Table of Contents
تمهيد إلى الكينماتيكا الزاوية
في الحركة الخطية ندرس كيف يتغير موضع جسم على خط مستقيم مع الزمن. في الحركة الدورانية ندرس كيف يتغير "الوضع الزاوي" لجسم يدور حول محور مع الزمن. الكينماتيكا الزاوية تهتم بوصف الحركة الدورانية من حيث الزاوية والزمن، دون الدخول في أسباب هذه الحركة أو القوى المؤدية لها، فهذا موضوع الديناميكا الدورانية.
الفكرة الأساسية هي أن نستبدل الكميات الخطية المعروفة مثل الإزاحة والسرعة والتسارع بكميات زاوية مناظرة، ونكتشف أن كثيرًا من المعادلات تأخذ شكلًا مشابهًا جدًا لما عرفناه في الحركة الخطية، مع استبدال المسافة بالزاوية، والسرعة بالسرعة الزاوية.
الزاوية كوصف للموقع في الحركة الدورانية
عند دراسة جسم يدور حول محور ثابت، لا نهتم عادة بكل نقطة في الجسم، بل نختار نقطة تمثل الجسم أو ندرس زاوية دوران الجسم ككل حول محوره. في هذه الحالة يصبح "الموضع" في الحركة الدورانية موضعًا زاويًا.
للتبسيط، تخيل نقطة مادية تتحرك على دائرة نصف قطرها $r$ حول محور ثابت. يمكننا وصف موضع هذه النقطة بثلاثة أوصاف مختلفة:
- إحداثيًا في المستوى
- بخطها القوسي $s$ على محيط الدائرة
- بزاويتها $\theta$ المقاسة من محور مرجعي ثابت
العلاقة بين هذه الكميات هي علاقة أساسية في الكينماتيكا الزاوية.
العلاقة بين الإزاحة الخطية $s$ والإزاحة الزاوية $\theta$:
$$
s = r \, \theta
$$
حيث:
$r$ نصف قطر المسار الدائري,
$\theta$ الإزاحة الزاوية بوحدة الراديان.
من هذه العلاقة نرى أن الزاوية $\theta$ هي الوصف "الأبسط" للحركة على دائرة، بينما يمكن استنتاج الإزاحة الخطية على المحيط $s$ من $\theta$ إذا عُرف نصف القطر $r$.
وحدة قياس الزاوية والراديان
في الكينماتيكا الزاوية نستخدم غالبًا وحدة الراديان بدلًا من الدرجة. السبب ليس مجرد تقليد، بل لأن استخدام الراديان يجعل العلاقات الرياضية أبسط بكثير، ولأن الراديان في الحقيقة كمية بلا أبعاد.
تعريف الراديان مرتبط بالعلاقة السابقة. إذا كان طول القوس $s$ مساويًا لنصف القطر $r$، فإن الزاوية المقابلة تعرّف بأنها:
$$
\theta = 1 \ \text{راديان}
$$
من هذا التعريف، وللدائرة كاملة:
$$
s_{\text{كامل}} = 2\pi r
$$
وبما أن $s = r\theta$ فهذا يعني أن:
$$
2\pi r = r \theta_{\text{كاملة}} \Rightarrow \theta_{\text{كاملة}} = 2\pi \ \text{راديان}
$$
وبالمقارنة مع $360^\circ$ نحصل على علاقات التحويل:
تحويل الوحدات بين الدرجة والراديان:
$$
180^\circ = \pi \ \text{راديان}
$$
$$
1^\circ = \frac{\pi}{180} \ \text{راديان}
,\quad
1 \ \text{راديان} = \frac{180}{\pi}^\circ
$$
العمل بالراديان يجعل العلاقة $s = r \theta$ صحيحة كما هي، من غير معاملات تحويل إضافية.
مثال:
نقطة تدور على دائرة نصف قطرها $r = 0.5 \ \text{m}$، وقطعت قوسًا مقداره $s = 1 \ \text{m}$. ما مقدار الإزاحة الزاوية بالراديان وبالدرجات؟
نستخدم:
$$
\theta = \frac{s}{r} = \frac{1}{0.5} = 2 \ \text{راديان}
$$
وبالدرجات:
$$
\theta = 2 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 114.6^\circ
$$
الموضع الزاوي
الموضع الزاوي هو النظير الدوراني للموضع الخطي. نختار محورًا مرجعيًا ثابتًا، ثم نقيس الزاوية بين هذا المحور وخط يصل محور الدوران بالنقطة التي ندرسها. نرمز للموضع الزاوي عادة بالرمز $\theta$.
يمكن أن يكون الموضع الزاوي:
- ثابتًا إذا كان الجسم لا يدور.
- متغيرًا مع الزمن إذا كان الجسم في حالة دوران.
وغالبًا ما نعبر عن اعتماد الزاوية على الزمن بدالة مثل:
$$
\theta(t)
$$
وهنا نبدأ في بناء الكينماتيكا الزاوية كما بنينا الكينماتيكا الخطية من قبل.
السرعة الزاوية المتوسطة والآنية
السرعة الزاوية هي النظير الدوراني للسرعة الخطية. هي تعبر عن معدل تغير الموضع الزاوي مع الزمن. هناك نوعان من المفاهيم المهمّة: السرعة الزاوية المتوسطة والسرعة الزاوية الآنية.
إذا تغيّرت زاوية الجسم من $\theta_1$ إلى $\theta_2$ خلال مدة زمنية من $t_1$ إلى $t_2$ فإن:
السرعة الزاوية المتوسطة:
$$
\omega_{\text{متوسط}} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{\theta_2 - \theta_1}{t_2 - t_1}
$$
أما السرعة الزاوية اللحظية أو الآنية فهي مشتقة الزاوية بالنسبة للزمن عندما تصبح الفترة الزمنية صغيرة جدًا:
السرعة الزاوية الآنية:
$$
\omega(t) = \frac{d\theta}{dt}
$$
وحدة قياس السرعة الزاوية هي الراديان لكل ثانية، أي $\text{rad/s}$، لكن غالبًا نكتبها فقط $1/\text{s}$ لأن الراديان كمية بلا أبعاد.
مثال:
جسم يدور بحيث أن موضعه الزاوي يعطى بالعلاقة:
$$
\theta(t) = 3 t^2
$$
حيث $\theta$ بوحدة الراديان و $t$ بالثواني.
السرعة الزاوية كدالة في الزمن هي:
$$
\omega(t) = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(3 t^2) = 6 t
$$
عند $t = 2 \ \text{s}$:
$$
\omega(2) = 6 \cdot 2 = 12 \ \text{rad/s}
$$
التسارع الزاوي
كما في الحركة الخطية، حيث نُعرّف التسارع على أنه معدل تغير السرعة مع الزمن، نُعرّف في الحركة الدورانية التسارع الزاوي على أنه معدل تغير السرعة الزاوية مع الزمن.
إذا تغيّرت السرعة الزاوية من $\omega_1$ إلى $\omega_2$ خلال زمن من $t_1$ إلى $t_2$، فإن:
التسارع الزاوي المتوسط:
$$
\alpha_{\text{متوسط}} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t_2 - t_1}
$$
أما التسارع الزاوي الآني فهو المشتقة الأولى للسرعة الزاوية أو المشتقة الثانية للموضع الزاوي:
التسارع الزاوي الآني:
$$
\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2 \theta}{dt^2}
$$
وحدته هي الراديان لكل ثانية مربعة، أي $\text{rad/s}^2$.
مثال:
جسم يبدأ من السكون، ويتزايد موضعه الزاوي وفق العلاقة:
$$
\theta(t) = 2 t^3
$$
السرعة الزاوية:
$$
\omega(t) = \frac{d\theta}{dt} = 6 t^2
$$
التسارع الزاوي:
$$
\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = 12 t
$$
عند $t = 1 \ \text{s}$:
$$
\omega(1) = 6 \cdot 1^2 = 6 \ \text{rad/s}
,
\quad
\alpha(1) = 12 \cdot 1 = 12 \ \text{rad/s}^2
$$
الصيغ الكينماتيكية للحركة الدورانية المنتظمة بالعجلة الثابتة
في حالة خاصة مهمة جدًا، يكون التسارع الزاوي ثابتًا مع الزمن. تسمى هذه الحالة بالحركة الدورانية بعجلة زاوية ثابتة. في هذه الحالة تأخذ العلاقات الشكل نفسه الذي عرفناه في الحركة الخطية بعجلة ثابتة.
إذا كان $\alpha$ ثابتًا، وبدأ الجسم بحركة زاوية ابتدائية $\theta_0$ وسرعة زاوية ابتدائية $\omega_0$ عند الزمن $t = 0$، فإن:
- تتغير السرعة الزاوية مع الزمن وفق علاقة خطية
- تتغير الزاوية مع الزمن وفق علاقة تربيعية
معادلات الحركة الدورانية بعجلة زاوية ثابتة:
- السرعة الزاوية:
$$
\omega = \omega_0 + \alpha t
$$ - الموضع الزاوي:
$$
\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2
$$ - العلاقة بين $\omega$ و $\theta$ دون ظهور الزمن:
$$
\omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha (\theta - \theta_0)
$$
هذه المعادلات صالحة فقط عندما يكون التسارع الزاوي ثابتًا ولا يتغير مع الزمن.
مثال:
قرص يبدأ من السكون، أي $\omega_0 = 0$، عند $\theta_0 = 0$، ويتعرض لتسارع زاوي ثابت مقداره:
$$
\alpha = 4 \ \text{rad/s}^2
$$
أوجد:
- السرعة الزاوية بعد $t = 3 \ \text{s}$
- الإزاحة الزاوية خلال هذه الفترة
الحل: - باستخدام:
$$
\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + 4 \cdot 3 = 12 \ \text{rad/s}
$$ - باستخدام:
$$
\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3^2
$$
إذًا:
$$
\theta = 2 \cdot 9 = 18 \ \text{rad}
$$
الربط بين الكميات الخطية والزاوية على مسار دائري
في حركة نقطة على دائرة نصف قطرها $r$، يوجد ارتباط مباشر بين الكميات الزاوية والكميات الخطية على المحيط.
ذكرنا سابقًا أن:
$$
s = r \theta
$$
حيث $s$ الإزاحة الخطية على محيط الدائرة، $\theta$ الإزاحة الزاوية. بالاشتقاق بالنسبة للزمن نحصل على العلاقة بين السرعة الخطية $v$ والسرعة الزاوية $\omega$.
نشتق الطرفين:
$$
\frac{ds}{dt} = r \frac{d\theta}{dt}
$$
لكن:
$$
v = \frac{ds}{dt}
,
\quad
\omega = \frac{d\theta}{dt}
$$
إذن:
العلاقة بين السرعة الخطية والسرعة الزاوية في مسار دائري:
$$
v = r \omega
$$
وباستخدام اشتقاق إضافي نحصل على العلاقة بين التسارع الخطي المماسي $a_{\text{مماسي}}$ والتسارع الزاوي $\alpha$:
$$
a_{\text{مماسي}} = r \alpha
$$
ولكن تفاصيل مكوّنات التسارع في الحركة الدائرية ستناقش في مواضع أخرى، لذا نكتفي ببيان هذه العلاقة العامة.
مثال:
نقطة تتحرك على محيط دائرة نصف قطرها $r = 0.2 \ \text{m}$، بسرعة زاوية ثابتة:
$$
\omega = 10 \ \text{rad/s}
$$
السرعة الخطية:
$$
v = r \omega = 0.2 \cdot 10 = 2 \ \text{m/s}
$$
إذا بدأ القرص من السكون ثم اكتسب تسارعًا زاويًا ثابتًا:
$$
\alpha = 5 \ \text{rad/s}^2
$$
فإن التسارع الخطي المماسي للنقطة هو:
$$
a_{\text{مماسي}} = r \alpha = 0.2 \cdot 5 = 1 \ \text{m/s}^2
$$
الإزاحة الزاوية وخواصها
الإزاحة الزاوية $\Delta \theta$ هي الفرق بين الموضعين الزاويين الابتدائي والنهائي:
$$
\Delta \theta = \theta_{\text{نهائي}} - \theta_{\text{ابتدائي}}
$$
من خواص الإزاحة الزاوية المهمة:
- قد تكون موجبة أو سالبة تبعًا لاتجاه الدوران الذي نعدّه موجبًا.
- تعتمد على الموضع الزاوي الابتدائي والنهائي فقط، لا على المسار الوسيط أو عدد الدورات التي قام بها الجسم، ما لم نأخذ في الاعتبار عدد اللفات الكلي.
في كثير من التطبيقات نراقب عدد الدورات أو اللفات. إذا دار الجسم عددًا كليًا من اللفات $N$ بالإضافة إلى زاوية إضافية $\theta_{\text{جزئية}}$، يكون موضعه الكلي:
$$
\theta_{\text{كلي}} = 2\pi N + \theta_{\text{جزئية}}
$$
وهذا مفيد بصورة خاصة عندما نتعامل مع مصادر تدور بسرعة عالية مثل المحركات والأقراص.
السرعة الزاوية الثابتة والحركة الدائرية المنتظمة
حالة خاصة من الحركة الدورانية هي عندما تكون السرعة الزاوية ثابتة مع الزمن، أي:
$$
\omega(t) = \omega_0 = \text{ثابت}
$$
في هذه الحالة يكون التسارع الزاوي $\alpha = 0$، ويكون تطور الموضع الزاوي مع الزمن خطيًا:
الحركة الدورانية المنتظمة:
إذا كانت $\omega$ ثابتة، فإن:
$$
\theta(t) = \theta_0 + \omega t
$$
هذه الحالة تشبه الحركة الخطية المنتظمة، ولكن على دائرة. تسمى أحيانًا بالحركة الدائرية المنتظمة حين نركز على مسار النقطة على المحيط.
مثال:
قرص مدمج يدور بسرعة زاوية ثابتة $\omega = 30 \ \text{rad/s}$، وكان موضع نقطة على حافته عند $t = 0$ مساويًا للصفر.
بعد $t = 0.5 \ \text{s}$:
$$
\theta = \theta_0 + \omega t = 0 + 30 \cdot 0.5 = 15 \ \text{rad}
$$
عدد الدورات الكاملة التي قام بها:
$$
N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{15}{2\pi} \approx 2.39 \ \text{دورة}
$$
التمثيل البياني للحركة الدورانية
كما هو الحال في الحركة الخطية، يفيدنا كثيرًا أن ننظر إلى الرسوم البيانية للكميات الزاوية في مقابل الزمن. الرسم البياني لـ $\theta(t)$ و $\omega(t)$ و $\alpha(t)$ يساعدنا على فهم سلوك الحركة.
- إذا كان $\omega$ ثابتًا، فإن منحنى $\theta$ مقابل الزمن يكون خطًا مستقيمًا.
- إذا كان $\alpha$ ثابتًا، فإن منحنى $\omega$ مقابل الزمن يكون خطًا مستقيمًا، ومنحنى $\theta$ يكون قطعًا مكافئًا.
- يمكن تفسير ميل المنحنيات كما يلي:
ميل منحنى $\theta(t)$ يعطي $\omega$،
وميل منحنى $\omega(t)$ يعطي $\alpha$.
هذه التفسيرات البيانية مشابهة تمامًا لما نستخدمه في الحركة الخطية، مع استبدال الكميات الخطية بنظيراتها الزاوية.
مثال وصفي:
إذا رُسمت العلاقة بين $\omega$ و $t$ فكانت مستقيمة صاعدة تبدأ من $\omega_0 = 2 \ \text{rad/s}$ عند $t = 0$ وتصل إلى $\omega = 8 \ \text{rad/s}$ عند $t = 3 \ \text{s}$، فإن:
$$
\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2 \ \text{rad/s}^2
$$
أي أن التسارع الزاوي ثابت ويساوي $2 \ \text{rad/s}^2$.
الخلاصة المفاهيمية للكينماتيكا الزاوية
الكينماتيكا الزاوية تعطي لغة موحّدة لوصف كل حركة تتضمن دورانًا حول محور. المفاتيح الأساسية التي يجب تذكرها في هذا السياق هي:
- الموضع الزاوي $\theta$ بديل عن الموضع الخطي.
- السرعة الزاوية $\omega = d\theta/dt$ بديل عن السرعة الخطية.
- التسارع الزاوي $\alpha = d\omega/dt$ بديل عن التسارع الخطي.
- الكميات الخطية عند الحركة على دائرة ترتبط بالكميات الزاوية بعامل نصف القطر $r$ وفق العلاقات:
$$
s = r \theta
,
\quad
v = r \omega
,
\quad
a_{\text{مماسي}} = r \alpha
$$
- عندما يكون التسارع الزاوي ثابتًا نستطيع استخدام معادلات حركة تشبه تمامًا تلك التي في الحركة الخطية بعجلة ثابتة، مع استبدال $x$ بـ $\theta$، و $v$ بـ $\omega$، و $a$ بـ $\alpha$.
هذه الأدوات ستُستخدم لاحقًا في دراسة الديناميكا الدورانية، حيث سنربط بين هذه الكميات الزاوية وبين العزوم والقوى وطاقة الدوران.