Table of Contents
تمهيد
في هذا الفصل نركّز على ثلاث أفكار أساسية تصف حركة الجسم قبل أن نتحدث عن السرعة والتسارع في الفصول اللاحقة. هذه الأفكار هي: الموضع، والمسافة المقطوعة، والإزاحة. تبدو الكلمات قريبة في المعنى في اللغة اليومية، لكنها في الفيزياء لها معانٍ دقيقة ومختلفة، والتمييز بينها ضروري لفهم الحركة بشكل صحيح.
مفهوم الموضع
الموضع هو "مكان" الجسم في لحظة معيّنة، بالنسبة إلى نظام إحداثيات مرجعي تم اختياره مسبقًا. في الحياة اليومية نقول "السيارة عند الإشارة" أو "الكتاب على الطاولة". في الفيزياء نحتاج لوصف أدق، لذلك نستخدم الأعداد بدل الكلمات العامة.
في أبسط حالة، وهي الحركة على خط مستقيم، نمثّل الموضع بعدد واحد نرمز له غالبًا بـ $x$ إذا كان الخط أفقيًا، أو بـ $y$ إذا كان عموديًا. نختار نقطة على هذا الخط لتكون "الأصل" ونكتب إحداثي كل نقطة بالنسبة إلى هذا الأصل.
على سبيل المثال، إذا اخترنا نقطة معينة على طريق مستقيم لتكون عند $x = 0$ متر، فإن نقطة أخرى على يمينها قد تكون عند $x = 5$ متر، وأخرى على يسارها عند $x = -3$ متر. في هذه الحالة تصبح إحداثيات الموضع أعدادًا يمكن التعامل معها رياضيًا بسهولة.
في بعدين، كحركة جسم على سطح الطاولة، نستخدم زوجًا من الأعداد مثل $(x, y)$. وفي ثلاثة أبعاد، كحركة طائرة في الجو، نستخدم الثلاثية $(x, y, z)$. في كل الحالات، الموضع هو مجموعة أعداد تحدد مكان الجسم في الفضاء بالنسبة إلى نظام إحداثيات معيّن.
مثال بسيط
تخيل خطًا مستقيمًا يمثل طريقًا، وضعنا عند نقطة معينة لافتة نعتبرها الأصل $x = 0$. إذا وقفت عند هذه اللافتة، نقول إن موضعك $x = 0$ متر. إذا مشيت مترين إلى اليمين، يصبح موضعك $x = 2$ متر. إذا عدت مترًا واحدًا إلى اليسار، يصبح موضعك $x = 1$ متر. هنا الموضع يصف مكانك الحالي فقط، بغض النظر عن المسار الذي سلكته للوصول إليه.
المسافة المقطوعة
المسافة هي "طول المسار" الذي قطعه الجسم أثناء حركته، بغض النظر عن الاتجاه. هي كمية قياسية، أي يكفي عدد واحد مع وحدة قياس لوصفها، مثل "10 أمتار" أو "3 كيلومترات".
إذا تحرك الجسم من موضع إلى آخر على مسار منحني، تحسب المسافة بجمع أطوال الأجزاء الصغيرة التي يتكوّن منها المسار. في الحركة على خط مستقيم مع تغييرات في الاتجاه، نحسب المسافة بجمع أطوال كل جزء من الحركة مهما تغيّر الاتجاه.
في الحركة على خط مستقيم، إذا تحرك الجسم من $x = 0$ متر إلى $x = 5$ متر ثم رجع إلى $x = 2$ متر، فإن المسافة الكلية التي قطعها تساوي طول الجزء الأول زائد طول الجزء الثاني:
$$
\text{المسافة} = 5 + 3 = 8 \text{ أمتار}
$$
ولا نهتم بعلامات الإحداثيات الموجبة والسالبة عند حساب المسافة، لأن المسافة لا تحمل اتجاهًا.
مثال على المسافة
شخص يمشي في ممر مستقيم من باب الغرفة عند $x = 0$ متر إلى نهاية الممر عند $x = 10$ متر، ثم يعود إلى منتصف الممر عند $x = 5$ متر. المسافة الكلية التي قطعها هي:
من $0$ إلى $10$ متر: $10$ أمتار، ثم من $10$ إلى $5$ متر: $5$ أمتار، فيكون المجموع:
$$
\text{المسافة} = 10 + 5 = 15 \text{ متر}
$$
المسافة دائمًا عدد غير سالب. إما أن يكون الجسم لم يتحرك فتكون المسافة صفرًا، أو يكون قد تحرك فتكون المسافة موجبة.
الإزاحة كمتجه
الإزاحة تختلف عن المسافة. الإزاحة تصف "التغير في الموضع" من نقطة بداية إلى نقطة نهاية، مع اتجاه هذا التغير. في الحركة على خط مستقيم، يمكن التعبير عن الإزاحة بالفرق بين الموضع النهائي والموضع الابتدائي.
إذا بدأ الجسم عند موضع $x_\text{ابتدائي}$ ثم انتهى عند موضع $x_\text{نهائي}$، فإن الإزاحة $\Delta x$ تعطى بالعلاقة:
$$
\Delta x = x_\text{نهائي} - x_\text{ابتدائي}
$$
إذا كانت النتيجة موجبة فهذا يعني أن الجسم انتقل باتجاه اليمين (في النظام الذي اعتبرنا فيه الاتجاه الموجب نحو اليمين)، وإذا كانت سالبة فهذا يعني أنه انتقل نحو اليسار. إذا كانت النتيجة صفرًا فهذا يعني أنه عاد إلى موضعه الابتدائي، حتى لو قطع مسافة كبيرة أثناء حركته.
في بعد واحد يمكن أن نعبّر عن الإزاحة بعدد يحمل علامة، لكن في الأساس الإزاحة متجه، أي كمية لها مقدار واتجاه. في بعدين أو ثلاثة أبعاد نكتب الإزاحة على شكل فرق بين متجه الموضع النهائي ومتجه الموضع الابتدائي.
على سبيل المثال، إذا كان موضع جسم في لحظة ما:
$$
\vec{r}_1 = (x_1, y_1)
$$
ثم أصبح في لحظة أخرى:
$$
\vec{r}_2 = (x_2, y_2)
$$
فإن متجه الإزاحة هو:
$$
\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (x_2 - x_1,\, y_2 - y_1)
$$
مقدار الإزاحة هو طول هذا المتجه:
$$
|\Delta \vec{r}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
وهذا المقدار يساوي المسافة بين نقطة البداية ونقطة النهاية "بخط مستقيم"، وليس بالضرورة أن يساوي المسافة التي قطعها الجسم فعليًا إذا كان مساره منحنيًا.
مثال في بعدين
كرة تتحرك على سطح طاولة من الموضع $(1, 2)$ متر إلى الموضع $(4, 6)$ متر. متجه الإزاحة هو:
$$
\Delta \vec{r} = (4 - 1,\, 6 - 2) = (3, 4)
$$
مقدار هذه الإزاحة:
$$
|\Delta \vec{r}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ أمتار}
$$
حتى لو قطعت الكرة مسارًا منحنيًا أطول من ذلك، تبقى الإزاحة مجرد متجه من نقطة البداية إلى نقطة النهاية طوله 5 أمتار.
التمييز بين المسافة والإزاحة
الكثير من الأخطاء في الكينماتيكا تأتي من الخلط بين المسافة والإزاحة. كلاهما يقاس بوحدة الطول مثل المتر، لكنهما يصفان شيئًا مختلفًا.
المسافة تعتمد على كل تفاصيل المسار، وهي مجموع أطوال أجزاء المسار. الإزاحة لا تهتم بالمسار، بل تعتمد فقط على موضع البداية وموضع النهاية.
يمكن أن تكون المسافة مساوية لمقدار الإزاحة، أو أكبر منه، لكن لا يمكن أن تكون أقل من مقدار الإزاحة. تتساوى المسافة مع مقدار الإزاحة عندما يكون المسار خطًا مستقيمًا في اتجاه واحد دون رجوع. وتكون المسافة أكبر من مقدار الإزاحة في كل حالة يوجد فيها التفاف أو عودة للخلف أو مسار منحني.
أمثلة مقارنة
١. حركة على خط مستقيم مع رجوع
من $x = 0$ متر إلى $x = 10$ متر ثم العودة إلى $x = 4$ متر.
الإزاحة:
$$
\Delta x = 4 - 0 = 4 \text{ أمتار}
$$
المقدار $|\Delta x| = 4$ أمتار.
المسافة:
$$
\text{المسافة} = 10 + 6 = 16 \text{ متر}
$$
٢. دورة كاملة
شخص يركض حول مضمار دائري نصف قطره $R$ ويعود إلى نقطة البداية تمامًا.
الإزاحة متجه من نقطة البداية إلى نقطة النهاية. بما أنه عاد إلى نفس النقطة فالإزاحة:
$$
\Delta \vec{r} = \vec{0}
$$
أي أن مقدار الإزاحة صفر.
أما المسافة فهي محيط الدائرة:
$$
\text{المسافة} = 2\pi R
$$
قاعدة مهمة
لا يمكن أن تكون الإزاحة "أكبر" من المسافة. في أحسن الأحوال يساوي مقدار الإزاحة المسافة، وغالبًا تكون المسافة أكبر. إذا وجدت في مسألة أن مقدار الإزاحة أكبر من المسافة فهناك خطأ في الفهم أو الحساب.
تمثيل الموضع والإزاحة رياضيًا
في الكينماتيكا نعبر عن الموضع بدالة تعتمد على الزمن. في بعد واحد نكتب الموضع كدالة في الزمن $x(t)$. عند كل قيمة للزمن $t$ تعطينا هذه الدالة الموضع اللحظي للجسم.
إذا عرفنا الموضع عند زمنين مختلفين $t_1$ و $t_2$، مثلاً:
$$
x_1 = x(t_1),\quad x_2 = x(t_2)
$$
فيكون التغير في الموضع، أي الإزاحة خلال الفترة الزمنية من $t_1$ إلى $t_2$، هو:
$$
\Delta x = x_2 - x_1 = x(t_2) - x(t_1)
$$
في بعدين نستخدم متجه الموضع:
$$
\vec{r}(t) = (x(t), y(t))
$$
وتكون الإزاحة خلال الفترة نفسها:
$$
\Delta \vec{r} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)
$$
هذا الترميز هو الأساس الذي سنبني عليه التعريفات اللاحقة للسرعة والتسارع، حيث سننظر إلى "معدل تغير الموضع مع الزمن".
المسافة في الحركة العامة
في المسارات المنحنية، تصبح المسافة هي طول المسار الذي يقطعه الجسم. إذا كان مسار الحركة معروفًا كدالة في الزمن أو كمنحنى في الفضاء، يمكن في الرياضيات المتقدمة حساب المسافة عن طريق التكامل على طول المسار.
على خط مستقيم مع تغيّر في الاتجاه، يمكن التفكير في المسافة كالتالي: خلال كل فترة زمنية يكون فيها الجسم متجهًا في اتجاه معيّن، نحسب مقدار التغير في الموضع، ثم نجمع هذه المقادير بصرف النظر عن الإشارات. لذا، في صورة مبسطة، يمكن اعتبار المسافة في تلك الحالة "مجموع التغيرات المطلقة في الموضع" على فترات الحركة المختلفة.
تظهر المسافة عادة عندما نهتم بكمية السطح الذي قطعته سيارة، أو بعد مشي شخص في يوم معين، أو مقدار الطريق الذي قطعه الضوء في وسط معين، بينما تظهر الإزاحة عندما نهتم بربط نقطة بداية ونقطة نهاية في سياق قوانين الحركة.
اختيار نظام الإحداثيات وتأثيره
الموضع والإزاحة يعتمدان على نظام الإحداثيات المختار، أما المسافة فلا تعتمد على هذا الاختيار. إذا غيرنا موضع الأصل أو اتجاه المحور، فإن إحداثيات الموضع تتغير، وكذلك التعبير العددي عن الإزاحة، لكن الواقع الفيزيائي لا يتغير.
على سبيل المثال، إذا اخترنا الأصل عند $x = 0$ متر، فإن نقطة معينة قد تكون عند $x = 3$ متر. إذا نقلنا الأصل مترين إلى اليمين، تصبح نفس النقطة عند $x' = 1$ متر. تغيرت القيمة العددية للموضع، لكن المسافة الحقيقية بين النقطة والأصل السابق أو الحالي، وكذلك الإزاحة بين نقطتين ماديّتين في الفضاء، تبقى كما هي فيزيائيًا.
هذا يعلّمنا أن نميّز بين الكميات التي تعتمد على اختيار الإحداثيات، والكميات التي لها معنى فيزيائي مستقل. في الكينماتيكا، الإزاحة كمتجه لها معنى مستقل، أما مركبات هذا المتجه على محاور معينة فهي تعتمد على النظام المستخدم لوصف الفضاء.
متى نستخدم كل مفهوم؟
في المسائل الفيزيائية، لا نستخدم المسافة والإزاحة عشوائيًا، بل لكل منهما سياق يناسبه. إذا أردنا أن نحسب "طول الطريق" الذي تقطعه سيارة في رحلة، فنحن نتعامل مع المسافة. إذا أردنا أن نحسب "كم ابتعدت السيارة عن نقطة البداية" فنحن نتعامل مع الإزاحة.
فيما بعد، عند تعريف السرعة المتوسطة، سنرى أنها مرتبطة عادة بالإزاحة، بينما يمكن تعريف "سرعة متوسطة على أساس المسافة" في سياقات أخرى. كذلك، تعريف بعض الكميات في الديناميكا يعتمد على الموضع أو الإزاحة وليس على المسافة.
قاعدة استخدام
عند قراءة مسائل الحركة انتبه جيدًا للكلمات المستخدمة. "كم قطع من طريق" أو "المسافة المقطوعة" تشير إلى المسافة. "كم ابتعد عن نقطة البداية" أو "ما التغير في الموضع" تشير إلى الإزاحة. الخلط بينهما يؤدي إلى إجابات غير صحيحة حتى لو كانت الحسابات العددية سليمة.
خلاصة
الموضع يحدد مكان الجسم في لحظة معينة باستخدام نظام إحداثيات. المسافة هي طول المسار الذي قطعه الجسم بغض النظر عن الاتجاه وهي كمية قياسية. الإزاحة هي التغير في الموضع من نقطة بداية إلى نقطة نهاية وهي كمية متجهة لها مقدار واتجاه. هذه المفاهيم الثلاثة هي الأساس الذي ستُبنى عليه مفاهيم السرعة والتسارع والمعادلات العامة للحركة في الفصول التالية.