Table of Contents
لمحة عن المشتقات والتكاملات في سياق الميكانيكا
في هذا الفصل ننتقل من مجرد التعرف على الدوال ذات المتغير الواحد وعدة متغيرات إلى أداة أساسية في كل الميكانيكا الكلاسيكية, وهي التفاضل والتكامل. سنركّز هنا على المشتقات والتكاملات للدوال ذات المتغير الواحد, لأن هذه هي اللغة المباشرة لوصف الحركة على مستقيم أو كخطوة أولى قبل التعميم إلى عدة أبعاد.
الهدف ليس أن نصنع منك خبير رياضيات, بل أن تملك الحد الأدنى العملي لفهم معادلات الحركة في الفصول اللاحقة, مثل السرعة, التسارع, الشغل, والطاقة.
المشتق كـ "معدل تغيّر لحظي"
عندما نقول إن جسمًا يقطع مسافة معينة مع مرور الزمن فنحن نتعامل مع دالة, مثل دالة الموضع $x(t)$. لكن الفيزياء لا تهتم فقط بقيمة الموضع عند لحظة معينة, بل تهتم أيضًا بمدى سرعة تغيّر هذا الموضع. هنا يظهر مفهوم المشتق.
إذا كانت لدينا دالة عددية $y = f(x)$, فكّر في المشتق عند نقطة $x$ كـ "الميل اللحظي" للمنحنى عند تلك النقطة, أو "معدل تغيّر $y$ بالنسبة إلى $x$" في تلك اللحظة.
التعريف الرياضي للمشتق في نقطة يستخدم مفهوم النهاية:
$$
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
$$
المقدار داخل الكسر هو "معدل التغيّر المتوسّط" على فترة صغيرة $\Delta x$, ثم نرى ما يحدث عندما نجعل هذه الفترة أصغر فأصغر. إذا وجدت هذه النهاية قلنا إن الدالة قابلة للاشتقاق في تلك النقطة.
مثال بسيط
خذ الدالة
$$
f(x) = x^2
$$
نحسب معدل التغيّر على فترة $\Delta x$:
$$
\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
= \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}
= \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}
= \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}
= 2x + \Delta x
$$
عندما نجعل $\Delta x \to 0$ نحصل على:
$$
f'(x) = 2x
$$
في الميكانيكا الكلاسيكية سيظهر نفس المفهوم عندما نحسب السرعة من الموضع, والتسارع من السرعة, باستخدام مشتقات بالنسبة للزمن.
بعض قواعد الاشتقاق الأساسية
على الرغم من أن التعريف بالمحدودات هو الأساس, فإننا لا نعيد الحساب من الصفر في كل مرة. توجد "قوانين اشتقاق" مختصرة سنستخدمها باستمرار. نذكر أهمها هنا دون إثباتات تفصيلية.
إذا كانت $f(x)$ و $g(x)$ دالتين قابلتين للاشتقاق, و $c$ عدد ثابت, فلدينا:
- مشتق ثابت:
$$
\frac{d}{dx}(c) = 0
$$ - مشتق $x$:
$$
\frac{d}{dx}(x) = 1
$$ - مشتق قوة صحيحة لـ $x$:
$$
\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}
$$
حيث $n$ عدد صحيح, ويُعمّم هذا القانون إلى قيم أوسع من $n$ في الرياضيات المتقدمة. - الخطية:
$$
\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
$$
$$
\frac{d}{dx}[c\,f(x)] = c\,f'(x)
$$ - مشتق حاصل الضرب:
$$
\frac{d}{dx}[f(x) g(x)] = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)
$$ - مشتق حاصل القسمة (حيث $g(x) \neq 0$):
$$
\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]
= \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)]^2}
$$ - قاعدة السلسلة, التي تظهر كثيرًا في الفيزياء عندما نعتمد متغيرًا على آخر:
إذا كانت $y = f(u)$ و $u = g(x)$, فالدالة المركبة $y = f(g(x))$ لها مشتق:
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
قاعدة مهمة
عند اشتقاق تركيب دوال, مثل $f(g(x))$, لا يكفي اشتقاق الخارج فقط, يجب تطبيق قاعدة السلسلة. نسيان هذه القاعدة من أكثر الأخطاء شيوعًا في مسائل الحركة.
مثال تطبيقي بسيط على قاعدة السلسلة
إذا كان
$$
y = \sin(3x)
$$
يمكن اعتبار
$$
u = 3x, \quad y = \sin(u)
$$
فنحصل على:
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
= \cos(u) \cdot 3 = 3\cos(3x)
$$
التكامل كـ "عملية عكسية للاشتقاق"
إذا كان المشتق يعبّر عن "معدل تغيير", فالتكامل المرتبط به في المتغير الواحد يمكن النظر إليه على أنه "عملية معاكسة". فإذا علمنا مشتق دالة ما, يمكننا محاولة استرجاع الدالة الأصلية عن طريق التكامل.
إذا كان
$$
F'(x) = f(x)
$$
فإن $F(x)$ تسمى "دالة أصلية" أو "مضاد المشتق" لـ $f(x)$, ونكتب:
$$
\int f(x)\,dx = F(x) + C
$$
حيث $C$ ثابت تكامل, لأنه إذا كان $F'(x) = f(x)$ فإن $(F(x) + C)' = f(x)$ لأي ثابت $C$.
في الميكانيكا سنستعمل هذا عندما نريد الموضع من السرعة, أو السرعة من التسارع, أو الطاقة من القوة, وغير ذلك.
مثال
نعلم أن
$$
\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2
$$
إذًا:
$$
\int 3x^2\,dx = x^3 + C
$$
وبالمثل:
$$
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C
$$
قواعد تكامل شائعة
كما في الاشتقاق, توجد قواعد أساسية تسهل علينا حساب التكاملات البسيطة. التركيز هنا على "التكامل غير المحدد" الذي لا يملك حدودًا رقمية.
- الخطية:
$$
\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
$$
$$
\int c\,f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx
$$ - تكامل قوة لـ $x$ (مع $n \neq -1$):
إذا كان
$$
f(x) = x^n
$$
فإن:
$$
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
$$ - بعض التكاملات الأساسية المفيدة في الفيزياء:
$$
\int dx = x + C
$$
$$
\int \cos x\,dx = \sin x + C
$$
$$
\int \sin x\,dx = -\cos x + C
$$
$$
\int e^x\,dx = e^x + C
$$
في التطبيقات الفيزيائية غالبًا ما تكون الدوال أبسط من أن تتطلّب طرقًا متقدمة, خاصة في تمارين المبتدئين, إذ تكون التسارعات ثابتة أو القوى تأخذ أشكالًا بسيطة مثل تناسب خطي مع الإزاحة في قانون هوك.
تذكّر
حتى لو نسيت ثابت التكامل $C$ في خطوة ما, يمكن أن يؤدي ذلك إلى حل فيزيائي مختلف تمامًا, مثل سرعة أو موضع مختلفين لجسم متحرك. لا تنسَ $+C$ عند كتابة التكاملات غير المحددة.
التكامل المحدّد والمعنى الهندسي
أهم ما يميز التكامل في الفيزياء ليس فقط كونه عكس الاشتقاق, بل أيضًا تفسيره الهندسي. إذا كانت $y = f(x)$ دالة موجبة على الفترة من $a$ إلى $b$, فإن التكامل المحدّد:
$$
\int_a^b f(x)\,dx
$$
يمثّل "المساحة تحت المنحنى" بين $x = a$ و $x = b$.
يمكن تعريف التكامل المحدّد بصورة دقيقة اعتمادًا على "مجاميع" لمستطيلات صغيرة, لكن يكفي أن نحتفظ بالصورة الذهنية التالية: نقسم الفترة $[a, b]$ إلى أجزاء صغيرة, نقرّب الدالة على كل جزء بقيمة ثابتة, ونحسب مجموع مساحات المستطيلات الناتجة, ثم نجعل عرض هذه الأجزاء أصغر فأصغر.
النتيجة النهائية هي التكامل المحدّد الذي يمكن حسابه عمليًا عن طريق مضاد المشتق باستعمال "قاعدة نيوتن ليبنيتز":
إذا كان $F'(x) = f(x)$ فإن:
$$
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
$$
مثال على استخدام مضاد المشتق في التكامل المحدّد
احسب
$$
\int_0^2 x^2\,dx
$$
نعلم أن مضاد المشتق هو:
$$
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C
$$
إذًا:
$$
\int_0^2 x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2
= \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}
$$
في الميكانيكا سيُستعمل التكامل المحدّد بكثرة عندما نحسب "الكميات المتراكمة" على فترة زمنيّة معينة أو على مسافة معينة, مثل الشغل عندما تتحرك الجسيمات تحت تأثير قوة متغيّرة.
العلاقة بين المشتق والتكامل
العلاقة العميقة بين المشتقات والتكاملات يعبّر عنها "مبرهنة أساسية في حساب التفاضل والتكامل". في صورتها البسيطة تربط بين مشتق التكامل وتكامل المشتق.
إذا كان $F(x)$ مضاد المشتق لـ $f(x)$ على فترة ما, أي أن:
$$
F'(x) = f(x)
$$
فإن:
$$
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
$$
كما رأينا. والعكس صحيح من حيث الفكرة العامة. التكامل غير المحدّد يعيد لنا دالة مشتقّها هو الدالة الأصلية.
من الناحية الفيزيائية هذا يعني أن "مجموع المعدلات اللحظية" على فترة زمنية من $t_1$ إلى $t_2$ يعطينا التغيّر الكلي في الكمية المنتَجة. مثلًا في حالة السرعة:
إذا كان $v(t)$ هو مشتق الموضع:
$$
v(t) = \frac{dx}{dt}
$$
فإن:
$$
\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt = x(t_2) - x(t_1)
$$
أي أن التكامل الزمني للسرعة يعطينا الإزاحة بين اللحظتين, وهذه صيغة رياضية لما سنراه لاحقًا في معادلات الحركة.
مفهوم المشتقات من رتب أعلى
في الميكانيكا لا نكتفي بالمشتق الأول فقط. نحتاج غالبًا إلى المشتق الثاني, وأحيانًا الثالث وما فوق, لكن في إطار الميكانيكا الكلاسيكية للمبتدئين يكفي فهم المشتق الثاني.
إذا كانت:
$$
v(t) = \frac{dx}{dt}
$$
فإن المشتق الثاني للموضع هو:
$$
\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dv}{dt}
$$
ويسمّى هذا "التسارع" في سياق الحركة الخطية. إذًا:
موضع $x(t)$
سرعة $v(t) = \dfrac{dx}{dt}$
تسارع $a(t) = \dfrac{d^2x}{dt^2}$
في الفصول اللاحقة عن علم الحركة وديناميكا نيوتن سنستعمل هذه العلاقات باستمرار, لكن المهم هنا هو فكرة "الاشتقاق أكثر من مرة" وأن المشتق الثاني يعطي معدل تغيّر المشتق الأول.
التكامل كـ "جمع مستمر" في الفيزياء
يمكن النظر إلى التكامل المحدّد كنوع من "الجمع المستمر" لكميات صغيرة. بدل أن نجمع أعدادًا منفصلة, نجمع "مساهمات" صغيرة جدًا على امتداد متغير مثل الزمن أو المسافة.
مثلًا إذا كانت الكمية الصغيرة $dQ$ لها التعبير:
$$
dQ = f(x)\,dx
$$
فإن الكمية الكلية $Q$ بين $x = a$ و $x = b$ تُعطى بـ:
$$
Q = \int_a^b f(x)\,dx
$$
هذه الصورة ستعود مرارًا في الميكانيكا عندما ندرس الشغل والطاقة والكتلة الموزعة على طول قضيب أو سطح أو حجم في فصول لاحقة.
مثال تمهيدي للفكرة الفيزيائية
إذا تحرّك جسم على خط مستقيم بسرعة تعتمد على الزمن $v(t)$, وأردنا حساب الإزاحة بين الزمنين $t_1$ و $t_2$, فإننا نتخيل تقسيم الزمن إلى فترات صغيرة جدًا $\Delta t$, ثم تقريب الإزاحة في كل فترة بـ:
$$
\Delta x \approx v(t)\,\Delta t
$$
ثم جمع كل هذه الإزاحات:
$$
\Delta x_{\text{كلي}} \approx \sum v(t)\,\Delta t
$$
عندما نجعل $\Delta t$ صغيرة جدًا يتحوّل هذا المجموع إلى تكامل:
$$
x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt
$$
في هذه المرحلة يكفي أن تستوعب الفكرة العامة أن التكامل يمثل "جمعًا مستمرًا" للكميات الصغيرة, وأن المشتق يمثل "معدل التغيّر اللحظي". التفاصيل الفيزيائية الدقيقة ستتضح أكثر عندما نضع هذه الأدوات في خدمة الميكانيكا في الفصول المقبلة.