حركة المقذوفات

مقدمة عن حركة المقذوفات

حركة المقذوفات هي حالة خاصة من المعادلة العامة للحركة في بعدين، عندما يكون التسارع ثابتًا وموجَّهًا رأسيًا فقط بسبب الجاذبية. في هذا الفصل نطبّق الأفكار العامة عن الموضع والسرعة والتسارع على جسم يُقذف بزاوية معينة في مجال جاذبية منتظم، ونهمل تأثير مقاومة الهواء.

في حركة المقذوفات يتجزأ التحليل دائمًا إلى بعدين مستقلين: بعد أفقي لا يوجد فيه تسارع، وبعد رأسي يخضع لتسارع ثابت مقداره $g$ متجه نحو الأسفل.

تحليل السرعة الابتدائية

لنفترض أن الجسم قُذف من نقطة ما بسرعة ابتدائية مقدارها $v_0$ وبزاوية $\theta$ مع الأفق. المعادلة العامة للحركة في بعدين تم تقديمها في الفصل السابق، وهنا نستخدمها بشكل خاص.

نختار محور $x$ أفقيًا ومحور $y$ رأسيًا، ونكتب مركبتي السرعة الابتدائية:

$$
v_{0x} = v_0 \cos\theta
$$

$$
v_{0y} = v_0 \sin\theta
$$

في معظم مسائل المقذوفات تكون الحركة الأفقية والعمودية مستقلة من حيث المعادلات، لكنهما مرتبطتان بزمن الحركة نفسه.

معادلات الحركة الأفقية والرأسية

نستخدم الصيغ العامة للحركة بتسارع ثابت، مع مراعاة أن التسارع الأفقي صفر:

الحركة الأفقية:
$$
x(t) = x_0 + v_{0x} t
$$

الحركة الرأسية:
$$
y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2
$$

حيث $x_0, y_0$ موضع المقذوف عند لحظة القذف. إذا اعتبرنا نقطة القذف هي مبدأ الإحداثيات نحصل على:

$$
x(t) = v_0 \cos\theta \, t
$$

$$
y(t) = v_0 \sin\theta \, t - \frac{1}{2} g t^2
$$

معادلة المسار (إزاحة $y$ بدلالة $x$)

في كثير من الأحيان نريد معادلة تصف شكل المسار نفسه، أي علاقة $y$ بـ $x$ مباشرة من غير استخدام الزمن. بما أن

$$
x = v_0 \cos\theta \, t
$$

فإن

$$
t = \frac{x}{v_0 \cos\theta}
$$

نعوّض في معادلة $y(t)$:

$$y = v_0 \sin\theta \left(\frac{x}{v_0 \cos\theta}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{x}{v_0 \cos\theta}\right)^2$$

فنحصل على

$$
y = x \tan\theta - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} \, x^2
$$

هذه معادلة قطع مكافئ، وهذا يشرح لماذا يكون مسار المقذوف على شكل قوس مكافئ عندما نهمل مقاومة الهواء.

زمن التحليق، المدى الأفقي، والارتفاع الأعظمي

زمن التحليق عندما يعود المقذوف إلى نفس الارتفاع

عندما يُقذف الجسم من ارتفاع $y_0$ ويعود إلى نفس الارتفاع، مثل أرض مستوية، يكون زمن التحليق الكلي هو الزمن بين لحظة القذف ولحظة عودته إلى $y = y_0$.

إذا اعتبرنا $y_0 = 0$، نحصل من

$$
y(t) = v_0 \sin\theta \, t - \frac{1}{2} g t^2 = 0
$$

على حلين:
$$
t = 0
$$

ويمثل لحظة القذف، والحل الآخر:

$$
t = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}
$$

ويمثل زمن التحليق الكلي

$$
T = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}
$$

المدى الأفقي على مستوى أفقي

المدى الأفقي $R$ هو المسافة الأفقية التي يقطعها المقذوف حتى يعود إلى $y = 0$ مرة أخرى. نستخدم معادلة الحركة الأفقية

$$
R = x(T) = v_0 \cos\theta \, T
$$

وبالتعويض عن $T$:

$$
R = v_0 \cos\theta \cdot \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}
= \frac{v_0^2}{g} \, 2 \sin\theta \cos\theta
$$

ومن علاقة المثلثات $2 \sin\theta \cos\theta = \sin(2\theta)$ نحصل على:

$$
R = \frac{v_0^2}{g} \sin(2\theta)
$$

هذه الصيغة صالحة فقط عندما يكون سطح الإطلاق وسطح السقوط على نفس الارتفاع.

الزاوية التي تعطي أكبر مدى

من الصيغة السابقة يتضح أن المدى يتناسب مع $\sin(2\theta)$. بما أن أكبر قيمة لهذه الدالة هي 1 عندما يكون $2\theta = 90^\circ$ نحصل على

$$
\theta_\text{الأمثل} = 45^\circ
$$

إذن للحصول على أكبر مدى أفقي على أرض مستوية بدون مقاومة هواء يجب أن تكون زاوية الإطلاق $45^\circ$.

كما أن أي زاويتين مجموعهما $90^\circ$ تعطيان نفس المدى الأفقي، لأن

$$
\sin\big(2(90^\circ - \theta)\big) = \sin(180^\circ - 2\theta) = \sin(2\theta)
$$

لذلك المقذوف الذي يُطلق بزاوية $30^\circ$ والمقذوف الذي يُطلق بزاوية $60^\circ$ ولديهما نفس $v_0$ يقطعان نفس المدى الأفقي، لكن مساريهما مختلفان.

الارتفاع الأعظمي

يصل المقذوف إلى أعلى نقطة عندما تصبح السرعة الرأسية مساوية للصفر. السرعة الرأسية بدلالة الزمن هي

$$
v_y(t) = v_0 \sin\theta - g t
$$

عند القمة $v_y = 0$:

$$
0 = v_0 \sin\theta - g t_\text{أقصى}
$$

إذن

$$
t_\text{أقصى} = \frac{v_0 \sin\theta}{g}
$$

هذا هو نصف زمن التحليق عندما يعود المقذوف إلى نفس الارتفاع.

الارتفاع الأعظمي $H$ نحصل عليه بتعويض هذا الزمن في معادلة $y(t)$:

$$
H = v_0 \sin\theta \cdot \frac{v_0 \sin\theta}{g} - \frac{1}{2} g \left(\frac{v_0 \sin\theta}{g}\right)^2
$$

وبالتبسيط:

$$
H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{g} - \frac{1}{2} \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{g}
= \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}
$$

حركة المقذوفات من ارتفاع غير صفري

في حالات كثيرة يُطلق المقذوف من ارتفاع مختلف عن ارتفاع السقوط، مثل قذف حجر من قمة جرف أو كرة من يد لاعب إلى مستوى أرض الملعب. عندها لا يمكن استعمال صيغة المدى البسيطة التي تعتمد على $\sin(2\theta)$، بل نعود للمعادلات الزمنية.

نفترض أن

$$
x_0 = 0, \quad y_0 = h
$$

وحين يلامس المقذوف سطح الارتفاع المرجعي يكون $y = 0$. المعادلة الرأسية تصبح

$$
0 = h + v_0 \sin\theta \, t - \frac{1}{2} g t^2
$$

وهي معادلة تربيعية في $t$. يمكن حلها في الحالات العامة بالصيغة الجبرية للمعادلات التربيعية، ويختار الحل الموجب للزمن لأنه الزمن الفيزيائي المقبول. بعد إيجاد $t$ يمكن الحصول على المدى من

$$
R = v_0 \cos\theta \, t
$$

في كثير من التطبيقات العملية، كإطلاق المقذوفات من مدفع على مرتفع أو من طائرة، يكون تحليل هذه الحالة أكثر أهمية من حالة المستوي الأفقي البسيطة.

السرعة والاتجاه في أي لحظة

في حركة المقذوفات تتغير السرعة مع الزمن بسبب تأثير الجاذبية على المركبة الرأسية فقط، بينما تظل المركبة الأفقية ثابتة.

مركبتا السرعة:

$$
v_x(t) = v_0 \cos\theta
$$

$$
v_y(t) = v_0 \sin\theta - g t
$$

مقدار السرعة الكلية:

$$
v(t) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
= \sqrt{v_0^2 \cos^2\theta + \left(v_0 \sin\theta - g t\right)^2}
$$

زاوية اتجاه السرعة عند زمن $t$ نسبة إلى الأفق:

$$
\phi(t) = \tan^{-1}\left(\frac{v_y(t)}{v_x(t)}\right)
= \tan^{-1}\left(\frac{v_0 \sin\theta - g t}{v_0 \cos\theta}\right)
$$

في أعلى نقطة يكون $v_y = 0$، ولذلك تكون السرعة أفقية تمامًا، أي أن $\phi = 0$ بالنسبة إلى الأفق.

زاوية القذف لأهداف محددة

في مسائل الرماية أو الألعاب الرياضية كثيرًا ما يكون المطلوب هو إيجاد الزاوية المناسبة لإصابة هدف يبعد أفقيا مسافة معينة وعند ارتفاع معروف، مع سرعة ابتدائية معلومة.

نفترض أن الهدف عند:

$$
x = X, \quad y = Y
$$

وأن الإطلاق من $(0, 0)$ بسرعة أولية $v_0$. نستخدم معادلة المسار:

$$
Y = X \tan\theta - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} X^2
$$

يمكن إعادة ترتيبها بإحدى طرق الجبر للحصول على معادلة في $\tan\theta$، وغالبًا ما تؤدي إلى معادلة تربيعية تعطي زاويتين محتملتين. في المجال الفيزيائي، إذا كان الحلان حقيقيين وموجبَي الزاوية، يكون لكل حل مسار مختلف أحدهما يكون مساره عاليًا والآخر منخفضًا، لكنهما يصيبان نفس الهدف.

في الدروس المتقدمة أو في التمارين يمكن اتباع خطوات جبرية تفصيلية لحل هذه المعادلات، وغالبًا يستفاد من صيغة الحركة الرأسية مع استبدال الزمن من الحركة الأفقية.

حدود نموذج حركة المقذوفات

نموذج حركة المقذوفات الذي استخدمناه يقوم على عدة افتراضات مبسطة. هذه الافتراضات تجعل الحسابات سهلة، لكنها لا تنطبق تمامًا على الواقع في كل الحالات.

من أهم الافتراضات في هذا النموذج:

1. إهمال مقاومة الهواء. في الواقع، الهواء يسبب قوة معاكسة للحركة تقلل السرعة وتغير المدى والشكل الدقيق للمسار.
2. ثبات تسارع الجاذبية $g$. هذا التقريب جيد لمسافات ليست كبيرة مقارنة بنصف قطر الأرض.
3. إهمال دوران الأرض وتأثيره على المسار، مثل قوة كوريوليس، التي تصبح مهمة في المسافات الكبيرة والسرعات العالية.

مع ذلك، ضمن حدود هذه الفرضيات يعتبر نموذج حركة المقذوفات أداة قوية لتحليل عدد كبير من الظواهر اليومية مثل رمي الكرة، مسار رصاصة، قذف حجر، أو حتى حساب زاوية الإطلاق للصواريخ في مدى محدود.