Table of Contents
تمهيد لفهم المعادلة العامة للحركة
في علم الحركة نقوم بوصف كيفية تغيّر موضع جسم مع الزمن من غير أن نسأل عن سبب هذا التغيّر. في الفصول السابقة من هذا الباب تم التعرف على مفاهيم الموضع، السرعة، والتسارع. في هذا الفصل نربط هذه الكميات معًا في صيغة واحدة تسمى المعادلة العامة للحركة، وهي إطار رياضي يسمح بكتابة حركة أي جسم يخضع لتسارع معلوم كدالة في الزمن.
الفكرة الأساسية هي الآتي. إذا عرفت كيف يتغير تسارع الجسم مع الزمن، يمكن من حيث المبدأ إيجاد سرعته، ثم موضعه، باستخدام التكامل. المعادلة العامة للحركة هي التعبير الرياضي المنظّم لهذه العملية.
العلاقة التفاضلية بين الموضع والسرعة والتسارع
الموضع يرمز له عادة بـ $x(t)$ في الحركة على خط مستقيم. السرعة هي المعدل الزمني لتغير الموضع، والتسارع هو المعدل الزمني لتغير السرعة. يمكن تلخيص هذا في السلسلة التفاضلية:
$$
v(t) = \frac{dx}{dt},
\qquad
a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}
$$
هذه العلاقة الأخيرة هي جوهر المعادلة العامة للحركة في صورتها التفاضلية، فهي تربط الموضع $x(t)$ بالتسارع $a(t)$ عبر مشتقة مزدوجة بالنسبة للزمن.
إذا كنت تعرف $a(t)$ وتريد إيجاد $x(t)$، فأنت في الواقع تريد حل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية:
$$
\frac{d^2 x}{dt^2} = a(t)
$$
وهذه هي صيغة عامة، تعتمد على نوع التسارع الذي تتعامل معه. الحالات الخاصة المشهورة مثل الحركة بتسارع ثابت ما هي إلا حلول خاصة لهذه المعادلة.
من التسارع إلى السرعة إلى الموضع
إذا اعتبرنا أن التسارع $a(t)$ معلوم كدالة في الزمن، فإن الخطوة الأولى للحصول على السرعة هي التكامل:
$$
v(t) = \int a(t)\,dt
$$
لكن هذا التكامل لا يعطي جوابًا وحيدًا، بل يظهر ثابت تكامل. هذا الثابت يحدد من خلال شرط ابتدائي مثل معرفة السرعة عند لحظة مرجعية $t_0$. لذلك نكتب:
$$
v(t) = v(t_0) + \int_{t_0}^{t} a(\tau)\,d\tau
$$
حيث $\tau$ متغير تكامل لا أكثر. الشرط $v(t_0)$ يسمى شرطًا ابتدائيًا لأنه يحدد سلوك الحل ابتداءً من تلك اللحظة.
بنفس الطريقة نحصل على الموضع من السرعة بالتكامل مرة أخرى:
$$
x(t) = x(t_0) + \int_{t_0}^{t} v(\tau)\,d\tau
$$
وإذا عوضت عن $v(\tau)$ بالتعبير المتضمن للتسارع أصبحت المعادلة العامة للحركة مكتوبة بالكامل بدلالة $a(t)$ والشرطين الابتدائيين $x(t_0)$ و $v(t_0)$.
مثال رمزي عام
إذا كان تسارع جسم يُعطى بالعلاقة $a(t) = 2t$، وكانت سرعته عند $t_0 = 0$ هي $v(0) = 3$ متر في الثانية، وموضعه عند $t_0 = 0$ هو $x(0) = 1$ متر، نحصل على:
$$
v(t) = v(0) + \int_0^{t} 2\tau\,d\tau = 3 + t^2
$$
ثم:
$$
x(t) = x(0) + \int_0^{t} \left(3 + \tau^2\right)d\tau = 1 + 3t + \frac{t^3}{3}
$$
بهذا نرى أن المعادلة العامة للحركة ليست رقمًا واحدًا أو صيغة وحيدة، بل هي طريقة منظمة لبناء $x(t)$ من $a(t)$ وشروط البداية.
الصورة التفاضلية والمعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية
المعادلة العامة للحركة تظهر في أبسط صورها في بعد واحد كالتالي:
$$
\frac{d^2 x}{dt^2} = a\bigl(t, x, v\bigr)
$$
حيث يمكن للتسارع أن يعتمد على الزمن نفسه، أو على الموضع، أو على السرعة، أو على مزيج منها. في علم الحركة البحت غالبًا ما يُعتبر التسارع معطى، ولا نهتم بمصدره، أما في الديناميكا فسوف نربطه بالقوى.
هذه العلاقة هي مثال على ما يسمى معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية بالنسبة إلى الزمن، لأن أعلى مشتقة يظهر فيها هي المشتقة الثانية. لحل مثل هذه المعادلة تحتاج عادة إلى شرطين ابتدائيين مثل:
$$
x(t_0) = x_0,
\qquad
v(t_0) = v_0
$$
وجود شرطين ابتدائيين يرتبط مباشرة بدرجة المعادلة. كل درجة تفاضل إضافية تحتاج إلى ثابت تكامل إضافي، وهذا الثابت لا يتحدد إلا من خلال معلومة فيزيائية عن حالة الجسم في لحظة معينة.
قاعدة مهمة
لحل معادلة الحركة في بعد واحد من الدرجة الثانية بالنسبة للزمن، لا يكفي أن تعرف الموضع الابتدائي وحده أو السرعة الابتدائية وحدها. يجب أن يكون لديك على الأقل معلومتان مستقلتان مثل الموضع الابتدائي والسرعة الابتدائية عند نفس اللحظة.
من دون هذين الشرطين لا يمكن تحديد مسار الحركة بشكل وحيد.
اختيار المتغير المستقل والمتغيرات التابعة
في المعادلة العامة للحركة يُعد الزمن عادة المتغير المستقل، بينما الموضع والسرعة والتسارع متغيرات تابعة. لكن في بعض المسائل، يكون من الأسهل استخدام متغيرات أخرى، كالموضع نفسه بديلًا عن الزمن.
من العلاقات المفيدة في هذا السياق الربط بين التسارع والسرعة والموضع:
$$
a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt} = v\,\frac{dv}{dx}
$$
هذه المعادلة تسمح في بعض المسائل بالتعامل مع السرعة كدالة في الموضع $v(x)$ بدلًا من الزمن $v(t)$، ثم استرجاع الزمن بعد ذلك إذا لزم الأمر. هذا تغيير في طريقة كتابة المعادلة العامة للحركة من شكل إلى آخر يناسب نوع المسألة.
الصيغ المتجهية للمعادلة العامة للحركة
عندما تكون الحركة في بعدين أو ثلاثة أبعاد، لا نتعامل مع كمية عددية واحدة للموضع، بل مع متجه موضع $\vec{r}(t)$. في هذه الحالة تأخذ المعادلة العامة للحركة شكلًا متجهيًا:
$$
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt},
\qquad
\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}
$$
ولحل حركة الجسم نحتاج إلى معرفة متجه التسارع كدالة في الزمن، ثم تطبيق التكامل المتجهي مع الشروط الابتدائية:
$$
\vec{v}(t) = \vec{v}(t_0) + \int_{t_0}^{t} \vec{a}(\tau)\,d\tau
$$
$$
\vec{r}(t) = \vec{r}(t_0) + \int_{t_0}^{t} \vec{v}(\tau)\,d\tau
$$
كل مكوّن من مكونات المتجهات يخضع لعلاقة مماثلة في اتجاهه. في كثير من المسائل، يمكن تحليل الحركة إلى محاور مستقلة، كل محور له معادلته الخاصة، ثم تعاد تركيباتها في النهاية للحصول على المسار الكامل.
مثال توضيحي في بعدين
إذا كان التسارع ثابتًا في اتجاه $x$ ومساويًا للصفر في اتجاه $y$، يمكن كتابة:
$$
a_x = \text{ثابت},
\qquad
a_y = 0
$$
ثم نحصل على معادلتين منفصلتين للحركة في كل اتجاه. هذا النوع من التحليل يعتمد مباشرة على الصيغة المتجهية للمعادلة العامة للحركة.
المعادلة العامة للحركة والحالات الخاصة
الحالات القياسية التي تُدرَّس في الميكانيكا الكلاسيكية، مثل السقوط الحر أو حركة المقذوفات أو الحركة بتسارع ثابت، ليست إلا حلولًا خاصة للمعادلة العامة للحركة عند اختيار شكل معين للتسارع. على سبيل المثال، في حالة التسارع الثابت $a$ في بعد واحد تكون المعادلة التفاضلية:
$$
\frac{d^2 x}{dt^2} = a
$$
وحلها مع الشروط الابتدائية $x(0) = x_0$ و $v(0) = v_0$ يعطي الصيغ الشهيرة التي ستظهر في الفصول الفرعية اللاحقة. لكن تذكّر أن هذه الصيغ ليست عامة لكل حركة، بل تابعة لافتراض مهم هو ثبات التسارع.
تنبيه
لا يجوز استخدام صيغ الحركة ذات التسارع الثابت في مسائل يكون فيها التسارع متغيرًا مع الزمن أو مع الموضع، مثل كثير من مسائل مقاومة الهواء في السرعات العالية.
في تلك الحالات يجب العودة إلى المعادلة العامة للحركة وحل المعادلة التفاضلية المناسبة.
الشروط الابتدائية ومسألة القيمة الابتدائية
من الوجهة الرياضية تسمى عملية إيجاد مسار جسم من خلال معرفة حالته عند لحظة معينة بمسألة القيمة الابتدائية. المعطيات النموذجية هي:
$$
t = t_0,
\quad
x = x_0,
\quad
v = v_0
$$
والمطلوب هو إيجاد $x(t)$ لكل $t$ لاحق. روح المعادلة العامة للحركة هي أن هذه المعطيات تكفي لتحديد المسار في الحالات المعتادة التي يكون فيها التسارع محددًا جيدًا ولا يتصرف بشكل شاذ. لذلك يمكن النظر إلى المعادلة العامة للحركة كجسر بين اللحظة الابتدائية وبقية الزمن.
في التطبيقات الفيزيائية لا يكفي الحل الرياضي وحده، بل يجب اختيار الحل الذي يحترم الشروط الفيزيائية للمشكلة، مثل استمرارية الحركة، أو حدود السرعة الممكنة، أو حدود المجال الذي يتحرك فيه الجسم.
تلخيص المفهوم العام
المعادلة العامة للحركة ليست مجرد صيغة واحدة تحفظ، بل هي إطار رياضي يقوم على ثلاث ركائز مترابطة. الموضع كدالة في الزمن، السرعة كمشتقة أولى للموضع، والتسارع كمشتقة ثانية. هذه الركائز تكتب في معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية، ومع معرفة التسارع وشروط البداية يمكن الحصول على الحركة بالكامل إما عن طريق التكامل، أو عن طريق حل المعادلة التفاضلية مباشرة عند الحاجة.
في الفصول التالية ستستخدم هذه الفكرة العامة في صور خاصة، مثل السقوط الحر، الرمي الأفقي، وحركة المقذوفات، حيث يصبح شكل التسارع أبسط ويمكن كتابة حلول صريحة تعطي مسارات واضحة يسهل تحليلها ورسمها.