الحركة النسبية

معنى النسبية في الحركة

في الكينماتيكا درسنا وصف الحركة بالنسبة إلى نظام إحداثيات معيّن. في الحركة النسبية نركّز على فكرة أساسية هي أن السرعة والموضع والتسارع لا معنى لها في حد ذاتها بل دائمًا تكون «بالنسبة إلى» شيء ما, وهو ما نسميه الإطار المرجعي.

عندما نقول إن جسيمًا يتحرك بسرعة معينة فنحن نقصد أنه يتحرك بهذه السرعة بالنسبة إلى مرجع محدد, مثل سطح الأرض أو القطار أو الطائرة. الحركة النسبية تهتم بمقارنة أوصاف الحركة في مراجع مختلفة وكيف ننتقل من وصف إلى آخر.

الأطر المرجعية في الحركة النسبية

نعتبر في هذه المرحلة أطرًا مرجعية يمكن اعتبارها عطالية تقريبًا ضمن الميكانيكا الكلاسيكية, أي لا تتسارع بالنسبة إلى بعضها بسرعة كبيرة جدًا. أمثلة ذلك, سطح الأرض تقريبًا في كثير من المسائل, عربة تتحرك بسرعة ثابتة في خط مستقيم, أو قارب ينزلق في نهر بسرعة ثابتة تقريبًا.

إذا كان لدينا إطار مرجعي $S$ وآخر $S'$ يتحرك بالنسبة إلى $S$ بسرعة ثابتة, فإن كلًا منهما يستطيع قياس موضع وزمن حركة جسيم ما, لكن القيم العددية التي يحصلان عليها ستكون مختلفة. الحركة النسبية تشرح كيف ترتبط هذه القيم ببعضها.

السرعة النسبية في بعد واحد

نبدأ بالحالات الأبسط عندما تكون الحركة في خط مستقيم واحد. إذا تحرك إطار $S'$ بسرعة ثابتة $u$ بالنسبة إلى إطار $S$ في اتجاه المحور $x$, وكانت سرعة جسيم بالنسبة إلى $S$ هي $v$, فنستطيع تعريف سرعته بالنسبة إلى $S'$.

القانون الكلاسيكي لجمع السرعات في بعد واحد هو

$$
v' = v - u
$$

حيث
$v'$ هي سرعة الجسيم في الإطار $S'$,
$v$ هي سرعته في الإطار $S$,
$u$ هي سرعة الإطار $S'$ بالنسبة إلى $S$.

يمكن أيضًا إعادة ترتيب العلاقة بدلالة السرعة في $S'$ كقيمة معطاة

$$
v = v' + u
$$

هذه العلاقات تعبّر عن الجوهر النسبـي للسرعة, فهي مقدار يختلف باختلاف الإطار.

متجه السرعة النسبية في أبعاد متعددة

في أبعاد أعلى نحتاج إلى التعامل مع السرعة كمتجه. إذا تحرك إطار $S'$ بالنسبة إلى إطار $S$ بسرعة ثابتة متجهة $\vec{u}$, وتحرك جسيم بسرعة $\vec{v}$ بالنسبة إلى $S$, فإن سرعته بالنسبة إلى $S'$ هي

$$
\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u}
$$

ويمكن كتابة العكس

$$
\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}
$$

هذه صيغة متجهة تعني أننا نجمع ونطرح مركبات السرعة على المحاور المختلفة كما في جبر المتجهات.

علاقة الموضع في الأطر المختلفة

لنفترض أن أصل الإحداثيات في الإطار $S'$ يتحرك بالنسبة إلى $S$ بسرعة ثابتة $\vec{u}$, وأن موضع الجسيم في الإطار $S$ هو $\vec{r}$, وفي الإطار $S'$ هو $\vec{r}'$.

إذا كان أصل الإطارين متطابقين عند الزمن $t = 0$, فإن بعد زمن $t$ يكون أصل $S'$ قد تحرك في $S$ بمسافة $\vec{u}\, t$. عندئذ ترتبط إحداثيات الجسيم بالعلاقة

$$
\vec{r}' = \vec{r} - \vec{u}\, t
$$

باشتقاق هذه العلاقة بالنسبة إلى الزمن نحصل مباشرة على علاقة السرعات المتجهة

$$
\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u}
$$

إذًا تحويل السرعات نتيجة مباشرة لتحويل المواضع بين الأطر المرجعية المتحركة بسرعة ثابتة.

التسارع في الحركة النسبية الكلاسيكية

إذا اشتققنا علاقة السرعة مرة أخرى بالنسبة إلى الزمن, نحصل على علاقة التسارع

$$
\vec{a}' = \frac{d\vec{v}'}{dt} = \frac{d\vec{v}}{dt} - \frac{d\vec{u}}{dt}
$$

في حالة الحركة النسبية التي ندرسها هنا نأخذ $\vec{u}$ ثابتة, أي أن الإطارين يتحركان بالنسبة إلى بعضهما بسرعة ثابتة, فيكون

$$
\frac{d\vec{u}}{dt} = \vec{0}
$$

وبالتالي

$$
\vec{a}' = \vec{a}
$$

أي أن التسارع هو نفسه في الإطارين. هذه نتيجة مهمة في الميكانيكا الكلاسيكية, فهي تقول إن التسارع كمية «مطلقة» بين الأطر العطالية, بينما السرعة كمية «نسبية».

هذه النتيجة سيكون لها دور مهم عندما نستخدم قوانين نيوتن للحركة, إذ إنها تجعل من الممكن أن تكون صيغة القوانين واحدة في كل الأطر العطالية.

السرعة النسبية بين جسمين متحركين

في كثير من المسائل لا نهتم بسرعة كل جسم بالنسبة إلى الأرض, بل بسرعته بالنسبة إلى جسم آخر. إذا كانت سرعة الجسم $A$ بالنسبة إلى الأرض هي $\vec{v}_A$, وسرعة الجسم $B$ بالنسبة إلى الأرض هي $\vec{v}_B$, فإن سرعة $A$ بالنسبة إلى $B$ هي

$$
\vec{v}_{A/B} = \vec{v}_A - \vec{v}_B
$$

بينما سرعة $B$ بالنسبة إلى $A$ هي

$$
\vec{v}_{B/A} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = - \vec{v}_{A/B}
$$

إذًا السرعة النسبية متجه معاكس للسرعة من الجهة الأخرى.

مسائل نموذجية في الحركة النسبية

القوارب في الأنهار

من التطبيقات الشائعة للحركة النسبية مسألة قارب يتحرك في نهر. السرعة المعطاة للقارب غالبًا ما تكون «بالنسبة إلى الماء», بينما المطلوب في كثير من الأحيان هو السرعة «بالنسبة إلى الشاطئ». هنا نستخدم جمع السرعات المتجهة.

نعبر عن سرعة القارب بالنسبة إلى الماء بالمتجه $\vec{v}_{\text{قارب, ماء}}$, وعن سرعة الماء بالنسبة إلى الأرض بالمتجه $\vec{v}_{\text{ماء, أرض}}$. السرعة المطلوبة هي سرعة القارب بالنسبة إلى الأرض

$$
\vec{v}_{\text{قارب, أرض}} = \vec{v}_{\text{قارب, ماء}} + \vec{v}_{\text{ماء, أرض}}
$$

غالبًا نستخدم تحليل المركبات, فنختار اتجاه التيار أحد المحاور, ثم نفكك السرعات إلى مركبات ونحسب النتيجة.

الطائرات والرياح

مسألة مشابهة هي طائرة تسير في هواء متحرك. السرعة المعطاة للطائرة عادة تكون مؤشر السرعة الهوائي, الذي يعطي سرعتها بالنسبة إلى الهواء, بينما الهواء نفسه قد يتحرك بالنسبة إلى الأرض على شكل ريح.

إذا كانت سرعة الطائرة بالنسبة إلى الهواء هي $\vec{v}_{\text{طائرة, هواء}}$, وسرعة الهواء بالنسبة إلى الأرض هي $\vec{v}_{\text{هواء, أرض}}$, فإن سرعة الطائرة بالنسبة إلى الأرض هي

$$
\vec{v}_{\text{طائرة, أرض}} = \vec{v}_{\text{طائرة, هواء}} + \vec{v}_{\text{هواء, أرض}}
$$

في هذه المسائل تظهر بوضوح أهمية الاتجاه, إذ يمكن أن تزيد الريح من السرعة الأرضية للطائرة أو تنقصها أو تغيّر اتجاه مسارها.

الأطر المتحركة بحركة غير منتظمة

في هذا الفصل ركزنا على أطر تتحرك بسرعات ثابتة بالنسبة إلى بعضها, لذلك كانت علاقات السرعة والتسارع بسيطة, ووجدنا أن التسارع محفوظ بين الأطر.

إذا أصبح الإطار نفسه يتسارع أو يدور, فإن وصف الحركة فيه يصبح مختلفًا نوعيًا, ويظهر ما يسمى قوى وهمية. هذه الحالة تُدرس في سياق الأطر المرجعية غير العطالية, حيث نحتاج عندها إلى تعديل وصف الحركة ومعادلاتها.

حدود الحركة النسبية الكلاسيكية

قواعد جمع السرعات التي استخدمناها هنا صالحة عندما تكون السرعات أصغر بكثير من سرعة الضوء. عند الاقتراب من سرعة الضوء يصبح هذا الوصف غير دقيق, ويجب استخدام الوصف النسبي في إطار النظرية الخاصة للنسبية, حيث يتغير شكل قوانين جمع السرعات وتتحول الزمان والمكان بطريقة مختلفة.

في الميكانيكا الكلاسيكية التي ندرسها في هذا الجزء من المقرر نستعمل القوانين الخطية لجمع السرعات والمتجهات, مع افتراض أن تأثيرات النسبية الخاصة مهملة في السرعات العادية.