Table of Contents
تمهيد
في هذا الفصل ننتقل من وصف الموجة بالكلام إلى وصفها رياضيًا. الفكرة الأساسية هي أن "دالة الموجة" تعطي قيمة الكمية المهتزّة عند كل نقطة في المكان وكل لحظة من الزمان. ثم نرى كيف أن هذه الدالة لا تكون عشوائية، بل تخضع لمعادلة عامة تسمى "معادلة الموجة".
ما هي دالة الموجة؟
عندما نقول "موجة" في حبل أو على سطح ماء أو موجة صوت، فإن هناك "كمية" تتغير مع المكان والزمان. قد تكون هذه الكمية:
- إزاحة نقطة من الحبل عن وضع التوازن.
- ارتفاع سطح الماء صعودًا وهبوطًا.
- ضغط الهواء في حالة الموجة الصوتية.
- شدة المجال الكهربائي في موجة كهرومغناطيسية.
كل هذه الحالات يمكن وصفها بدالة تعتمد على الإحداثيات المكانية والزمانية. في أبسط حالة لموجة تنتشر في بعد واحد على طول محور $x$ نكتب:
$$
y(x,t)
$$
حيث:
- $x$ يحدد موضع النقطة على الحبل أو الوسط.
- $t$ يحدد اللحظة الزمنية.
- $y(x,t)$ هي الإزاحة (أو الكمية التي تتذبذب) عند الموضع $x$ والزمن $t$.
بهذا تصبح الموجة "كائنًا رياضيًا" هو الدالة $y(x,t)$، وليس فقط شكلاً على الرسم.
مثال
تخيل حبلًا مشدودًا مثبتًا من أحد الطرفين. عند لحظة ما تضرب طرف الحبل فينشأ نبضة تنتشر على طول الحبل. يمكن أن نصف شكل هذه النبضة عند $t = 0$ بواسطة دالة مثل:
$$
y(x,0) =
\begin{cases}
A\left(1 - \dfrac{x^2}{a^2}\right) & \text{إذا } |x| \le a \\
0 & \text{إذا } |x| > a
\end{cases}
$$
هذه الدالة تعطي شكل "تلة" على الحبل. مع مرور الزمن، هذا الشكل نفسه يتحرك إلى اليمين أو اليسار. وصف هذه الحركة مع الزمن يكون عن طريق دالة موجة من الشكل $y(x,t)$ بدلًا من $y(x,0)$ فقط.
دالة الموجة في بعد واحد
عندما تنتشر الموجة على خط مستقيم، يكفي متغير مكاني واحد. من الأشكال الأساسية للموجة في بعد واحد "الموجة الجيبية" أو "الموجة المتناسقة" التي لها شكل جيب أو جيب تمام. الشكل العام لموجة جيبية تسير في اتجاه الموجب لمحور $x$ هو:
$$
y(x,t) = A \cos(kx - \omega t + \phi)
$$
حيث:
- $A$ السعة، أي القيمة العظمى للإزاحة.
- $k$ عدد الموجة، مرتبط بالطول الموجي بالعلاقة $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$.
- $\omega$ التردد الزاوي، مرتبط بالتردد بالعلاقة $\omega = 2\pi f$.
- $\phi$ طور ابتدائي يحدد "بداية" الموجة زمنًا أو مكانًا.
هذه الدالة تعطيك عند كل موضع $x$ وزمن $t$ قيمة الإزاحة $y$. إذا ثبّت $t$ وتغيّر $x$ تحصل على "الشكل المكاني" للموجة في لحظة معينة. وإذا ثبّت $x$ وتغيّر $t$ تحصل على حركة نقطة معينة مع الزمن.
مثال
لنفرض موجة على حبل بحيث:
- السعة $A = 0.02\ \text{m}$،
- الطول الموجي $\lambda = 0.50\ \text{m}$،
- التردد $f = 4.0\ \text{Hz}$،
- الطور الابتدائي $\phi = 0$.
يمكننا حينها كتابة دالة الموجة:
$$
y(x,t) = 0.02 \cos\left( \dfrac{2\pi}{0.50} x - 2\pi \cdot 4.0 \, t \right)
$$
أي:
$$
y(x,t) = 0.02 \cos\left( 4\pi x - 8\pi t \right)
$$
هذه الدالة تخبرك مثلًا بقيمة إزاحة النقطة عند $x = 0.10\ \text{m}$ في الزمن $t = 0.25\ \text{s}$ وذلك بالتعويض المباشر في الدالة.
أشكال مختلفة لدالة الموجة
دالة الموجة لا يجب أن تكون جيبية بالضرورة. هناك ثلاث حالات مهمة من حيث الشكل الرياضي:
موجة نبضيّة
تكون على شكل "كتلة" أو "حزمة" من الإزاحة تسير في الوسط من دون تكرار دوري منتظم. يمكن تمثيل نبضة تسير بسرعة ثابتة $v$ إلى اليمين بدالة من الشكل:
$$
y(x,t) = f(x - vt)
$$
حيث $f$ هي شكل النبضة عند الزمن $t = 0$. كلما زاد $t$ يتحول الشكل في اتجاه $x$ الموجب من دون أن يتغيّر شكله.
موجة ثابتة الشكل
أيضًا في حالة موجة جيبية تسير بسرعة ثابتة $v$ إلى اليمين يمكننا كتابتها على صورة:
$$
y(x,t) = f(x - vt)
$$
مع اختيار الدالة $f$ بحيث تكون دالة جيب أو جيب تمام. الفكرة العامة هي أن الحجة $x - vt$ تعني "نفس الشكل الذي كان عند $t = 0$ ينتقل لمسافة $vt$ بعد زمن $t$".
موجات في أبعاد أعلى
في بعدين أو ثلاثة أبعاد تصبح دالة الموجة معتمدة على متجه الموضع $\vec{r}$. في بعدين:
$$
\eta(x,y,t)
$$
وفي ثلاثة أبعاد:
$$
\psi(x,y,z,t) \quad \text{أو} \quad \psi(\vec{r},t)
$$
مثلًا سطح ماء في حوض كبير يمكن وصفه بدالة ارتفاع $\eta(x,y,t)$ لأن كل نقطة على السطح لها موضعان أفقيان وزمن.
من دالة الموجة إلى معادلة الموجة
دالة الموجة تصف "الحل". لكن ما الذي يحدد شكل هذه الدالة وما الذي يجعلها تنتشر بسرعة معينة؟ الجواب هو "معادلة الموجة". هذه المعادلة تربط بين مشتقات دالة الموجة بالنسبة للمكان والزمان وتعبر عن قوانين نيوتن والحركة في صورة تفاضلية.
الفكرة الجوهرية هي أن الإزاحة في نقطة ما تتأثر بالإزاحة في النقاط المجاورة لها. هذه العلاقة تؤدي إلى معادلة تحتوي مشتقات مكانية وزمانية من الدرجة الثانية.
معادلة الموجة في بعد واحد
أبسط صورة لمعادلة الموجة في بعد واحد لموجة تنتشر في وسط متجانس بسرعة ثابتة $v$ هي:
$$
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
$$
هذه المعادلة التفاضلية تقول:
- التغير "المكاني الحاد" لدالة الموجة $y(x,t)$ مرتبط بالتغير "الزمني الحاد" لها.
- $v$ هي سرعة انتشار الموجة في الوسط. تعتمد على خواص الوسط مثل الكثافة والشد في الحبل أو معامل المرونة.
معنى وجود مشتقات من الدرجة الثانية أن ما يهم ليس قيمة الإزاحة فقط، بل أيضًا "انحناء" الموجة مكانيًا وزمنيًا.
معنى المعادلة بصورة نوعية
إذا كانت النقطة عند $x$ تقع بين نقطتين أعلى منها وأدنى منها في الحبل، فإن تأثير شد الحبل يجعلها تسرع نحو وضع معين. هذه العلاقة بين القوى والتسارع، مع كون الشد متصلًا على طول الحبل، يؤدي رياضيًا إلى المعادلة السابقة.
لسنا هنا بصدد اشتقاق مفصل للمعادلة من قوانين نيوتن، لأن هذا يعالج في موضع آخر، لكن المهم هو:
- معادلة الموجة تفرض "قيدًا" على الدالة $y(x,t)$.
- ليست أي دالة تصلح دالة موجة في وسط معين، بل فقط الدوال التي تحقق هذه المعادلة.
الحلول العامة لمعادلة الموجة في بعد واحد
من المزايا الهامة لمعادلة الموجة في بعد واحد أن حلها العام يمكن كتابته بشكل بسيط:
$$
y(x,t) = f(x - vt) + g(x + vt)
$$
حيث:
- $f$ تمثل موجة تسير باتجاه الموجب لمحور $x$ بسرعة $v$.
- $g$ تمثل موجة تسير باتجاه السالب لمحور $x$ بسرعة $v$.
- يمكن أن تكون $f$ و $g$ أي دوال "كافية النعومة" تحقق الشروط الفيزيائية المناسبة.
بهذا يظهر أن كل حل لمعادلة الموجة في بعد واحد هو تركيب لموجتين أحاديتَي الانتشار، واحدة في كل اتجاه.
مثال
موجة جيبية تسير نحو اليمين:
$$
y_1(x,t) = A \cos(kx - \omega t)
$$
وموجة جيبية أخرى بنفس السعة والتردد ولكن تسير نحو اليسار:
$$
y_2(x,t) = A \cos(kx + \omega t)
$$
يمكن اعتبار $y_1$ مساوية لـ $f(x - vt)$ و $y_2$ مساوية لـ $g(x + vt)$ بعد اختيار علاقة مناسبة بين $k$ و $v$ و $\omega$.
العلاقة بين سرعة الموجة والمعاملات في الحلول الجيبية
إذا افترضنا حلًا جيبيًا من الشكل:
$$
y(x,t) = A \cos(kx - \omega t)
$$
ونعوّضه في معادلة الموجة:
$$
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
$$
نحصل على شرط ضروري لقبول هذا الحل هو:
$$
v = \frac{\omega}{k}
$$
هذه العلاقة جميلة لأنها تربط بين:
- كمية "زمانية" هي التردد الزاوي $\omega$.
- كمية "مكانية" هي عدد الموجة $k$.
- كمية "حركية" هي سرعة الانتشار $v$.
وباستخدام التعريفين $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$ و $\omega = 2\pi f$ نحصل على علاقة مألوفة:
$$
v = \lambda f
$$
وهي العلاقة الأساسية بين سرعة الموجة وطولها الموجي وترددها.
معادلة الموجة في أبعاد أعلى
في أبعاد أعلى، مثل انتشار موجة صوتية في الهواء ثلاثي الأبعاد أو موجات على سطح ماء ثنائي الأبعاد، تصبح معادلة الموجة:
$$
\nabla^2 \psi(\vec{r},t) = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi(\vec{r},t)}{\partial t^2}
$$
حيث:
- $\psi(\vec{r},t)$ دالة الموجة في الفضاء والزمان.
- $\nabla^2$ هي مؤثر لابلاس الذي يرمز إلى مجموع المشتقات المكانية الثانية. في ثلاثة أبعاد:
$$
\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}
+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$
هذه الصيغة العامة تنطبق على أنواع كثيرة من الموجات الميكانيكية وحتى الكهرومغناطيسية مع تعديلات مناسبة.
الشروط الحدّية وأهمية دالة الموجة
دالة الموجة ومعادلتها لا تكفيان وحدهما لوصف حالة فيزيائية محددة، بل تحتاج أيضًا إلى:
- شروط ابتدائية تعطي شكل الموجة وسرعتها عند $t = 0$ مثل:
$y(x,0)$ و $\dfrac{\partial y}{\partial t}(x,0)$. - شروط حدّية تعطي سلوك الموجة عند حدود الوسط مثل:
- تثبيت طرفي الحبل في نقاط معينة.
- امتصاص الموجة عند حافة معينة.
- انعكاس كامل أو جزئي عند حدود الوسط.
باستخدام معادلة الموجة مع هذه الشروط، يمكن تحديد دالة الموجة بشكل كامل.
مثال مبسط على دور الشروط الحدّية
حبل مشدود مثبت من الطرفين عند $x = 0$ و $x = L$. هذا يعني:
$$
y(0,t) = 0, \quad y(L,t) = 0
$$
هذه الشروط لا تسمح بأي دالة موجة، بل فقط بدوال معينة تحقق معادلة الموجة وتكون صفرية عند الطرفين. هذا يؤدي إلى أشكال خاصة تسمى "أنماط الاهتزاز" و"الموجات الواقفة" التي تتم دراستها في موضع آخر.
تلخيص
في هذا الفصل تعرفنا على:
- فكرة دالة الموجة $y(x,t)$ أو $\psi(\vec{r},t)$ التي تصف قيمة الكمية المهتزّة في كل مكان وكل زمان.
- كيف يمكن أن تكون دالة الموجة نبضة أو موجة جيبية أو أي شكل آخر ينتشر في الوسط.
- معادلة الموجة في بعد واحد:
$$
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
= \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
$$
- الشكل العام للحلول في بعد واحد على صورة $f(x - vt)$ و $g(x + vt)$ لموجتين تسيران في اتجاهين متعاكسين.
- العلاقة $v = \dfrac{\omega}{k}$ ومنها $v = \lambda f$ للموجات الجيبية.
- التعميم إلى أبعاد أعلى باستخدام مؤثر لابلاس في معادلة الموجة العامة.
بهذا يصبح لدينا وصف رياضي دقيق للموجة يمكّننا لاحقًا من دراسة ظواهر مثل الخفقات والموجات الواقفة وتأثير دوبلر باستخدام نفس الإطار الرياضي.