Table of Contents
تمهيد: ما هي الدالة في السياق الفيزيائي؟
في هذا الفصل نركّز على نوعين أساسيين من الدوال نستخدمهما كثيرًا في الميكانيكا الكلاسيكية. دوال تعتمد على متغير واحد مثل الزمن أو الإحداثي $x$، ودوال تعتمد على أكثر من متغير مثل $x$ و $y$ و $z$ أو الزمن مع موضع جسيم.
في الفيزياء، الدالة ليست شيئًا تجريديًا فقط، بل هي وصف لعلاقة فيزيائية. عندما نقول $x(t)$ فهذا يعني موضع جسيم على خط مستقيم بدلالة الزمن. وعندما نقول $T(x,y)$ فهذا يمكن أن يكون مثلًا درجة حرارة سطح ما عند النقطة ذات الإحداثيات $(x,y)$.
في هذا الفصل لا نهتم بحساب المشتقات أو التكاملات نفسها، بل بفهم طبيعة الدوال التي سنشتقها أو نكاملها. حساب المشتقات والتكاملات سيُفصل في فصل آخر.
الدوال ذات المتغير الواحد
تعريف بسيط
الدالة ذات المتغير الواحد هي قاعدة تربط كل قيمة من متغير واحد بقيمة واحدة فقط من كمية أخرى. نكتب مثلًا
$$
y = f(x)
$$
هنا $x$ هو المتغير المستقل، و $y$ هو المتغير التابع، لأن قيمته تعتمد على $x$.
في الميكانيكا، نموذج شائع هو
$$
x = x(t)
$$
موضع جسيم على محور مستقيم بدلالة الزمن $t$. هنا الزمن هو المتغير المستقل، والموضع هو الكمية التي تتغير تبعًا للزمن.
قاعدة أساسية
لكي تكون علاقة ما "دالة" رياضيًا، يجب أن تقابل كل قيمة مسموحة للمتغير المستقل قيمة واحدة فقط للمتغير التابع، لا أكثر.
أمثلة في الميكانيكا
موضع جسيم في حركة خطية منتظمة:
$$
x(t) = x_0 + vt
$$
حيث $x_0$ الموضع الابتدائي و $v$ السرعة الثابتة. هذه دالة خطية في الزمن.
طاقة جسيم في مجال جاذبية قرب سطح الأرض كدالة في الارتفاع $y$:
$$
U(y) = mgy
$$
هذه دالة ذات متغير واحد هو $y$.
مثال توضيحي
جسيم يتحرك على خط مستقيم حسب العلاقة
$$
x(t) = 2t^2
$$
لكل قيمة زمن $t$ يوجد موضع واحد فقط $x$. إذا أخذنا $t = 1$ نحصل على $x = 2$، وإذا أخذنا $t = 2$ نحصل على $x = 8$. هذه علاقة واضحة من نوع دالة ذات متغير واحد.
مجال الدالة ومدى الدالة
لأي دالة جانب مهمان:
مجال التعريف. القيم المسموح بها للمتغير المستقل. مثل كل قيم $t$ التي يكون عندها $x(t)$ معرفًا في مسألة الحركة.
مدى الدالة. القيم الممكنة للمتغير التابع. مثل كل المواضع التي يستطيع الجسيم الوصول إليها.
في الفيزياء، المجال لا يحدد فقط من الرياضيات، بل من المعنى الفيزيائي أيضًا. مثلًا، إذا كانت $t$ تمثل زمن حركة من لحظة البداية حتى لحظة معينة، قد يكون المجال $0 \le t \le T$ فقط، حتى لو كانت الصيغة الرياضية صحيحة لكل $t$ حقيقي.
أنواع شائعة من الدوال ذات المتغير الواحد
من المهم معرفة أشكال بسيطة تتكرر كثيرًا في الميكانيكا.
الدوال الخطية مثل
$$
f(x) = ax + b
$$
تظهر في علاقات التناسب البسيط مثل العلاقة بين الإزاحة والزمن في الحركة المنتظمة.
الدوال التربيعية مثل
$$
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2
$$
تظهر في حركة التسارع الثابت مثل السقوط الحر.
الدوال المثلثية مثل $\sin$ و $\cos$ تظهر في الحركة التوافقية البسيطة والاهتزازات، مثل موضع كتلة معلقة في نابض.
الدوال الأسية مثل
$$
x(t) = x_0 e^{-kt}
$$
تظهر في التخميد والظواهر التي تتناقص أو تتزايد بنسبة ثابتة في الزمن.
مثال فيزيائي
كمية الشحنة الكهربائية على مكثف في دائرة تفريغ بسيطة قد تتناقص كدالة أسية في الزمن
$$
Q(t) = Q_0 e^{-t/\tau}
$$
هنا $Q_0$ الشحنة الابتدائية و $\tau$ ثابت زمني يحدد سرعة التفريغ.
الدوال ذات عدة متغيرات
لماذا نحتاج أكثر من متغير؟
في الميكانيكا، كثير من الكميات لا تعتمد على متغير واحد فقط. مثلًا:
الموضع في الفضاء ثلاثي الأبعاد قد يكتب شكلًا مبسطًا كدالة في الزمن فقط $x(t),y(t),z(t)$. لكن في وصف الحقول مثل الجاذبية أو الكهرباء أو الضغط، الكمية عند نقطة ما تعتمد على إحداثيات هذه النقطة في الفضاء.
درجة الحرارة في غرفة يمكن أن تكون
$$
T(x,y,z)
$$
حيث تتغير من نقطة إلى أخرى.
الجهد الجاذبي قرب الأرض يمكن أن يعتمد على الارتفاع فقط $U(y)$، أو في حالات عامة أكثر على الإحداثيات الثلاثة $U(x,y,z)$.
إذًا، الدالة ذات عدة متغيرات هي علاقة تربط كل ثلاثية مثلًا $(x,y,z)$ بقيمة واحدة لفيزيائية مثل الجهد أو الكثافة.
تعريف عام
إذا كانت لدينا دالة تعتمد على متغيرين فنكتب
$$
z = f(x,y)
$$
وإذا اعتمدت على ثلاثة متغيرات فنكتب
$$
u = f(x,y,z)
$$
كل من $x,y,z$ متغير مستقل، والقيمة الناتجة $f(x,y,z)$ هي الكمية الفيزيائية التي نهتم بها.
في الميكانيكا، سنرى كثيرًا دوالًا تعتمد على الزمن مع موضع الجسيم، مثلًا
$$
\vec{F}(\vec{r},t)
$$
قوة قد تعتمد على موضع الجسيم $\vec{r}$ والزمن $t$ في آن واحد.
مجال الدالة في عدة أبعاد
الآن تصبح فكرة المجال أكثر ثراء. بدل أن يكون المجال مجرد أعداد على خط واحد، يصبح غالبًا منطقة في مستوى أو حيز في الفضاء.
مثلًا إذا كانت
$$
T(x,y)
$$
تعطي درجة الحرارة على صفيحة معدنية مستوية، فإن المجال هو المنطقة من المستوى التي تغطيها الصفيحة. يمكن أن تكون مستطيلًا أو دائرة أو شكلًا غير منتظم.
في مسائل الجاذبية أو الكهربية، قد يكون المجال هو كل الفضاء ما عدا أماكن معينة مثل موقع الكتلة أو الشحنة حيث تصبح الدالة غير معرفة أو لا نهائية.
تمثيل الدوال ذات متغيرين
من المفيد تكوين صورة ذهنية عن دوال المتغيرين حتى لو لم نرسمها بدقة.
يمكن أن نتخيل $z = f(x,y)$ كسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد. كل نقطة $(x,y)$ في القاعدة لها ارتفاع $z$. مثل سطح جبل حيث $x$ و $y$ إحداثيات أفقية و $z$ هو الارتفاع.
طريقة أخرى شائعة في الفيزياء هي خطوط المستوى. نرسم في المستوى $(x,y)$ منحنيات تكون عندها الدالة ثابتة. مثل خطوط الارتفاع المتساوي على خريطة طبوغرافية، أو خطوط الجهد المتساوي في مسائل الكهرباء والجاذبية.
مثال خطوط مستوى
افترض أن لدينا دالة ارتفاع سطح
$$
h(x,y) = x^2 + y^2
$$
إذا أخذنا المستوى $h = 1$ نحصل على المعادلة
$$
x^2 + y^2 = 1
$$
وهي دائرة نصف قطرها 1. للمستوى $h = 4$ نحصل على دائرة نصف قطرها 2. هكذا تمثل الدالة بعائلة دوائر متحدة المركز.
أمثلة فيزيائية على دوال عدة متغيرات
حقل الجاذبية الأرضية في صورة مبسطة جدًا قد يكتب كدالة في الارتفاع فقط $g(y)$. لكن في وصف أكثر دقة، مقدار واتجاه الجاذبية حول كوكب يعتمد على متجه الموضع الكامل $\vec{r}$، فنكتب
$$
\vec{g}(\vec{r})
$$
كثافة مادة في جسم ثلاثي الأبعاد قد تكون
$$
\rho(x,y,z)
$$
هذه الدالة تخبرك كم كتلة موجودة في وحدة الحجم عند كل نقطة في الجسم.
ضغط غاز في أسطوانة ممكن أن يعتمد على الموضع في الأسطوانة والزمن إذا كان الغاز في حالة غير متوازنة، فنكتب مثلًا
$$
P(x,t)
$$
أو بشكل أكثر تعميمًا
$$
P(x,y,z,t)
$$
درجة حرارة قضيب معدني يسخن من طرف قد تعتمد على الموضع على طول القضيب والزمن معًا:
$$
T(x,t)
$$
استقلال المتغيرات وترابطها
من الناحية الرياضية، في دالة مثل $f(x,y)$ نعامل $x$ و $y$ كمتغيرين مستقلين، أي يمكن تغيير واحد منهما مع تثبيت الآخر.
في التطبيقات الفيزيائية، أحيانًا توجد علاقات بين المتغيرات تفرضها الظاهرة أو القيود الهندسية. في تلك الحالة يكون لدينا دالة ذات عدة متغيرات مع قيود، وسنرى لاحقًا كيف تؤثر هذه القيود في المشتقات الجزئية والكاملة.
في هذا الفصل يكفي أن نفهم أن:
الدالة ذات المتغير الواحد تتحرك على خط قيم واحد.
الدالة ذات المتغيرين تتحرك على سطح أو منطقة مستوية.
الدالة ذات الثلاثة متغيرات تتحرك في حيز حجمي كامل.
الانتقال من متغير واحد إلى عدة متغيرات في الميكانيكا
في الميكانيكا الكلاسيكية، كثيرًا ما نبدأ بدالة ذات متغير واحد ثم نحتاج إلى تعميمها إلى عدة متغيرات.
مثلًا، طاقة وضع جسيم في مجال جاذبية قد تبدأ صياغتها على شكل
$$
U(y) = mgy
$$
لارتفاعات صغيرة فوق سطح الأرض، حيث نكتفي بمحور واحد $y$.
لكن إذا نظرنا إلى الجاذبية حول الكرة الأرضية ككل، تصبح طاقة الوضع بدلالة المتجه $\vec{r}$ الذي يحدد موقع الجسيم بالنسبة لمركز الأرض:
$$
U(r) = -\frac{GMm}{r}
$$
هنا $r$ هو طول المتجه $\vec{r}$، وهو في الحقيقة دالة في $x,y,z$ إذا كتبناها في إحداثيات ديكارتية:
$$
r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
$$
فنرى أن $U$ نفسها تصبح ضمنيًا دالة بثلاثة متغيرات مكانية.
وبالمثل، السرعة في الحركة على خط مستقيم دالة في الزمن فقط $v(t)$، لكن في الفضاء ثلاثي الأبعاد تصبح متجهًا مكونًا من ثلاث دوال زمنية:
$$
\vec{v}(t) = \big(v_x(t),\, v_y(t),\, v_z(t)\big)
$$
كل مركبة من هذه المركبات دالة ذات متغير واحد، لكن معًا تصف حركة في فضاء ثلاثي الأبعاد.
صياغة موجزة لما سنحتاجه لاحقًا
في الفصول القادمة عن المشتقات والتكاملات، سنعتمد على أفكار هذا الفصل:
عند التعامل مع دالة ذات متغير واحد $f(x)$ سنتحدث عن مشتقة واحدة $f'(x)$ وتكامل واحد.
عند التعامل مع دالة ذات عدة متغيرات مثل $f(x,y,z)$ سنحتاج إلى مشتقات جزئية بالنسبة لكل متغير على حدة، وتكاملات على منحنيات أو سطوح أو أحجام.
لذلك من المهم أن نميز بوضوح:
متى تكون الكمية مرتبطة بمتغير واحد فقط مثل الزمن أو موضع على خط.
ومتى تكون الكمية مرتبطة بموقع في مستوى أو فضاء بأكثر من متغير.
ومتى تتوقف الدالة عن كونها مجرد أعداد وتصبح متجهًا أو حقلًا يعتمد على المكان والزمان معًا، مثل $\vec{F}(\vec{r},t)$ أو $\vec{v}(\vec{r},t)$.
بهذا التمييز تصبح قراءة وفهم معادلات الحركة ومعادلات الحقول أسهل بكثير، لأننا نعرف مسبقًا نوع كل دالة وعدد المتغيرات التي تعتمد عليها.