الدفع

معنى الدفع في الميكانيكا

الدفع في الميكانيكا الكلاسيكية مفهوم يربط بين القوة والزمن. إذا كنا في فصل الزخم والتصادمات نهتم بتغيّر الزخم، فإن الدفع هو الأداة التي تخبرنا كيف تؤدي قوة ما، خلال زمن معيّن، إلى تغيير في زخم جسم.

ببساطة، عندما تؤثر قوة في جسم ليس لِلَحظة واحدة فقط بل لفترة زمنية، فإن أثرها لا يعتمد على مقدار القوة وحده، ولا على الزمن وحده، بل على حاصل المزج بينهما. هذا "المزج" هو ما نسمّيه الدفع.

التعريف الرياضي للدفع

إذا أثرت قوة ثابتة $F$ في جسم خلال فترة زمنية $\Delta t$، وفي اتجاه واحد مستقيم، فإن مقدار الدفع $J$ في هذا الاتجاه يُعرَّف بالعلاقة

حيث
$J$ هو الدفع،
$F$ هو مقدار القوة،
$\Delta t$ هو الزمن الذي استمرت خلاله القوة في التأثير.

وحدة الدفع في النظام الدولي هي نفس وحدة الزخم، أي
$\text{نيوتن} \cdot \text{ثانية} = \text{kg} \cdot \text{m/s}$.

أهمية هذا التعريف تظهر عندما نقارنه بتغيّر الزخم، وهو ما يُربط في مبرهنة الدفع الزخم في فصل لاحق. هنا نركّز على تعريف الدفع نفسه وكيف نحسبه في الحالات المختلفة.

الدفع في حالة القوة المتغيرة مع الزمن

في كثير من المواقف الواقعية لا تكون القوة ثابتة، بل تتغيّر مع الزمن. على سبيل المثال، قوة المحرك أثناء انطلاق السيارة، أو القوة التي يمارسها الهواء على كرة أثناء اصطدامها بالأرض ثم ارتدادها، أو القوة التي يطبّقها لاعب كرة القدم أثناء ركل الكرة.

في هذه الحالات يصبح التعبير البسيط $J = F \Delta t$ غير دقيق، لأن $F$ ليست مقداراً واحداً ثابتاً طوال الفترة الزمنية. هنا نحتاج التعبير العام للدفع باستخدام التكامل على الزمن:

في هذا التعبير نلاحظ أن
القوة والمتجه الدفع يُكتبان كمتجهات، لأن القوة قد تغيّر الاتجاه مع الزمن أيضًا، وليس المقدار فقط.
الفترة الزمنية تبدأ عند $t_1$ وتنتهي عند $t_2$.

من الناحية الهندسية يمكن تفسير الدفع في هذه الحالة على أنه "المساحة تحت منحنى القوة مع الزمن" في مخطط $F$ مقابل $t$، مع الانتباه للإشارة والاتجاه.

الدفع كمتجه

بما أن الزخم كمية متجهة، فإن الدفع أيضًا متجه، وله اتجاه يطابق اتجاه "الأثر الصافي" للقوة خلال الزمن. عندما نتعامل مع قوة في بعد واحد يمكننا الاكتفاء بالإشارات الموجبة والسالبة. لكن في البعدين والثلاثة أبعاد يصبح لزامًا استخدام متجهات.

إذا أثرت قوة متجهة ثابتة $\vec{F}$ خلال زمن $\Delta t$، فإن الدفع المتجهي هو

أما إذا تغيّرت القوة مع الزمن فالدفع هو

في المسائل العملية يمكن تحليل القوة إلى مركبتين أو ثلاث مركبات في محاور إحداثيات مناسبة، ثم حساب الدفع على كل محور على حدة. على سبيل المثال في بعدين

$$
\vec{F}(t) = F_x(t)\, \hat{i} + F_y(t)\, \hat{j}
$$

فيكون

$$
\vec{J} = \left(\int_{t_1}^{t_2} F_x(t) \, dt \right)\hat{i}
+ \left(\int_{t_1}^{t_2} F_y(t) \, dt \right)\hat{j}
$$

منحنى القوة مع الزمن وتفسير الدفع

من الأدوات المفيدة لفهم الدفع رسم القوة بدلالة الزمن. في هذا المخطط يكون المحور الأفقي هو الزمن $t$ والمحور الرأسي هو القوة $F$. في هذا التمثيل تصبح العلاقة بين الدفع والقوة واضحة بصريًا.

في حالة قوة ثابتة يكون الرسم خطًا أفقيًا، ومساحة المستطيل تحت الخط بين $t_1$ و $t_2$ هي
$F \Delta t$ وهي مقدار الدفع.

في حالة قوة متغيرة قويًا يكون الرسم منحنياً، وقد يأخذ شكلًا معقدًا. لكن الدفع يبقى مساويًا لمساحة المنطقة المحصورة بين منحنى القوة ومحور الزمن، مع مراعاة الإشارة. إذا تغيرت القوة من موجبة إلى سالبة، فإن الجزء من المساحة الواقع حيث تكون القوة سالبة يُحسب بقيمة سالبة في الدفع الكلي، لأنه يمثّل أثراً في الاتجاه المعاكس.

هذه الرؤية الهندسية مفيدة خاصة عندما نحل مسائل تصادمات حيث تتغير القوة على مدى زمن قصير جدًا وبشكل معقد. في هذه الحالات لا نحتاج أن نعرف شكل المنحنى الدقيق، بل يكفي أن نعرف الدفع الكلي، أي المساحة الكلية تحت المنحنى.

الدفع مقابل القوة: متى نهتم بكل منهما؟

القوة تصف التأثير اللحظي، عند لحظة معينة فقط. أما الدفع فيصف الأثر التراكمي للقوة على مدى فترة زمنية. لهذا السبب:

عندما يكون الزمن الذي تؤثر خلاله القوة مهمًا، ولا تكون القوة ثابتة، يكون استخدام الدفع أكثر طبيعية.
في التصادمات القصيرة جدًا يكون من الصعب قياس القوة اللحظية بدقة، لكن من الأسهل التفكير في الدفع الذي تلقّاه الجسم خلال فترة التصادم كلها.

في التطبيقات العملية غالبًا ما نكون مهتمين بالنتيجة النهائية بعد تأثير القوة خلال فترة معينة، لا بالقيم اللحظية الدقيقة للقوة. ومن هنا تبرز أهمية مفهوم الدفع.

الدفع في التصادمات القصيرة

التصادمات مثال نموذجي للحالات التي يصبح فيها مفهوم الدفع مهمًا جدًا. خلال التصادم يكون الزمن قصيرًا للغاية، وقيمة القوة تتغيّر بسرعة كبيرة وقد تبلغ قيمًا عالية جدًا. يصعب وصف هذه العملية عبر قوة لحظية محددة في كل لحظة، لكن يمكن وصف الأثر الكلي للتصادم عبر الدفع الذي تلقاه كل جسم.

خلال زمن التصادم القصير يمكن في كثير من المسائل إهمال قوى أخرى مقارنة بقوة التصادم ذاتها، مثل وزن الجسم أو قوى الاحتكاك إن كانت صغيرة نسبياً. في هذه الحالة نعتبر أن الدفع ناتج أساسًا عن قوة التصادم فقط.

في تحليل التصادمات سنستخدم في فصل آخر مبدأ يربط الدفع بتغيّر الزخم يعرف بمبرهنة الدفع الزخم. ما يهمنا هنا هو أن الدفع هو "أداة تلخيص" التأثير القوي القصير الأمد في صورة كمية واحدة يمكن إدخالها في معادلات الزخم.

الدفع كمتوسط قوة مضروب في الزمن

في كثير من الأحيان لا نعرف بالضبط كيف تتغيّر القوة مع الزمن، لكن نعرف مثلاً الزمن الكلي للتأثير وتغيّر الزخم الكلي. في هذه الحالات يكون من المفيد تعريف قوة متوسطة تعطي نفس الدفع الكلي، مهما كان شكل القوة الحقيقي.

إذا كانت $\vec{F}_{\text{متوسط}}$ هي القوة المتوسطة خلال الفترة من $t_1$ إلى $t_2$، فإننا نعرفها بحيث يتحقق

$$
\vec{J} = \vec{F}_{\text{متوسط}} \, (t_2 - t_1)
$$

وبما أن
$$
\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t)\, dt
$$

فإن القوة المتوسطة تُعطى بالعلاقة

هذه الصيغة لا تفترض أن القوة ثابتة حقيقة، بل تعرّف قوة ثابتة افتراضية لو أثرت خلال الزمن كله لأعطت نفس الدفع الحقيقي.

ملاحظات ختامية عن الدفع

الدفع هو الرابط بين "القوة عبر الزمن" و"تغيّر الزخم". عندما تكون المسألة تتضمن قوى كبيرة وزمنًا قصيرًا، مثل التصادمات والركلات والضربات، فإن التعبير عن التأثير في صورة دفع يكون أكثر عملية من تتبّع القوة اللحظية بدقة.

في الفصول اللاحقة سيتم استخدام هذا المفهوم لصياغة مبرهنة تربط الدفع بتغيّر الزخم، ثم تطبيقها في دراسة أنواع مختلفة من التصادمات، المرنة وغير المرنة، وفي مسائل مثل حركة الصواريخ وغيرها من الأنظمة التي يتغيّر فيها الزخم مع الزمن نتيجة قوى معطاة أو دفع متكرر.