Table of Contents
تمهيد إلى التصادمات غير المرنة
في التصادمات غير المرنة لا تُحفظ الطاقة الحركية للجملة المتصادمة، مع أن الزخم الخطي الكلي يبقى محفوظًا كما في كل التصادمات المعزولة. جزء من الطاقة الحركية يتحول إلى أشكال أخرى من الطاقة مثل الطاقة الحرارية، أو طاقة التشوه الداخلي، أو الصوت. ما يميز هذا النوع من التصادمات هو أن السرعات قبل التصادم وبعده لا تكفي وحدها لاسترجاع الطاقة الحركية الابتدائية، بعكس التصادمات المرنة.
يُعد فهم التصادمات غير المرنة مهمًا لأن أغلب التصادمات في الطبيعة والحياة اليومية من هذا النوع، مثل اصطدام السيارات، أو اصطدام كرة طينية بحائط، أو تلاحم عربات قطار.
التعريف الفيزيائي للتصادم غير المرن
يُقال عن التصادم إنه غير مرن إذا لم تُحفظ الطاقة الحركية الكلية لجملة الجسيمات أثناء التصادم، مع بقاء الزخم الخطي الكلي محفوظًا. أي أن:
$$
\vec p_{\text{قبل}} = \vec p_{\text{بعد}},
\qquad
K_{\text{قبل}} \neq K_{\text{بعد}}
$$
حيث $K$ هي الطاقة الحركية الكلية. غالبًا يكون:
$$
K_{\text{بعد}} < K_{\text{قبل}}
$$
لأن جزءًا من $K_{\text{قبل}}$ يُستهلك في تشوه الأجسام أو تسخينها.
التصادم غير المرن تمامًا
هناك حالة خاصة مهمة تسمى التصادم غير المرن تمامًا، وفيها يلتصق الجسمان بعد التصادم ويتحركان معًا بسرعة مشتركة. في هذه الحالة يتم فقدان أكبر قدر ممكن من الطاقة الحركية مع بقاء الزخم محفوظًا.
لجسمين كتلتيهما $m_1 , m_2$ وسرعتيهما الابتدائيتين في اتجاه واحد $v_1 , v_2$ (مع اتخاذ اتجاه الحركة نفسه موجبًا لكليهما)، ثم يلتصقان بعد التصادم ويتحركان معًا بسرعة $v$، يكون حفظ الزخم في بعد واحد:
$$
m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v
$$
إذًا:
$$
v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}
$$
هذه السرعة المشتركة تمثل سرعة مركز كتلة الجملة، أي أن الحركة بعد التصادم تصبح كأن الجملة جسيم واحد كتلته $m_1 + m_2$ يتحرك بسرعة مركز الكتلة.
فقدان الطاقة الحركية في التصادم غير المرن تمامًا
في مثل هذه التصادمات تكون الطاقة الحركية بعد التصادم أصغر من الطاقة قبل التصادم. يمكن حساب مقدار النقص في الطاقة الحركية من خلال طرح الطاقة النهائية من الطاقة الابتدائية.
الطاقة الحركية الابتدائية:
$$
K_{\text{قبل}} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2
$$
الطاقة الحركية النهائية بعد أن يتحرك الجسمان معًا بسرعة $v$:
$$
K_{\text{بعد}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2
$$
بالتعويض عن $v$ من معادلة الزخم، يمكن الحصول على صيغة عامة لمقدار الطاقة الحركية المفقودة $\Delta K$ في تصادم غير مرن تمامًا في بعد واحد:
$$
\Delta K = K_{\text{قبل}} - K_{\text{بعد}}
= \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (v_1 - v_2)^2
$$
هذه الكمية دائمًا موجبة أو صفر، ولا تساوي صفرًا إلا إذا كانت السرعتان الابتدائيتان متساويتين أي لا يوجد تصادم فعلي. نلاحظ أن مقدار الفقدان يعتمد على الفرق في السرعات النسبي $v_1 - v_2$ وعلى حاصل ضرب الكتلتين.
مثال عددي مبسط
لتكن $m_1 = 2\,\text{kg}$ تسير بسرعة $v_1 = 4\,\text{m/s}$، و $m_2 = 1\,\text{kg}$ ساكنة $v_2 = 0$، يحدث تصادم غير مرن تمامًا ويلتصق الجسمان.
أولًا نحسب السرعة المشتركة:
$$
v = \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot 0}{2 + 1} = \frac{8}{3} \,\text{m/s}
$$
الطاقة الحركية قبل التصادم:
$$
K_{\text{قبل}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4^2 = 16\,\text{J}
$$
الطاقة بعد التصادم:
$$
K_{\text{بعد}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \left(\frac{8}{3}\right)^2
= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{64}{9}
= \frac{32}{3} \approx 10.67\,\text{J}
$$
فقدان الطاقة الحركية:
$$
\Delta K = 16 - \frac{32}{3} = \frac{16}{3} \approx 5.33\,\text{J}
$$
هذه الطاقة تحولت إلى تشوه أو حرارة أو صوت أثناء التصادم.
معامل الارتداد في التصادمات غير المرنة
تم التطرق لمعامل الارتداد في التصادمات عمومًا في موضع آخر، لكن في التصادمات غير المرنة يأخذ معامل الارتداد قيمًا بين الصفر وواحد.
يعرف معامل الارتداد $e$ في بعد واحد بالعلاقة:
$$
e = \frac{\text{سرعة التباعد النسبية بعد التصادم}}{\text{سرعة الاقتراب النسبية قبل التصادم}}
= \frac{|v_1' - v_2'|}{|v_1 - v_2|}
$$
حيث $v_1', v_2'$ السرعتان بعد التصادم، و $v_1, v_2$ قبله. في حالة:
- التصادم المرن: $e = 1$
- التصادم غير المرن تمامًا: $e = 0$ لأن الجسمين يلتصقان فيتحركان بسرعة واحدة
- التصادمات غير المرنة العامة: $0 < e < 1$
كلما كان $e$ أصغر كان الفقد في الطاقة الحركية أكبر، وكانت درجة عدم المرونة أكبر.
التصادمات غير المرنة في بعد واحد
في بعد واحد، إذا لم يكن التصادم مرنًا، وكان لدينا معامل ارتداد $e$ معلوم، فإن مسألة إيجاد السرعات بعد التصادم تعتمد على معادلتين أساسيتين:
معادلة حفظ الزخم:
$$
m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'
$$
ومعادلة معامل الارتداد:
$$
e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}
$$
(مع اختيار الإشارة بحيث يكون البسط والمقام متسقين مع اتجاه السرعة الموجب.)
باستخدام هاتين المعادلتين يمكن حل السرعتين $v_1', v_2'$ لأي تصادم غير مرن في بعد واحد, طالما نعرف القيم الابتدائية ومعامل الارتداد.
مثال رمزي على استخدام معامل الارتداد
لنفرض أن جسمين $m_1, m_2$ يتحركان على خط مستقيم بسرعتين ابتدائيتين $v_1, v_2$. بعد التصادم تكون سرعتهما $v_1', v_2'$، ومعامل الارتداد $e$ معلوم بين 0 و 1.
من معادلة الزخم:
$$
m_1 (v_1 - v_1') = m_2 (v_2' - v_2)
$$
ومن تعريف معامل الارتداد:
$$
v_2' - v_1' = e (v_1 - v_2)
$$
بحل هاتين المعادلتين نحصل على تعابير $v_1', v_2'$ بدلالة $m_1, m_2, v_1, v_2, e$. عندما نضع $e = 0$ نحصل على حالة الالتصاق، وعندما نضع $e = 1$ نحصل على حالة التصادم المرن.
التصادمات غير المرنة في بعدين
في بعدين أو ثلاثة أبعاد تبقى الفكرة الأساسية كما هي، يُحفظ الزخم الخطي متجهًا، بينما الطاقة الحركية لا تُحفظ. لكن حل المسألة يحتاج عادة إلى تحليل المتجهات في مكونات.
في تصادم غير مرن تمامًا في بعدين، إذا التصق الجسمان بعد التصادم وتحركا معًا بسرعة متجهة $\vec v$، فإن حفظ الزخم يعطي:
$$
\vec p_{\text{قبل}} = \vec p_{\text{بعد}}
\quad \Rightarrow \quad
m_1 \vec v_1 + m_2 \vec v_2 = (m_1 + m_2) \vec v
$$
أي أن:
$$
\vec v = \frac{m_1 \vec v_1 + m_2 \vec v_2}{m_1 + m_2}
$$
ويمكن تحليل هذه المعادلة على المحاور، فيكون لكل مركبة علاقة مماثلة. بعد تحديد $\vec v$ يمكن مقارنة الطاقة الحركية قبل وبعد لتحديد مقدار الفقدان.
في التصادمات غير المرنة غير التامة في بعدين، لا يلتصق الجسمان وقد يتغير اتجاه السرعات بعد التصادم، ولكن العلاقات المستخدمة تعتمد دائمًا على:
- حفظ متجه الزخم
- تعريف معامل الارتداد على طول خط التصادم فقط
أما المركبات العمودية على خط التصادم فيمكن أن تبقى محفوظة أو تتغير وفق طبيعة السطوح القوى الداخلية، وهذا يتجاوز ما نحتاجه هنا للمستوى التمهيدي.
تفسير فيزيائي لفقدان الطاقة في التصادم غير المرن
في التصادم المرن تنتقل الطاقة الحركية بين الأجسام أشبه بنابض مثالي يخزن الطاقة لحظيًا ثم يعيدها بالكامل. في التصادم غير المرن، لا يكون النابض مثاليًا، بل يدخل في الصورة تشوه دائم أو احتكاك داخلي أو انزلاق على السطح.
يمكن تصور أن جزءًا من الطاقة الحركية يتحول أثناء التصادم إلى:
- طاقة مرونية داخلية مؤقتة، ثم تتبدد إلى حرارة بسبب الاحتكاك المجهري بين جزيئات الجسم
- حرارة واضحة، فالأجسام قد تسخن قليلًا بعد التصادم
- صوت، إذ تحمل الموجات الصوتية جزءًا من الطاقة بعيدًا عن الجملة
- تشوه دائم في شكل الأجسام، كما في انبعاج هيكل سيارة بعد حادث
رغم ذلك، يبقى الزخم محفوظًا لأن القوى المتبادلة بين الأجسام أثناء التصادم داخلية ضمن الجملة، ولا توجد قوة خارجية صافية كبيرة خلال زمن التصادم القصير. لذا يكون فقدان الطاقة الحركية مؤشرًا على تحوّل الطاقة بين أشكال مختلفة، لا على كسر لقوانين الحفظ العامة للطاقة.
أمثلة في الحياة اليومية والتطبيقات
التصادمات غير المرنة موجودة في كل مكان. عندما تسقط قطعة طين على الأرض وتلتصق بها تقريبًا، يكون التصادم غير مرن تمامًا تقريبًا. الكرة التي لا ترتد إلى نفس الارتفاع بعد سقوطها تخضع لتصادم غير مرن مع الأرض، حيث يكون معامل الارتداد أقل من الواحد. عندما تصطدم سيارة بحاجز وتتوقف أو تنحرف بسرعة أقل، فإن جزءًا كبيرًا من الطاقة الحركية يتحول إلى تشوه في الهيكل، وإلى حرارة وصوت، بينما يُحفظ الزخم إذا اعتبرنا السيارة والحاجز والأرض جملة واحدة واسعة.
في تصميم وسائل الأمان، مثل المصدات في السيارات أو مناطق تحطيم الطائرات، يُستفاد من التصادمات غير المرنة لامتصاص أكبر قدر من الطاقة الحركية في تشوهات مدروسة، حتى تقل القوى المؤثرة على الركاب. هذا الاستخدام يوضح أن فقدان الطاقة الحركية ليس دائمًا أمرًا سلبيًا، بل يمكن التحكم به لتقليل الأضرار على الكائنات الحية.
بهذا يصبح مفهوم التصادمات غير المرنة أداة لفهم الظواهر اليومية من جهة، وأساسًا عمليًا في هندسة الأمان والمواد من جهة أخرى.