Table of Contents
تمهيد إلى التصادمات المرنة
في هذا الفصل سنركّز على نوع خاص من التصادمات هو التصادم المرن. سبق في فصل التصادمات تعريف التصادم بشكل عام والحديث عن الزخم الخطي ومبدأ حفظه. في التصادمات المرنة يضاف شرط فيزيائي مهم يتعلق بالطاقة، وهذا ما يميز هذا النوع عن غيره.
التصادم المرن هو تصادم بين جسمين أو أكثر بحيث يُحفَظ فيه كل من الزخم الخطي والطاقة الحركية معًا. أي أن الطاقة الحركية الكلية قبل التصادم تساوي الطاقة الحركية الكلية بعده، ولا تتحول إلى حرارة أو تشوه دائم أو صوت بشكل يُعد مهمًا في الحسابات.
شروط التصادم المرن
الشرط الأول للتصادم، والذي ينطبق على جميع أنواع التصادمات، هو حفظ الزخم الخطي في غياب القوى الخارجية المؤثرة خلال زمن التصادم. للمنظومة التي تحتوي جسيمين كتلتاهما $m_1$ و $m_2$ وسرعتهما قبل التصادم $u_1$ و $u_2$ وبعد التصادم $v_1$ و $v_2$، يكون:
$$
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2
$$
في التصادمات غير المرنة لا تُحفَظ الطاقة الحركية، أما في التصادم المرن فينطبق شرط إضافي:
$$
\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2
=
\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2
$$
هذان الشرطان، حفظ الزخم وحفظ الطاقة الحركية، يحددان تمامًا سرعتي الجسمين بعد التصادم في بعد واحد عندما تكون الكتلتان معلومتين.
الخصائص الفيزيائية للتصادمات المرنة
في التصادم المرن لا يحدث فقدان صاف في الطاقة الحركية، ولكن هذا لا يعني أن القوى المتبادلة بين الأجسام صغيرة. على العكس، قد تكون القوى الداخلية أثناء التصادم كبيرة جدًا، لكن تأثيرها متبادل داخلي في المنظومة، لذلك لا تغيّر الزخم الكلي.
في الواقع، يمكن للأجسام أن تنضغط ثم تستعيد شكلها، كما في كرات الصلب أو الكرات المطاطية الجيدة، فينتقل جزء من الطاقة الحركية مؤقتًا إلى طاقة وضع مرونية داخل الأجسام، ثم تعود بالكامل تقريبًا إلى شكلها الحركي بعد انتهاء التصادم. عند فقدان جزء من هذه الطاقة كحرارة أو تشوّه دائم أو صوت لا يعود التصادم مرنًا تمامًا.
من الخصائص المهمة في التصادم المرن في بعد واحد أن "سرعة التباعد" بعد التصادم تساوي "سرعة الاقتراب" قبله، مع مراعاة الإشارات الاتجاهية. يمكن صياغة ذلك بالعلاقة:
في تصادم مرن أحادي البعد:
$$
v_2 - v_1 = - (u_2 - u_1)
$$
أي أن سرعة الابتعاد = سرعة الاقتراب في المقدار.
$$
| v_2 - v_1 | = | u_2 - u_1 |
$$
هذه العلاقة نتيجة مباشرة لحفظ كل من الزخم والطاقة الحركية، ولكنها مفيدة جدًا لحل المسائل بسرعة.
التصادم المرن في بعد واحد: اشتقاق السرعات النهائية
نركز الآن على التصادم الأمامي في خط مستقيم بين جسيمين. نفترض كتلتين $m_1$ و $m_2$، وسرعتيهما الابتدائيتين $u_1$ و $u_2$ في نفس الخط، ونريد إيجاد السرعتين $v_1$ و $v_2$ بعد تصادم مرن.
لدينا معادلتان:
- حفظ الزخم:
$$
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2
$$ - علاقة سرعة الاقتراب وسرعة التباعد في التصادم المرن:
$$
v_2 - v_1 = - (u_2 - u_1)
$$
من حل هاتين المعادلتين نحصل على الصيغ الشهيرة للسرعات النهائية:
في تصادم مرن أحادي البعد بين كتلتين:
$$
v_1 =
\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1
+
\frac{2 m_2}{m_1 + m_2} u_2
$$
$$
v_2 =
\frac{2 m_1}{m_1 + m_2} u_1
+
\frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} u_2
$$
هذه العلاقات مهمة جدًا، وتتكرر كثيرًا في مسائل الميكانيكا. لاحظ أنها تعتمد فقط على الكتل والسرعات الابتدائية، ولا تحتوي على أي تفاصيل عن القوى الداخلية أو زمن التصادم.
حالات خاصة مهمة
من المفيد أن نرى كيف تتبسّط الصيغ السابقة في بعض الحالات الخاصة التي كثيرًا ما تظهر في التمارين والتجارب.
جسم يصطدم بجسم ساكن
نفترض أن الجسم الأول يتحرك بسرعة $u_1$، والجسم الثاني ساكن أي $u_2 = 0$.
من العلاقات السابقة نحصل على:
$$
v_1 =
\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} u_1
$$
$$
v_2 =
\frac{2 m_1}{m_1 + m_2} u_1
$$
مثال: إذا كانت الكتلتان متساويتين $m_1 = m_2$، نحصل على:
$$
v_1 = 0
,\quad
v_2 = u_1
$$
أي أن الجسم الأول يتوقف تمامًا، وينتقل كل الزخم والطاقة الحركية إلى الجسم الثاني. هذه الظاهرة يمكن مشاهدتها في "رقاص نيوتن" حيث تنتقل الحركة من كرة إلى أخرى بشكل جميل في سلسلة من الكرات الفولاذية.
كتلة صغيرة تصطدم بكتلة كبيرة جدًا
لنفرض أن $m_2 \gg m_1$، وأن الجسم الثاني ساكن تقريبًا قبل التصادم $u_2 \approx 0$ ويمكن اعتباره ثابتًا.
إذا طبقنا الصيغ مع افتراض $m_2 \gg m_1$ نجد تقريبًا:
$$
v_1 \approx -u_1
,\quad
v_2 \approx 0
$$
أي أن الجسم الخفيف يرتد بسرعة مساوية في المقدار لسرعته الابتدائية تقريبًا، ولكن في الاتجاه المعاكس، بينما الجسم الثقيل لا يتأثر تقريبًا. هذا يشبه اصطدام كرة صغيرة بجدار صلب.
مثال في الحياة اليومية: كرة مطاطية تصطدم بجدار خرسانة. إذا كان الاحتكاك قليلًا والتشوه ضعيفًا، تكون الحركة تقريبًا تصادمًا مرنًا، فترتد الكرة بسرعة قريبة من سرعتها الأصلية.
كتلة كبيرة تصطدم بكتلة صغيرة جدًا ساكنة
إذا كانت $m_1 \gg m_2$، والجسم الثاني ساكن $u_2 = 0$، نحصل تقريبًا على:
$$
v_1 \approx u_1
,\quad
v_2 \approx 2 u_1
$$
الجسم الثقيل يستمر تقريبًا بنفس سرعته، بينما الكتلة الصغيرة تنطلق بسرعة تقترب من ضعف سرعة الجسم الكبير في نفس الاتجاه. هذه النتيجة قد تبدو مفاجِئة، لكنها متوافقة تمامًا مع حفظ الزخم والطاقة الحركية.
التصادم المرن في بعدين بشكل مبسّط
تصادمات كرات البلياردو مثال جيد على تصادمات مرنة تقريبًا في بعدين. في هذه الحالة لا يكفي التفكير في مركبة واحدة للسرعة، بل يجب تحليل الحركة إلى مركبتين متعامدتين، مثل مركبتي المحورين $x$ و $y$.
في تصادم مرن في بعدين نطبق:
- حفظ الزخم في اتجاه المحور $x$
- حفظ الزخم في اتجاه المحور $y$
- حفظ الطاقة الحركية الكلية
في بعض المسائل تبسط الأمور بفرض أن أحد الجسمين ساكن قبل التصادم، وأن التصادم مركزي أو أن أحد المسارات معروف مسبقًا.
في التصادم المركزي المرن في بعدين بين كرتين متماثلتين، إذا كانت إحداهما ساكنة، يمكن أن ينطلق الجسمان بعد التصادم في اتجاهين يشكلان غالبًا زاوية قريبة من $90^\circ$ بين متجهي سرعتيهما، نتيجة الشروط الثلاثة للحفظ. هذا السلوك يلاحظ بالفعل في طاولات البلياردو.
معامل الارتداد وعلاقته بالتصادم المرن
للتعبير عن "مدى مرونة" التصادم، يستخدم في التطبيقات تعريف معامل يسمى "معامل الارتداد" أو "معامل المرونة" ويرمز له غالبًا بـ $e$، ويُعرّف في بعد واحد بالعلاقة:
معامل الارتداد $e$:
$$
e = \frac{\text{سرعة التباعد}}{\text{سرعة الاقتراب}}
=
\frac{|v_2 - v_1|}{|u_2 - u_1|}
$$
في التصادم المرن تمامًا يكون:
$$
e = 1
$$
أما في التصادم غير المرن جزئيًا فيكون $0 < e < 1$، وفي التصادم غير المرن تمامًا حيث يلتصق الجسمان معًا بعد التصادم يكون $e = 0$.
وجود هذا المفهوم يفيد في التطبيقات العملية، لأن معظم التصادمات في الواقع ليست مثالية، بل يضيع جزء من الطاقة الحركية في الحرارة والتشوه، فيكون $e$ أقل قليلًا من الواحد.
تطبيقات وتعليقات ختامية
التصادمات المرنة ليست مجرد مسألة نظرية، فهي تظهر في عدة مجالات من الفيزياء:
في الفيزياء الذرية والجزيئية تصادم الذرات أو الجزيئات غالبًا ما يكون مرنًا أو قريبًا من المرونة، خاصة في الفراغ وعند طاقات معينة، حيث يمكن تطبيق قوانين حفظ الزخم والطاقة الحركية لاستخراج معلومات عن البنية الداخلية.
في فيزياء النيوترونات والبروتونات تستخدم التصادمات المرنة لدراسة نوى الذرات والمواد، من خلال ملاحظة كيفية تغيير اتجاه وسرعة الجسيمات المتصادمة.
في الدراسات الهندسية يمكن استخدام نماذج التصادم المرن لتقدير الحركة الأولية في منظومات ميكانيكية قبل إدخال تأثيرات الفقد في الطاقة.
من المهم التذكير أن التصادم "المرن تمامًا" هو تقريب مثالي، لكنه غالبًا ما يكون مفيدًا وناجحًا في التنبؤ بالنتائج عندما تكون الطاقة المفقودة صغيرة مقارنة بالطاقة الحركية الكلية. في المسائل التطبيقية يبدأ الحل عادةً بافتراض مرونة التصادم أو قيم تقريبية لمعامل الارتداد ثم تُجرى التحسينات إذا دعت الحاجة.