Table of Contents
تمهيد: من الموجة المنتقلة إلى الموجة الواقفة
عند دراسة الموجات في الفصل السابق عن "الموجات" رأيت أن الموجة العادية تنتقل من مكان إلى آخر حاملة الطاقة. في حبل مهتز مثلا ترى القمم تنتقل على طول الحبل مع الزمن. الموجة الواقفة حالة خاصة تبدو فيها الموجة وكأنها "متجمدة" في المكان, أي أن شكلها العام لا ينتقل على طول الوسط، بل يبقى ثابتًا بينما تتحرك نقاط الوسط صعودًا وهبوطًا فقط.
الموجات الواقفة تظهر بشكل طبيعي حين تنعكس الموجات في وسط محدود مثل حبل مثبت من طرفيه، أو عمود هواء في أنبوب، أو سطح ماء محصور في وعاء. هذه الظاهرة هي الأساس الفيزيائي للصوت في الآلات الموسيقية، وللكثير من الظواهر في البصريات، وحتى في فيزياء الجسيمات حين توصف كموجات.
نشوء الموجة الواقفة من تراكب موجتين
المفتاح لفهم الموجات الواقفة هو مبدأ التراكب الذي سبق أن تم عرضه في موضعه. في أبسط صورة للموجات الواقفة يمكن اعتبارها ناتجة عن تراكب موجتين جيبيتين لهما:
- نفس السعة
- نفس التردد
- نفس الطول الموجي
- تتحركان في اتجاهين متعاكسين
إذا كانت الموجة الأولى تتحرك في اتجاه المحور الموجب، والثانية في الاتجاه السالب، يمكن كتابة إشارتيهما على صورة موجتين جيبيتين:
$$
y_1(x,t) = A \sin(kx - \omega t)
$$
$$
y_2(x,t) = A \sin(kx + \omega t)
$$
حيث $A$ السعة، و $k$ العدد الموجي، و $\omega$ التردد الزاوي.
الموجة الكلية هي مجموع الموجتين حسب مبدأ التراكب:
$$
y(x,t) = y_1(x,t) + y_2(x,t)
$$
باستخدام خواص الدوال المثلثية يمكن جمع هاتين الموجتين وكتابتهما على صورة أبسط.
بتطبيق الهوية
$$
\sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)
\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)
$$
نحصل على معادلة الموجة الواقفة:
$$
y(x,t) = 2A \sin(kx)\cos(\omega t)
$$
هذه هي الصورة القياسية لمعادلة الموجة الواقفة على طول محور $x$.
هذه الصيغة توضح فرقًا مهمًا عن الموجة المنتقلة. التابع المكاني موجود في $\sin(kx)$ فقط، والتابع الزمني في $\cos(\omega t)$ فقط، فلا يوجد تركيب من الشكل $(kx \pm \omega t)$. لذلك لا يوجد "انتقال" للشكل على طول المحور، بل هو مضروب في عامل يتغير مع الزمن صعودًا وهبوطًا.
العقد والبطن: شكل الموجة الواقفة
معادلة الموجة الواقفة
$$
y(x,t) = 2A \sin(kx)\cos(\omega t)
$$
تسمح بفهم البنية الخاصة لهذه الموجة.
العقد
النقطة التي تبقى ساكنة دائمًا، أي أن إزاحتها تساوي الصفر لكل الأزمنة، تسمى "عقدة". رياضيًا هذه نقاط $x$ التي تحقق
$$
y(x,t) = 0 \quad \text{لكل } t
$$
من المعادلة نرى أن العامل الزمني $\cos(\omega t)$ لا يساوي الصفر لكل الأزمنة، لذلك الشرط الوحيد لكي يكون $y(x,t) = 0$ دائمًا هو
$$
\sin(kx) = 0
$$
وهذا يتحقق عندما
$$
kx = n\pi \quad \text{حيث } n \text{ عدد صحيح}
$$
أي أن مواضع العقد هي
$$
x_n = \frac{n\pi}{k} = n\frac{\lambda}{2}
$$
حيث $\lambda$ هو الطول الموجي.
المسافة بين عقدتين متتاليتين في موجة واقفة تساوي:
$$
\Delta x_{\text{بين العقد}} = \frac{\lambda}{2}
$$
إذًا العقد نقاط ثابتة على طول الوسط لا تتحرك، بينما حولها توجد مناطق تهتز بشدة.
البطون
البطن هو نقطة على الوسط تصل فيها سعة الاهتزاز إلى القيمة العظمى. للحصول على مواضع البطون ننظر إلى $\sin(kx)$ في معادلة الموجة. السعة المكانية هي $2A|\sin(kx)|$، وتكون عظمى عندما
$$
|\sin(kx)| = 1
$$
أي أن
$$
kx = \frac{\pi}{2} + n\pi
$$
فتصبح مواضع البطون
$$
x_\text{بطن} = \frac{\pi}{2k} + n\frac{\pi}{k} = \frac{\lambda}{4} + n\frac{\lambda}{2}
$$
إذن كل بطن يقع في منتصف المسافة بين عقدتين.
مثال تصوري
تخيل حبلًا مثبتًا من الطرفين، تولد عليه موجة واقفة. الطرفان المثبتان هما عقدتان، لا تتحركان. في منتصف الحبل تقريبًا ترى نقطة تهتز لأعلى وأسفل بأكبر إزاحة، هذه تقريبًا بطن الموجة الواقفة.
الحبل المثبت من الطرفين: الشروط الحدّية وأنماط الاهتزاز
من أكثر الأنظمة الكلاسيكية التي تظهر فيها الموجات الواقفة حبل مشدود بين نقطتين ثابتتين. الطرفان مثبتان، أي أن إزاحة الحبل عندهما دائمًا تساوي الصفر. هذا يفرض شروطًا حدية على معادلة الموجة الواقفة.
لنفترض أن طول الحبل $L$، وأن طرفيه عند $x = 0$ و $x = L$. يجب أن يتحقق:
$$
y(0,t) = 0, \quad y(L,t) = 0 \quad \text{لكل } t
$$
المعادلة العامة لموجة واقفة مناسبة للحبل المثبت من الطرفين هي
$$
y(x,t) = A \sin(kx)\cos(\omega t)
$$
الشرط عند $x = 0$ يتحقق تلقائيًا لأن $\sin(0) = 0$. الشرط عند $x = L$ يعطي
$$
\sin(kL) = 0
$$
لتتحقق هذه المعادلة يجب أن يكون
$$
kL = n\pi \quad \text{حيث } n = 1, 2, 3, \dots
$$
إذًا
$$
k_n = \frac{n\pi}{L}
$$
وبما أن
$$
k = \frac{2\pi}{\lambda}
$$
نجد أن الأطوال الموجية المسموح بها على هذا الحبل هي
$$
\lambda_n = \frac{2\pi}{k_n} = \frac{2L}{n}
$$
للحبل المثبت من الطرفين لا يُسمح إلا بالأطوال الموجية:
$$
\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad n = 1, 2, 3, \dots
$$
أي أن طول الحبل يحتوي عددًا صحيحًا من أنصاف الأطوال الموجية:
$$
L = n \frac{\lambda_n}{2}
$$
الكمية $n$ تسمى "رقم النمط" أو "رقم التوافق". كل قيمة مختلفة لـ $n$ تعطي شكلًا مختلفًا للموجة الواقفة على الحبل.
الترددات المنسجمة والتوافقيات
السرعة الموجية على الحبل $v$ تحددها خواص الحبل نفسه مثل الشد والكثافة الخطية، وهي ثابتة لكل الأنماط. لدينا:
$$
v = \frac{\omega}{k} = f \lambda
$$
باستخدام $\lambda_n = \dfrac{2L}{n}$ نحصل على الترددات المسموح بها:
$$
f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{nv}{2L}
$$
ترددات الموجة الواقفة على حبل مثبت من الطرفين هي:
$$
f_n = n f_1, \quad f_1 = \frac{v}{2L}
$$
حيث $f_1$ هو التردد الأساسي أو التوافق الأول، و $f_n$ هي التوافقيات العليا.
هذا يوضح أن ترددات الاهتزاز المسموح بها ليست عشوائية بل هي مضاعفات صحيحة لتردد أساسي واحد. هذه هي فكرة "التناغم" في الفيزياء، وهي ما يفسر أن الأوتار الموسيقية تعطي نغمات متناغمة.
مثال عددي بسيط
لو كان طول الحبل $L = 1 \text{ m}$، وسرعة الموجة عليه $v = 100 \text{ m/s}$ تكون:
التردد الأساسي:
$$
f_1 = \frac{100}{2 \times 1} = 50 \text{ Hz}
$$
التوافق الثاني:
$$
f_2 = 2 f_1 = 100 \text{ Hz}
$$
التوافق الثالث:
$$
f_3 = 3 f_1 = 150 \text{ Hz}
$$
وهكذا.
أنماط الاهتزاز: النمط الأساسي والتوافقيات
لكل قيمة من $n$ شكل معين للموجة الواقفة على الحبل، يسمى "نمط الاهتزاز".
النمط الأساسي
النمط الأساسي أو التوافق الأول هو حالة $n = 1$. في هذه الحالة
$$
\lambda_1 = 2L
$$
أي أن طول الحبل يحتوي نصف طول موجي واحد فقط. يكون شكل الحبل خطًا منحنيا بسيطًا له عقدتان فقط عند الطرفين، وبطن واحد في المنتصف. هذا النمط يعطي أقل تردد ممكن للحبل.
التوافق الثاني
عندما $n = 2$ نحصل على
$$
\lambda_2 = \frac{L}{1} = L
$$
أي أن طول الحبل يساوي طولًا موجيًا كاملًا. عدد العقد ثلاث، عند الطرفين وعقدة في المنتصف، وعدد البطون اثنان. هذا النمط يهتز بتردد ضعف التردد الأساسي.
التوافقيات الأعلى
كلما زاد $n$ زاد عدد العقد والبطون. بشكل عام:
- عدد العقد في الحبل المثبت من الطرفين هو $n + 1$
- عدد البطون هو $n$
زيادة $n$ تعني أن النمط يصبح "أكثر تعقيدًا" مكانيًا، مع أطوال موجية أقصر وترددات أعلى.
توزيع الطاقة في الموجة الواقفة
في الموجة المنتقلة تنتقل الطاقة مع الموجة على طول الوسط. في الموجة الواقفة لا تنتقل الطاقة على امتداد الوسط بالطريقة نفسها، بل تبقى محصورة في مناطق معينة، وتحدث عملية تبادل بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة في كل نقطة مع الزمن.
عند العقد، الإزاحة دائمًا مساوية للصفر تقريبًا، لكن السرعة قد تكون كبيرة عندما تمر الطاقة عبر العقد في الاتجاهين المتعاكسين في الزمن. عند البطون، تصل الإزاحة إلى القيم العظمى، وبالتالي تتغير الطاقة الكامنة والطاقات المرتبطة بالانحناء أو الاستطالة بأكبر مقدار.
النتيجة العامة أن الطاقة في موجة واقفة لا "تسافر" عبر الوسط من طرف إلى آخر، بل تتوزع في نمط ثابت مكانيًا، ويتذبذب شكل توزيعها بين طاقة حركية وطاقة كامنة داخل كل نصف دورة زمنية.
الأوتار والأنابيب: أنماط مختلفة للشروط الحدية
الفكرة الأساسية للموجة الواقفة لا تقتصر على الحبل المثبت من الطرفين. ما يحدد شكل الموجة الواقفة هو "الشروط الحدية" عند حدود الوسط. هناك حالات شائعة أخرى يظهر فيها اختلاف في توزيع العقد والبطون.
طرف ثابت وطرف حر
لو كان أحد طرفي الحبل مثبتًا بينما الطرف الآخر حر في الاهتزاز، يكون عند الطرف المثبت عقدة، وعند الطرف الحر بطن، لأن الإزاحة عند الطرف الحر تكون أكبر ما يمكن. هذا يغير الأطوال الموجية المسموح بها ويجعل الأطوال المسموح بها من النوع الذي يحوي ربع طول موجي وكسوره الفردية داخل طول الحبل.
أعمدة الهواء
في أعمدة الهواء داخل الأنابيب تحدث موجات واقفة طولية بدلًا من الموجات المستعرضة في الحبال. لكن الفكرة الرياضية نفسها تقريبًا، مع اختلاف في نوع الشرط الحدّي عند الأطراف:
- طرف مغلق يتصرف مثل عقدة للضغط، وبطن للإزاحة
- طرف مفتوح يتصرف مثل بطن للضغط، وعقدة للإزاحة
هذا يخلق أنماطًا مختلفة من الترددات المسموح بها في الأنابيب المفتوحة من الطرفين أو المغلقة من طرف واحد، وتُستغل هذه الأنماط في الآلات الموسيقية النفخية.
العلاقة مع الرنين والاهتزازات القسرية
لكي تتشكل موجة واقفة على وسط معين لا بد أن يكون تردد الإثارة مساويًا لأحد الترددات الطبيعية المسموح بها للوسط (أحد $f_n$). عندما يحدث ذلك، يستجيب النظام بقوة، وتزداد سعات الاهتزاز، وهي ظاهرة الرنين التي سيجري تناولها بتفصيل خاص في موضعها.
إذا كان التردد مختلفًا عن الترددات المسموح بها، لا يستقر على الوسط نمط واضح للموجة الواقفة، بل يظهر شكل معقد من التراكب قد يبدو مضطربًا أو متحركًا ولا تبقى عليه العقد والبطون في مواضع ثابتة.
تلخيص خصائص الموجة الواقفة
يمكن تلخيص أبرز الخصائص التي تميز الموجة الواقفة عن الموجة المنتقلة في نقاط مفهومية مترابطة:
الموجة الواقفة تنشأ من تراكب موجتين متساويتين في السعة والتردد، تتحركان في اتجاهين متعاكسين. معادلتها تأخذ عادة الشكل
$$
y(x,t) = A \sin(kx)\cos(\omega t)
$$
لا يوجد انتقال لشكل الموجة على طول الوسط. بدلاً من ذلك هناك نقاط ثابتة لا تتحرك تسمى عقدًا، ونقاط تهتز بأكبر سعة تسمى بطونًا، مع مسافة بين كل عقدتين متتاليتين تساوي نصف الطول الموجي. الشروط الحدية على الوسط مثل التثبيت عند الأطراف أو فتحها أو غلقها تحدد فقط أطوالًا موجية وترددات معينة يمكن أن توجد كموجات واقفة. هذه الترددات تشكل سلسلة من التوافقيات المرتبطة ببعضها عبر مضاعفات صحيحة لتردد أساسي واحد، وهو الأساس الفيزيائي للأنغام الموسيقية والرنين في الأنظمة الفيزيائية المختلفة.