Table of Contents
تمهيد
في هذا الفصل نركّز على حالة خاصة ومهمة من المعادلة العامة للحركة في بعد واحد، وهي حركة جسم تحت تأثير تسارع ثابت نحو الأسفل، مثل جسم يسقط سقوطا حرا أو يُرمى عموديا إلى الأعلى أو إلى الأسفل. سنفترض أن مقاومة الهواء مهملة في هذا الفصل، وأن التسارع يساوي تسارع الجاذبية الأرضية ويرمز له عادة بـ $g$ وقيمته التقريبية قرب سطح الأرض:
$$
g \approx 9.8 \,\text{m/s}^2
$$
ونأخذ الاتجاه إلى الأعلى موجبا، لذلك يكون تسارع الجاذبية:
$$
a = -g
$$
مفهوم السقوط الحر
السقوط الحر هو حركة جسم تحت تأثير قوة الجاذبية فقط، من دون تأثير قوى أخرى مؤثرة بوضوح مثل قوة دفع أو شد أو احتكاك هواء. في هذه الحالة يكون تسارع الجسم ثابتا مقداره $g$ ومتجها دائما نحو مركز الأرض، أي نحو الأسفل.
من أمثلة السقوط الحر المثالية: جسم يُترك من السكون من ارتفاع معين، حجر يفلت من يدك من دون أن يدفع إلى الأعلى أو الأسفل، أو جسيم صغير في أنبوب مفرغ من الهواء.
في كل هذه الحالات يمكن تطبيق الصيغ الخاصة بالحركة بتسارع ثابت مع وضع $a = -g$ عندما نختار الاتجاه إلى الأعلى موجبا.
في السقوط الحر المثالي نهمل مقاومة الهواء. في الواقع، خاصة للأجسام الخفيفة أو ذات المساحة الكبيرة، يصبح تأثير الهواء مهما، وعندها لا تعود الصيغ البسيطة في هذا الفصل دقيقة.
المعادلات الخاصة بالسقوط الحر
بما أن السقوط الحر حالة خاصة من الحركة بتسارع ثابت، يمكن الحصول على معادلات الحركة من المعادلة العامة مع تعويض:
$$
a = -g
$$
إذا كان موضع الجسم اللحظي $y(t)$ على محور رأسي (مع كون الأعلى موجبا والأسفل سالبا)، والسرعة $v(t)$، وكانت الحالة الابتدائية عند $t = 0$ هي:
$$
y(0) = y_0,\quad v(0) = v_0
$$
فإن معادلات الحركة تصبح:
$$
v(t) = v_0 - g t
$$
$$
y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2
$$
أما العلاقة التي تربط بين السرعة والموضع من دون الزمن فهي:
$$
v^2 = v_0^2 - 2 g (y - y_0)
$$
هذه هي المعادلات الأساسية التي سنستخدمها في توصيف السقوط الحر والرمي العمودي.
مثال توضيحي:
جسم يُترك من السكون من ارتفاع $h$ فوق سطح الأرض. هنا:
$$
y_0 = h,\quad v_0 = 0
$$
وإذا اعتبرنا مستوى سطح الأرض $y = 0$، فإن زمن الوصول إلى الأرض $t_\text{سقوط}$ يحسب من:
$$
0 = h - \frac{1}{2} g t_\text{سقوط}^2
$$
فتصبح:
$$
t_\text{سقوط} = \sqrt{\frac{2h}{g}}
$$
الرمي العمودي إلى الأعلى
الرمي العمودي إلى الأعلى يحدث عندما نعطي الجسم سرعة ابتدائية إلى الأعلى، ثم نترك الجاذبية تبطئه حتى يتوقف لحظة ما، ثم يبدأ في السقوط إلى الأسفل. في هذه الحركة يبقى التسارع ثابتا ومقداره $-g$ طوال الزمن، سواء كان الجسم صاعدا أو هابطا.
إذا كان:
$$
v_0 > 0
$$
فإن السرعة مع الزمن:
$$
v(t) = v_0 - g t
$$
تتناقص خطيا مع الزمن حتى تصل إلى الصفر عند لحظة معينة.
زمن الوصول إلى أقصى ارتفاع
أقصى ارتفاع يتحقق عندما تصبح السرعة اللحظية صفرا:
$$
v(t_\text{أقصى}) = 0
$$
إذن:
$$
0 = v_0 - g t_\text{أقصى}
\Rightarrow
t_\text{أقصى} = \frac{v_0}{g}
$$
هذا الزمن هو مدة الصعود من لحظة الرمي إلى لحظة التوقف اللحظي في أعلى نقطة.
أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم
لحساب أقصى ارتفاع $y_\text{أقصى}$ يمكن استخدام معادلة الموضع:
$$
y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2
$$
بتعويض $t = t_\text{أقصى} = \dfrac{v_0}{g}$ نحصل على:
$$
y_\text{أقصى} = y_0 + v_0 \left(\frac{v_0}{g}\right) - \frac{1}{2} g \left(\frac{v_0}{g}\right)^2
$$
وبالتبسيط:
$$
y_\text{أقصى} = y_0 + \frac{v_0^2}{2g}
$$
إذن الزيادة في الارتفاع عن الموضع الابتدائي تساوي:
$$
\Delta y_\text{أقصى} = \frac{v_0^2}{2g}
$$
يمكن الوصول إلى النتيجة نفسها باستخدام العلاقة:
$$
v^2 = v_0^2 - 2 g (y - y_0)
$$
وبتعويض $v = 0$ عند القمة نحصل مباشرة على:
$$
0 = v_0^2 - 2 g (y_\text{أقصى} - y_0)
\Rightarrow
y_\text{أقصى} - y_0 = \frac{v_0^2}{2g}
$$
مثال:
كرة قُذفت رأسيا إلى الأعلى بسرعة ابتدائية $v_0 = 20\,\text{m/s}$ من نقطة اعتبارها $y_0 = 0$.
أقصى ارتفاع:
$$
\Delta y_\text{أقصى} = \frac{v_0^2}{2g} \approx \frac{400}{19.6} \approx 20.4\,\text{m}
$$
زمن الوصول إلى هذا الارتفاع:
$$
t_\text{أقصى} = \frac{v_0}{g} \approx \frac{20}{9.8} \approx 2.04\,\text{s}
$$
التماثل بين الصعود والهبوط
إذا رُمي الجسم من ارتفاع $y_0$ إلى الأعلى بسرعة $v_0$، ثم عاد فمر بنفس الموضع $y_0$ أثناء هبوطه، فإن هناك خاصية تماثل مهمة:
إذا أهملنا مقاومة الهواء:
- الزمن اللازم للعودة إلى الموضع الابتدائي:
$$
t_\text{عودة} = 2\, t_\text{أقصى} = \frac{2 v_0}{g}
$$ - سرعة الجسم عند المرور من جديد عبر الموضع الابتدائي تكون مساوية في المقدار ومعاكسة في الاتجاه للسرعة الابتدائية:
$$
v(t_\text{عودة}) = -v_0
$$
أي أن الجسم يحتاج إلى الوقت نفسه للصعود من الموضع الابتدائي إلى القمة كما يحتاج للنزول من القمة إلى الموضع الابتدائي.
هذه التماثلية بين الصعود والهبوط صحيحة فقط إذا أهملنا مقاومة الهواء. مع وجود الاحتكاك بالهواء، تكون سرعة الهبوط عند نفس الارتفاع أصغر من السرعة الابتدائية ولا يكون الزمنان متساويين.
الرمي العمودي إلى الأسفل
الرمي العمودي إلى الأسفل يعني أن الجسم يُعطى سرعة ابتدائية باتجاه الأسفل. إذا اعتبرنا الاتجاه إلى الأعلى موجبا، تصبح السرعة الابتدائية سالبة:
$$
v_0 < 0
$$
في هذه الحالة تبقى المعادلات نفسها:
$$
v(t) = v_0 - g t
$$
$$
y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2
$$
لكن تفسير الإشارات يختلف. بما أن السرعة الابتدائية سالبة والتسارع أيضا سالب، فهذا يعني أن الجسم يبدأ من الأساس متسارعا نحو الأسفل، فتزداد سرعة هبوطه مع الزمن.
يمكنك في المسائل العملية التعامل مع السرعات نحو الأسفل كقيم موجبة إذا اخترت الاتجاه نحو الأسفل موجبا. في هذه الحالة يصبح التسارع $+g$، وتُكتب المعادلات بطريقة أبسط من حيث الإشارات، لكن يجب أن تلتزم بهذا الاختيار طوال الحل.
مثال:
جسم يُرمى رأسيا إلى الأسفل بسرعة ابتدائية $5\,\text{m/s}$ من ارتفاع $20\,\text{m}$ فوق سطح الأرض. إذا اخترنا الأعلى موجبا، إذن:
$$
y_0 = 20\,\text{m},\quad v_0 = -5\,\text{m/s},\quad a = -g
$$
زمن الوصول إلى الأرض يحسب من:
$$
0 = 20 - 5 t - \frac{1}{2} g t^2
$$
وهي معادلة تربيعية في $t$ يمكن حلها لاختيار الجذر الموجب الذي يمثل الزمن الفيزيائي.
التمثيل البياني لحركة السقوط الحر والرمي العمودي
في السقوط الحر والرمي العمودي، المفيد جدا تصور الحركة على شكل رسوم بيانية:
- السرعة مع الزمن $v(t)$:
بما أن $v(t) = v_0 - g t$ فهي علاقة خطية، رسمها يكون خطا مستقيما ميله $-g$. إذا بدأ الجسم وهو متجه إلى الأعلى، يكون $v_0$ موجبا وينخفض الخط حتى يعبر الصفر عند القمة ثم يصبح سالبا أثناء الهبوط. إذا كان الجسم منذ البداية متجها إلى الأسفل يكون الخط في الجانب السلبي ويزداد في القيمة المطلقة مع الوقت. - الموضع مع الزمن $y(t)$:
بما أن $y(t)$ دالة تربيعية في الزمن فإن الرسم يكون على شكل قطع مكافئ. في حالة الرمي إلى الأعلى تكون قمة القطع المكافئ هي أقصى ارتفاع يناله الجسم، وهو الموضع الذي تكون عنده السرعة صفرا.
العلاقة بين الميل في منحنى الموضع والزمن وبين السرعة، وكذلك بين الميل في منحنى السرعة والزمن وبين التسارع، تم توضيحها في مواضع أخرى، لذلك نستخدمها هنا دون إعادة تفصيلها.
إيجاد أزمنة خاصة من المعادلات
عند دراسة السقوط الحر أو الرمي العمودي، غالبا ما نبحث عن أزمنة معيّنة، مثل زمن الوصول إلى موضع معين أو زمن ملامسة الأرض. في هذه الحالات نختار المعادلة المناسبة ونحل من أجل $t$.
إذا استخدمنا معادلة الموضع:
$$
y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2
$$
ووضعنا $y(t)$ بقيمة معروفة مثل ارتفاع السطح أو الأرض، نحصل على معادلة تربيعية في $t$ من الشكل:
$$
\frac{1}{2} g t^2 - v_0 t - (y - y_0) = 0
$$
يمكن حل هذه المعادلة باستخدام صيغة الجذور التربيعية. أحيانا يعطي الحل قيمتين للزمن، إحداهما قد تكون سالبة أو لا تناسب سياق المسألة الفيزيائية فتُهمَل، أو قد تمثل لحظتين مختلفتين يمر فيهما الجسم بنفس الارتفاع، مرة في الصعود ومرة في الهبوط.
عند حل معادلات الزمن:
لا تقبل أي حل زمن سالب في الحالات التي يبدأ فيها الزمن من لحظة الرمي. كما يجب فحص ما إذا كان الزمن الحلّي يقع ضمن الفترة التي تصفها المعادلة، مثلا قبل أو بعد وصول الجسم إلى القمة، حسب صياغة المسألة.
اختيار محور الإحداثيات واتجاه الإشارة
في المسائل التي تتضمن السقوط الحر أو الرمي العمودي يكون اختيار محور رأسي واتجاه موجب أمرا حاسما. هناك خياران شائعان:
- اختيار الاتجاه إلى الأعلى موجبا:
في هذه الحالة:
$$
a = -g
$$
والسرعات إلى الأعلى موجبة، وإلى الأسفل سالبة. - اختيار الاتجاه إلى الأسفل موجبا:
في هذه الحالة:
$$
a = +g
$$
وتكون السرعات في اتجاه السقوط موجبة. هذا الاختيار يسهّل أحيانا الرمي إلى الأسفل أو السقوط من السكون، لأن جميع الكميات الرئيسية موجبة.
المهم في كل الأحوال هو الاتساق الداخلي في استخدام الإشارات وعدم الخلط بين اتفاقين مختلفين في نفس الحل.
حدود صلاحية نموذج السقوط الحر
النموذج الذي استخدمناه يعتمد افتراضين مهمين:
- تسارع الجاذبية $g$ ثابت ولا يتغير مع الارتفاع أو الزمن.
- مقاومة الهواء مهملة ولا تؤثر في حركة الجسم.
هذه الفرضيات جيدة جدا لحركات على ارتفاعات صغيرة نسبيا من سطح الأرض ولأجسام ليست خفيفة جدا وليست ذات مساحة مواجهة كبيرة. كلما ارتفعنا كثيرا أو درسنا أجسام خفيفة مثل الريشة أو الورقة، أو درسنا سرعات عالية، يصبح تأثير الهواء وتغيّر $g$ مع الارتفاع أمورا لا يمكن إهمالها، وتحتاج عندها إلى نماذج أكثر تعقيدا تخرج عن نطاق هذا الفصل.