Table of Contents
تمهيد: الربط بين الشغل والطاقة والقدرة
في هذا الفصل نركّز على العلاقة بين مفهومين مهمين في الميكانيكا, الشغل الذي تناولناه في الفصل السابق ضمن هذا الباب, والقدرة التي تعبّر عن سرعة إنجاز هذا الشغل. الشغل يخبرنا "كم" تغيّرت الطاقة, أما القدرة فتركّز على "مدى سرعة" حدوث هذا التغيّر.
سيكون هدفنا أن نصوغ تعريفًا رياضيًا دقيقًا للقدرة, وأن نربطها بالشغل والطاقة الحركية والكمونة, مع أمثلة توضح كيف تُستخدم هذه المفاهيم في الحياة اليومية وفي التطبيقات الهندسية.
تعريف القدرة
القدرة في الفيزياء هي معدّل إنجاز الشغل, أي الشغل المبذول في وحدة الزمن. إذا أثّرَت قوة على جسم وأدّت إلى بذل شغل $W$ خلال زمن مقداره $\Delta t$, فإن متوسط القدرة يُكتب على الصورة:
$$
P_{\text{متوسّطة}} = \frac{W}{\Delta t}
$$
وإذا كان الشغل يتغير مع الزمن بصورة مستمرة, عندها يمكننا تعريف القدرة اللحظية على أنها مشتق الشغل بالنسبة للزمن:
$$
P(t) = \frac{dW}{dt}
$$
في هذا التعريف, $P(t)$ تمثّل القدرة عند لحظة زمنية معيّنة, وليس على فترة زمنية كاملة.
من المهم أن نلاحظ أنّ القدرة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة. إذا كانت القدرة موجبة فهذا يعني أن الجهاز أو القوة "تزود" الجسم بالطاقة. وإذا كانت سالبة فهذا يعني أن الجهاز "يسحب" الطاقة من الجسم, مثل قدرة قوة الاحتكاك التي تقلل من الطاقة الحركية.
وحدة قياس القدرة وعلاقتها بالوحدات الأخرى
في النظام الدولي للوحدات, تقاس القدرة بوحدة الواط, ورمزها $W$.
$$
1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}
$$
أي أن واحد واط يساوي واحد جول في كل ثانية. بما أن الجول نفسه يمكن كتابته من حيث الوحدات الأساسية:
$$
1\,\text{J} = 1\,\text{N·m} = 1\,\text{kg·m}^2/\text{s}^2
$$
فإن:
$$
1\,\text{W} = 1\,\text{J/s} = 1\,\text{kg·m}^2/\text{s}^3
$$
في الحياة العملية توجد وحدات أخرى للقدرة, أهمها:
- الحصان الميكانيكي, وغالبًا ما يُستخدم مع المحركات في السيارات والمضخات
$$
1\,\text{حصان} \approx 746\,\text{W}
$$
- في الكهرباء تستعمل نفس وحدة الواط, لكن أحيانًا نستخدم الكيلوواط $1\,\text{kW} = 1000\,\text{W}$ أو الميغـاواط للمحطات الكبيرة.
التمييز بين الشغل والقدرة مهم جدًا. مقدار الطاقة التي تستهلكها أداة كهربائية يعتمد على قدرتها وعلى الزمن الذي تعمل خلاله. إذا عمل جهاز بقدرة $P$ لمدة زمنية $\Delta t$, فإن الشغل أو الطاقة المستهلكة يساوي:
$$
W = P\,\Delta t
$$
وهذه العلاقة تُستخدم في حساب فواتير الكهرباء, مع استبدال القدرة بالـ "كيلوواط" والزمن بالساعة, ليتكوّن لدينا "كيلوواط ساعة" كوحدة لطاقة الاستهلاك الكهربائي.
القدرة الميكانيكية وقوة ثابتة
في كثير من المسائل الميكانيكية تكون لدينا قوة ثابتة تؤثّر على جسم يتحرك بسرعة معينة. من أجل ربط القدرة بالقوة والسرعة, نستفيد من تعريف الشغل التفاضلي.
إذا أثّرت قوة $\vec{F}$ على جسم وتحرك الجسم بإزاحة تفاضلية $d\vec{r}$ في زمن تفاضلي $dt$, فإن الشغل التفاضلي:
$$
dW = \vec{F} \cdot d\vec{r}
$$
وبقسمة على $dt$ نحصل على القدرة اللحظية:
$$
P = \frac{dW}{dt} = \frac{\vec{F} \cdot d\vec{r}}{dt}
$$
لكن $\dfrac{d\vec{r}}{dt}$ هي السرعة المتجهة $\vec{v}$, فيصبح لدينا:
$$
P = \vec{F} \cdot \vec{v}
$$
هذه صيغة عامة للقدرة عندما تؤثّر قوة $\vec{F}$ على جسم يتحرك بسرعة $\vec{v}$. من هذا التعريف نستنتج عدة حالات خاصة.
إذا كانت القوة موازية تمامًا للسرعة, يكون الضرب القياسي:
$$
\vec{F} \cdot \vec{v} = F\,v
$$
فتصبح القدرة:
$$
P = F\,v
$$
أمّا إذا كان بين متجه القوة ومتجه السرعة زاوية $\theta$, فإن:
$$
P = F\,v\cos\theta
$$
لأن الضرب القياسي بين متجهين يُكتب:
$$
\vec{F} \cdot \vec{v} = F\,v\cos\theta
$$
هذه الصيغة تُظهر أنّه مثل الشغل, فقط مركبة القوة الموازية للسرعة هي التي تساهم في القدرة. إذا كانت القوة عمودية على الحركة مثل قوة الشد في الحركة الدائرية المنتظمة, فإن $\cos\theta = 0$ وبالتالي القدرة الناتجة عن هذه القوة تساوي صفرًا, لأنها لا تبذل شغلاً.
مثال: جر عربة بسرعة ثابتة
عامل يسحب عربة أفقية بقوة مقدارها $F = 200\,\text{N}$ في اتجاه الحركة تمامًا. تتحرك العربة بسرعة ثابتة مقدارها $v = 1.5\,\text{m/s}$. القدرة التي يبذلها العامل هي:
$$
P = F\,v = 200 \times 1.5 = 300\,\text{W}
$$
إذا استمر في الجر بهذه السرعة لمدة $10\,\text{s}$, فإن الشغل المبذول:
$$
W = P\,\Delta t = 300 \times 10 = 3000\,\text{J}
$$
القدرة وربطها بالطاقة الحركية
بما أنّ الشغل يعبّر عن تغيّر في الطاقة, يمكننا النظر إلى القدرة باعتبارها معدّل تغير الطاقة مع الزمن. إذا كانت الطاقة الكلية أو نوع معيّن من الطاقة يرمز لها بـ $E$, عندها:
$$
P = \frac{dE}{dt}
$$
في حالة قوة محصلة تؤدي إلى تغير في الطاقة الحركية, يكون:
$$
P = \frac{dK}{dt}
$$
حيث $K$ الطاقة الحركية. هذا يعني أن القدرة التي تبذلها القوة المحصلة على جسم تساوي سرعة معدل تغير طاقته الحركية.
في التطبيقات العملية, مثل أداء محرك سيارة, نتحدث عن القدرة التي يقدّمها المحرك للسيارة. هذه القدرة تتحول في الأساس إلى زيادة في الطاقة الحركية للسيارة, وإلى طاقة أخرى مفقودة في الاحتكاك والهواء والحرارة.
مثال: سيارة تتسارع
افترض أن محرك سيارة يقدّم قدرة ثابتة مقدارها $P = 60\,\text{kW} = 60000\,\text{W}$ في فترة من الزمن. يمكننا القول إن الطاقة الحركية للسيارة تزداد بمعدل:
$$
\frac{dK}{dt} = 60000\,\text{J/s}
$$
أي أن كل ثانية تزداد طاقة السيارة الحركية بنحو ستين ألف جول, إذا أهملنا الخسائر.
القدرة في الحركة المنتظمة وغير المنتظمة
في حالة حركة بسرعة ثابتة وقوة ثابتة في اتجاه الحركة, تكون القدرة ثابتة ويمكن حسابها ببساطة من $P = F v$. إذا تغيرت السرعة مع الزمن تصبح القدرة متغيرة أيضاً, ولا بد من استخدام تعبير القدرة اللحظية.
افترض جسمًا يتحرك في خط مستقيم بحيث تتغير سرعته مع الزمن, والقوة المؤثرة في اتجاه الحركة قيمة ثابتة $F$. القدرة اللحظية تكون:
$$
P(t) = F\,v(t)
$$
وإذا أردنا إيجاد الشغل الكلي الذي بذلته هذه القوة في فترة من الزمن بين $t_1$ و $t_2$, يمكننا أن نكامل القدرة بالنسبة للزمن:
$$
W = \int_{t_1}^{t_2} P(t)\,dt
$$
وهذه الصيغة متسقة مع تعريف الشغل من حيث التكامل الخطي للقوة على المسار, حيث إننا فقط نستخدم متغيرًا مختلفًا للتكامل بحسب ما يناسب المسألة.
القدرة في السياقات اليومية والهندسية
في الأجهزة الكهربائية, مثل المصابيح والثلاجات والمحركات, تُكتب القدرة عادة على لوحة الجهاز. فإذا كُتب على جهاز أنه بقدرة $1000\,\text{W}$ فهذا يعني أنه عند عمله ضمن ظروفه الاسمية يسحب طاقة بمعدل $1000\,\text{J}$ كل ثانية.
الطاقة المستهلكة خلال مدة زمنية $\Delta t$ تُحسب بالعلاقة التي ذكرناها:
$$
W = P\,\Delta t
$$
في شركات الكهرباء تُستخدم وحدة الكيلوواط ساعة, وهي تعادل:
$$
1\,\text{kW·h} = 1000\,\text{W} \times 3600\,\text{s} = 3.6 \times 10^6\,\text{J}
$$
وبذلك يمكن تحويل ما يظهر في فاتورة الكهرباء إلى جول إذا لزم الأمر لأي حساب فيزيائي.
في المحركات الميكانيكية في السيارات مثلاً, عندما يقال إن محركًا قدرته $100\,\text{حصان}$, يمكننا تحويل هذه القدرة إلى واط لمقارنتها بأجهزة أخرى:
$$
P \approx 100 \times 746\,\text{W} = 74600\,\text{W}
$$
وهذا يوضح أن المحرك قادر, نظريًا, على بذل شغل مقداره $74600\,\text{J}$ في كل ثانية. كيفية توزّع هذه القدرة بين التغلب على الاحتكاك والهواء وزيادة سرعة السيارة مسألة ديناميكية تُدرس من خلال قوانين نيوتن والحركة.
مثال: حساب استهلاك طاقة جهاز كهربائي
سخان كهربائي قدرته $2000\,\text{W}$ يعمل لمدة نصف ساعة. ما مقدار الطاقة التي يستهلكها؟
الزمن بالنظام الدولي:
$$
\Delta t = 0.5\,\text{h} = 0.5 \times 3600 = 1800\,\text{s}
$$
الطاقة:
$$
W = P\,\Delta t = 2000 \times 1800 = 3.6 \times 10^6\,\text{J}
$$
ويمكن كتابتها أيضًا بوحدة الكيلوواط ساعة:
$$
W = 2\,\text{kW} \times 0.5\,\text{h} = 1\,\text{kW·h}
$$
القدرة المفيدة والقدرة المفقودة والكفاءة
ليس كل الشغل الذي يبذله محرك أو آلة يتحول إلى شغل مفيد في المهمة التي نريدها. جزء من الشغل يتحول إلى حرارة أو يُفقد في الاحتكاك أو الضوضاء. لذلك نفرّق بين:
- القدرة الكلية التي يقدّمها المصدر مثل المحرك أو مصدر الكهرباء
- القدرة المفيدة التي تتحول إلى شغل في المهمة المطلوبة مثل رفع حمولة أو تدوير عمود
- القدرة المفقودة التي تتحول إلى طاقة لا نستفيد منها مباشرة كالحرارة
تُستخدم الكفاءة لوصف مدى جودة تحويل القدرة الكلية إلى قدرة مفيدة. إذا رمزنا للقدرة المفيدة بـ $P_{\text{مفيدة}}$ والكلية بـ $P_{\text{كلية}}$, فإن:
$$
\eta = \frac{P_{\text{مفيدة}}}{P_{\text{كلية}}}
$$
وغالبًا تُعبّر الكفاءة كنسبة مئوية:
$$
\eta_{\%} = \eta \times 100\%
$$
الكفاءة مرتبطة بالشغل أيضًا, فمن ناحية أخرى يمكن كتابتها من حيث الطاقة أو الشغل بدل القدرة, لأن القدرة والشغل يرتبطان بالزمن بنفس الطريقة.
تفسير رسومي وحدسي لمفهوم القدرة
يمكن تخيّل القدرة كمنحدر منحنى الشغل مع الزمن. إذا رسمنا الشغل $W$ على المحور الرأسي والزمن $t$ على المحور الأفقي, فإن:
- متوسط القدرة بين لحظتين هو ميل الخط الواصل بين النقطتين الموافقتين على المنحنى
- القدرة اللحظية هي ميل مماس المنحنى عند نقطة محددة
إذا كان خط الشغل مستقيمًا ومتزايدًا بصورة منتظمة, فهذا يعني أن القدرة ثابتة. أمّا إذا بدأ خط الشغل في التسطّح, فهذا يشير إلى أن القدرة تنخفض مع الزمن. هذا التفسير البصري يساعد في ربط المشتقة بمفهوم القدرة كمعدل تغير.
ملخص العلاقات الأساسية
في هذا الفصل ركّزنا على ما يميز القدرة عن الشغل, وعلى العلاقة بينهما. يمكن تلخيص أهم العلاقات التي ستحتاج إليها في مسائل الميكانيكا كما يلي:
- القدرة المتوسطة:
$$
P_{\text{متوسّطة}} = \frac{W}{\Delta t}
$$ - القدرة اللحظية:
$$
P = \frac{dW}{dt} = \frac{dE}{dt}
$$ - القدرة لقوة تؤثر على جسم يتحرك بسرعة:
$$
P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F\,v\cos\theta
$$ - الشغل من القدرة:
$$
W = \int_{t_1}^{t_2} P(t)\,dt
$$ - وحدة القدرة:
$$
1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}, \quad 1\,\text{حصان} \approx 746\,\text{W}
$$ - الكفاءة من حيث القدرة:
$$
\eta = \frac{P_{\text{مفيدة}}}{P_{\text{كلية}}}
$$
هذه العلاقات تشكّل الأساس للتعامل مع المسائل العملية التي تربط بين الشغل والطاقة من جهة, وبين الزمن والأداء من جهة أخرى, سواء في الأجهزة البسيطة أو في الأنظمة الميكانيكية المعقدة.