساس هندسي بمعنى الشغل كـ"تجميع" لتأثير القوة على امتداد المسافة.

شغل مجموعة من القوى والشغل الكلي

في كثير من المسائل الواقعية لا توجد قوة واحدة فقط، بل عدة قوى تؤثر على الجسم في الوقت نفسه. في هذه الحالة يمكن التفكير بطريقتين مكافئتين:

إما أن نحدد "المحصلة" الكلية للقوى، أي القوة المتجهة المكافئة لجميع القوى، ثم نحسب الشغل الذي تبذله هذه المحصلة على الجسم.

أو أن نحسب الشغل الذي تبذله كل قوة على حدة، ثم نجمع الشغول جبريا.

إذا كانت القوى المؤثرة هي $\vec{F}_1$ و $\vec{F}_2$ و $\vec{F}_3$ مثلا، وكان الجسم يتحرك بإزاحة $\vec{s}$، فإن الشغل الناتج عن كل قوة هو

$$
W_1 = \vec{F}_1 \cdot \vec{s}, \quad
W_2 = \vec{F}_2 \cdot \vec{s}, \quad
W_3 = \vec{F}_3 \cdot \vec{s}
$$

والشغل الكلي هو

$$
W_{\text{كلي}} = W_1 + W_2 + W_3
$$

كما يمكننا أن نجمع القوى أولا ثم نحسب الشغل مباشرة من القوة المحصلة $\vec{F}_{\text{محصلة}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$ بحيث

$$
W_{\text{كلي}} = \vec{F}_{\text{محصلة}} \cdot \vec{s}
$$

هاتان الطريقتان تعطيان النتيجة نفسها إذا حسبناهما بشكل صحيح، لأن الضرب القياسي يوزَّع على جمع المتجهات.

ملخص الأفكار الأساسية في هذا الفصل

في هذا الفصل ركزنا على بناء المفهوم الفيزيائي والرياضي للشغل بوصفه ناتج الضرب القياسي بين القوة والإزاحة. رأينا أن الشغل يعتمد على مقدار القوة ومقدار الإزاحة والزاوية بينهما، وأن الشغل يمكن أن يكون موجبا أو سالبا أو صفرا. تعرفنا على وحدة الجول كتعريف معياري للشغل، وأشرنا إلى أن الشغل في الحالات العامة يُحسَب كتكامُل خطي للقوة على مسار الحركة، وأن الشغل الكلي يمكن اعتباره مجموع شغول القوى المختلفة أو شغل القوة المحصلة.

في الفصول اللاحقة سيُستعمل هذا المفهوم لتكوين جسر حيوي بين القوى والطاقة، من خلال مبرهنة الشغل والطاقة، ومن خلال ربط الشغل بالطاقة الحركية والطاقة الكامنة وحفظ الطاقة في الأنظمة المختلفة.