Table of Contents
تمهيد إلى التكاملات الخطية في سياق الشغل
في فصل الشغل سبق أن عُرِّف الشغل ككمية فيزيائية تقيس ما تبذله القوة من تأثير عندما تحرّك جسماً مسافة معينة. في الحالات البسيطة التي تكون فيها القوة ثابتة والاتجاه ثابتاً يمكن حساب الشغل بسهولة بالعلاقة
$$
W = \vec F \cdot \vec d
$$
لكن في كثير من المسائل الواقعية تكون القوة متغيّرة مقداراً أو اتجاهاً أو كليهما، أو يتحرك الجسم في مسار منحنٍ. في هذه الحالات لا يعود هذا التعبير البسيط كافياً، وهنا يظهر مفهوم التكامل الخطي كأداة رياضية عامة لحساب الشغل.
في هذا الفصل نركّز على المفهوم الرياضي والفيزيائي للتكاملات الخطية المرتبطة بالشغل، وكيفية كتابتها وفهم معناها، دون الخوض في تفاصيل عامة التفاضل والتكامل أو حساب المتجهات التي خُصصت لها فصول سابقة.
الشغل على امتداد مسار متغير
لنعتبر جسماً يتحرك في الفضاء على مسار معيّن، ولتكن القوة التي تؤثر فيه قوة متجهة يمكن أن تتغير من نقطة إلى أخرى. نمثل موضع الجسم بمتجه الموضع $\vec r$ الذي يعتمد على متغير وسيطي عادة ما نختاره الزمن $t$ أو متغيراً يصف تقدم الحركة على طول المسار.
يكون الشغل التفاضلي الذي تبذله القوة عند إزاحة صغيرة جداً $d\vec r$ على طول المسار هو
$$
dW = \vec F \cdot d\vec r
$$
هذا المقدار $dW$ يمثل شغلاً صغيراً جداً، وعندما نريد حساب الشغل الكلي من نقطة ابتدائية $A$ إلى نقطة نهائية $B$ فإننا نجمع (نتكامل) هذه المساهمات الصغيرة على كامل المسار الذي يربط $A$ بـ $B$.
هنا بالضبط يظهر التكامل الخطي:
$$
W_{A \to B} = \int_{A}^{B} \vec F \cdot d\vec r
$$
هذا التكامل يسمى "تكاملاً خطياً" لأنه يحسب على طول "خط" أو "منحنى" في الفضاء، وهو الأداة العامة لحساب الشغل الذي تبذله قوة متجهة على طول مسار معين.
الشغل على مسار $C$:
$$
W = \int_{C} \vec F \cdot d\vec r
$$
حيث $C$ هو المسار الذي يتحرك عليه الجسم من الموضع الابتدائي إلى الموضع النهائي.
وصف المسار رياضياً
حتى نستطيع حساب التكامل الخطي لا بد أن نصف المسار رياضياً. في أبسط الحالات نعمل في بعد واحد، فيكون المسار على محور $x$، أما في بعدين أو ثلاثة أبعاد فغالباً ما نستخدم وصفاً پارامترية.
في بعد واحد، إذا كان الجسم يتحرك من $x = x_1$ إلى $x = x_2$ تحت تأثير قوة متغيرة $F(x)$ موازية للمحور، فإن الشغل يعطى ببساطة بالصيغة
$$
W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\, dx
$$
وهذا في الحقيقة تكامل خطي في بُعد واحد، حيث يكون $d\vec r$ موافقاً لـ $dx$ واتجاه القوة ثابتاً.
مثال بسيط في بعد واحد
جسم يتحرك على محور $x$ تحت تأثير قوة تعتمد على الموضع:
$$
F(x) = kx
$$
من $x = 0$ إلى $x = a$.
الشغل:
$$
W = \int_{0}^{a} kx\, dx = \left[\frac{1}{2}kx^{2}\right]_{0}^{a} = \frac{1}{2}ka^{2}
$$
هذا المثال يبيّن كيف يتحول تعريف الشغل إلى تكامل على متغيّر واحد عندما يكون المسار على خط مستقيم والقوة موازية له.
في بعدين أو ثلاثة أبعاد يمثَّل المسار بدالة پارامترية مثل
$$
\vec r(t) = \big(x(t),\, y(t),\, z(t)\big)
$$
حيث يتغير $t$ من قيمة ابتدائية $t_1$ إلى قيمة نهائية $t_2$ تصف بداية ونهاية الحركة على المسار.
في هذه الحالة يكون التفاضل
$$
d\vec r = \frac{d\vec r}{dt}\, dt
$$
ويصبح التكامل الخطي
$$
W = \int_{t_1}^{t_2} \vec F\big(\vec r(t)\big) \cdot \frac{d\vec r}{dt}\, dt
$$
المعنى المتجهي للتكامل الخطي
في التعبير
$$
\vec F \cdot d\vec r
$$
لدينا جداء قياسي بين متجهين. هذا يعني أن المساهمة في الشغل تعتمد على مركبة القوة الموازية لاتجاه الحركة في تلك اللحظة.
تذكر أن
$$
\vec F \cdot d\vec r = F\, dr \cos\theta
$$
حيث $\theta$ هي الزاوية بين متجه القوة $\vec F$ وعنصر الإزاحة $d\vec r$.
إذن، الشغل على طول المسار يكون مجموع المساهمات
$$
dW = F\, dr \cos\theta
$$
على جميع الأجزاء الصغيرة من المسار.
من هذا المنظور يمكن تفسير التكامل الخطي في الشغل بأنه "جمع" لكل مركبات القوة التي تدفع في اتجاه الحركة مضروبة في الإزاحة المقابلة لها.
الاعتماد على المسار أم على النقطتين فقط
من الخصائص المهمة للتكاملات الخطية في سياق الشغل أن قيمتها قد تعتمد على المسار الذي يسلكه الجسم بين نقطتين، أو قد تعتمد فقط على هاتين النقطتين.
إذا كانت القوة قوة محافظة، فإن الشغل الذي تبذله بين نقطتين لا يعتمد على شكل المسار بل فقط على الموضعين الابتدائي والنهائي. في هذه الحالة يمكن التعبير عن الشغل بفرق في طاقة كامنة، ويتحول التكامل الخطي إلى أداة تربطه بالطاقة الكامنة.
أما إذا كانت القوة غير محافظة، كقوة الاحتكاك الحركي في أكثر الحالات، فسيعتمد الشغل كلياً على المسار، ويصبح التكامل الخطي وصفاً حقيقياً لكمية الطاقة التي ضاعت أو تحولت على طول ذلك المسار بالتحديد.
مع أن تفاصيل القوى المحافظة وغير المحافظة ستناقش في فصول أخرى، إلا أن الفكرة العامة هنا أن التكامل الخطي نفسه هو الأداة التي "تفصل" بين نوعي القوى. فإذا وجدت أن قيمة
$$
\int_{C} \vec F \cdot d\vec r
$$
تتغير بتغيّر المسار $C$ مع ثبات نقطتي البداية والنهاية فهذا يعني أن القوة مرتبطة بالمسار، أي أنها غير محافظة.
التعبير بالمركبات في بعدين وثلاثة أبعاد
عملياً، لحساب تكامل خطي في بعدين أو ثلاثة أبعاد نكتب المتجهات على صورة مركبات.
في بعدين مثلاً، نكتب
$$
\vec F = F_x(x,y)\,\hat i + F_y(x,y)\,\hat j
$$
و
$$
d\vec r = dx\, \hat i + dy\, \hat j
$$
فيصبح الجداء القياسي
$$
\vec F \cdot d\vec r = F_x\, dx + F_y\, dy
$$
إذن التكامل الخطي على مسار $C$ في المستوى هو
$$
W = \int_{C} \left(F_x\, dx + F_y\, dy\right)
$$
إذا كان المسار موصوفاً پارامترية بواسطة متغير $t$ مثلاً
$$
x = x(t), \quad y = y(t)
$$
في الفاصل $t_1$ إلى $t_2$، يكون
$$
dx = \frac{dx}{dt}\, dt, \quad dy = \frac{dy}{dt}\, dt
$$
وبالتالي
$$
W = \int_{t_1}^{t_2} \left[F_x\big(x(t),y(t)\big)\frac{dx}{dt} + F_y\big(x(t),y(t)\big)\frac{dy}{dt}\right] dt
$$
مثال في بعدين
لنفترض أن جسماً يتحرك في المستوى تحت تأثير قوة
$$
\vec F(x,y) = (2x)\, \hat i + (3y)\, \hat j
$$
على مسار مستقيم من النقطة $(0,0)$ إلى النقطة $(a,a)$.
من أجل التبسيط نصف المسار كخط مستقيم يربط النقطتين، فيمكن كتابته پارامترية على صورة
$$
x(t) = t,\quad y(t) = t,\quad t \text{ من } 0 \text{ إلى } a
$$
إذن
$$
\frac{dx}{dt} = 1,\quad \frac{dy}{dt} = 1
$$
القوة على المسار:
$$
F_x = 2x = 2t,\quad F_y = 3y = 3t
$$
إذن الشغل
$$
W = \int_{0}^{a} \left[2t \cdot 1 + 3t \cdot 1\right] dt = \int_{0}^{a} 5t\, dt
= \left[\frac{5}{2}t^{2}\right]_{0}^{a} = \frac{5}{2}a^{2}
$$
هذا المثال يوضّح كيفية تحويل التكامل الخطي إلى تكامل عادي في متغيّر واحد باستخدام وصف پارامترية للمسار.
المسار المغلق والتكامل الخطي
أحياناً يهمنا أن نعرف الشغل الذي تبذله قوة ما عندما يعود الجسم إلى موضعه الأصلي بعد أن يسلك مساراً مغلقاً. في الترميز الرياضي نعبّر عن التكامل على مسار مغلق بإضافة دائرة صغيرة على إشارة التكامل:
$$
\oint_{C} \vec F \cdot d\vec r
$$
حيث $C$ هو منحنى مغلق.
في حالة قوة محافظة يكون هذا التكامل صفراً، أي أن الشغل المبذول على دورة كاملة مغلقة يساوي صفراً. أما في حالة القوى غير المحافظة فيكون لهذا التكامل قيمة موجبة أو سالبة تبعاً لاتجاه المسار واختلاف الشغل على الأجزاء المختلفة منه.
مع أن تحليل هذه الحالة بشكل كامل يرتبط بمفاهيم التدرج والتباعد والدوران في حساب المتجهات، إلا أن ما يهمنا هنا أن التكامل الخطي على مسار مغلق هو وسيلة قياس مباشرة لمدى "لا محافظة" القوة من ناحية الشغل.
الربط بين التكامل الخطي والشغل في المسائل التطبيقية
في تطبيقات الميكانيكا الكلاسيكية يظهر التكامل الخطي في مسائل كثيرة، مثل:
حساب الشغل الذي تبذله قوة نابض غير خطي على امتداد انضغاط أو استطالة معينة.
حساب الشغل الذي تبذله قوة جاذبية أو قوة كهربائية متغيرة عندما يتحرك جسم في مجال قوة غير منتظم.
حساب الشغل المبذول على جسيم يتحرك في مسار منحنٍ تحت تأثير قوة تعتمد على الموضع.
في جميع هذه الحالات يمكن تلخيص الفكرة في قاعدة عامة
قاعدة عامة لحساب الشغل باستخدام التكامل الخطي:
لجسم يتحرك على مسار $C$ تحت تأثير قوة متجهة $\vec F(\vec r)$، يكون الشغل
$$
W = \int_{C} \vec F(\vec r) \cdot d\vec r
$$
المسألة العملية عادة تتلخص في ثلاث خطوات أساسية:
اختيار وصف مناسب للمسار $C$، غالباً على صورة معادلات پارامترية.
كتابة القوة $\vec F$ بوصفها دالة في المتغير الذي يصف المسار.
حساب الجداء القياسي $\vec F \cdot d\vec r$ وتحويل التكامل الخطي إلى تكامل عادي على متغيّر واحد ثم حله.
بهذا تصبح التكاملات الخطية أداة عملية لحساب الشغل في المسائل التي تتضمن قوى متغيرة أو مسارات منحنية، وتشكّل جسراً مباشراً بين المفهوم الفيزيائي للشغل وبين لغة المتجهات والتفاضل والتكامل التي يقوم عليها وصف الميكانيكا الكلاسيكية بدقة رياضية.