Table of Contents
تمهيد: من الحركة الخطية إلى الحركة الزاوية
في الحركة الدورانية حول محور ثابت نحتاج إلى كميات تصف الحركة تشبه تلك التي في الحركة الخطية. في الحركة الخطية نصف الحركة بالموقع $x$ والسرعة $v$ والتسارع $a$. في الحركة الدورانية حول محور ثابت نستبدل هذه الكميات بنظائر زاوية هي الموضع الزاوي والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي. في هذا الفصل نركز على تعريف هذه الكميات وكيفية استخدامها دون الدخول في ديناميكا الدوران أو العزوم التي ستناقش في فصول لاحقة.
الموضع الزاوي
الموضع الزاوي يحدد وضع جسم يدور حول محور بالنسبة إلى اتجاه مرجعي ثابت. نتخيل ساعة حائط حيث يشير عقرب الدقائق إلى زاوية معينة بالنسبة إلى خط ثابت مثلا الخط الرأسي للأعلى. هذه الزاوية هي الموضع الزاوي للعقرب.
يمكن قياس الموضع الزاوي بوحدات مختلفة مثل الدرجة أو الراديان. في الميكانيكا نستخدم غالبا الراديان لسهولة إدخاله في المعادلات.
إذا كان لدينا نقطة تتحرك على دائرة نصف قطرها $r$ وقطعت قوسا طوله $s$ فإن الموضع الزاوي $\theta$ يقاس من موضع مرجعي على الدائرة ويعطى بالعلاقة
$$
\theta = \frac{s}{r}
$$
هنا $\theta$ بالـراديان و $s$ بطول القوس و $r$ نصف القطر. من هذه العلاقة نرى أن الراديان وحدة لا بعدية لأنها نسبة بين طولين.
من المهم التمييز بين الموضع الزاوي المطلق والموضع الزاوي النسبي. الموضع الزاوي المطلق يعرف بالنسبة إلى محور مرجعي ثابت مثل المحور $x$ الموجب في مستوى. أما الموضع الزاوي النسبي فيقاس بالنسبة إلى موضع زاوي آخر مثل زاوية جسم بالنسبة إلى جسم آخر.
كما نميز بين الموضع الزاوي اللحظي والموضع الزاوي المتوسط. اللحظي هو القيمة عند لحظة زمنية محددة بينما المتوسط يعبر عن تغير الزاوية خلال فترة زمنية.
الإزاحة الزاوية
عند دوران جسم حول محور فإن التغير في موضعه الزاوي يسمى إزاحة زاوية. إذا انتقل الجسم من زاوية $\theta_1$ إلى زاوية $\theta_2$ فإن الإزاحة الزاوية $\Delta \theta$ هي
$$
\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1
$$
تماثل هذه الكمية الإزاحة الخطية في الحركة المستقيمة. إذا دار الجسم عدة دورات كاملة فإن الإزاحة الزاوية يمكن أن تكون أكبر من $2\pi$ راديان لأننا نحسب مجموع جميع الدورات. في كثير من المسائل نميز بين الإزاحة الزاوية الكلية وبين مقدار الزاوية داخل دورة واحدة الذي يمكن أخذه ضمن المجال من $0$ إلى $2\pi$.
الإزاحة الزاوية في الحركة الدورانية حول محور ثابت كمية قياسية يمكن أن تكون موجبة أو سالبة حسب اتجاه الدوران المختار. في العادة نختار الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة موجبا والدوران مع عقارب الساعة سالبا لكن هذا مجرد اختيار اصطلاحي يجب الالتزام به داخل المسألة.
مثال توضيحي على الإزاحة الزاوية
لو بدأ عقرب الساعة من الموضع الرأسي للأعلى ثم دار نصف دورة حتى أصبح للأسفل فإن موضعه الزاوي تغير من $\theta_1 = 0$ إلى $\theta_2 = \pi$ راديان. الإزاحة الزاوية هي
$$
\Delta \theta = \pi - 0 = \pi \;\text{راديان}
$$
ولو استمر العقرب في الدوران نصف دورة أخرى حتى عاد إلى الأعلى فإن موضعه الزاوي النهائي
$$
\theta_3 = 2\pi
$$
والإزاحة الزاوية الكلية من البداية إلى العودة هي
$$
\Delta \theta_{\text{كلية}} = 2\pi - 0 = 2\pi \;\text{راديان}
$$
السرعة الزاوية المتوسطة واللحظية
كما في الحركة الخطية نعرف السرعة المتوسطة ثم ننتقل إلى السرعة اللحظية عبر قصر الفاصل الزمني.
السرعة الزاوية المتوسطة خلال فترة زمنية $\Delta t$ عندما تتغير الزاوية بمقدار $\Delta \theta$ تعرف كالتالي
$$
\omega_{\text{متوسط}} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}
$$
إذا كانت $\Delta \theta$ بوحدة الراديان و$\Delta t$ بالثواني فإن وحدة السرعة الزاوية هي راديان لكل ثانية وتكتب $\text{rad/s}$.
تشير إشارة السرعة الزاوية إلى اتجاه الدوران بحسب الاصطلاح المختار للإزاحة الزاوية. فإذا اخترنا الدوران عكس عقارب الساعة موجبا كانت السرعة الزاوية موجبة في هذا الاتجاه.
السرعة الزاوية اللحظية هي القيمة عند لحظة زمنية محددة وتعرف رياضيا باشتقاق الموضع الزاوي بالنسبة إلى الزمن
$$
\omega = \frac{d\theta}{dt}
$$
هذه العلاقة صحيحة حتى لو كانت السرعة الزاوية غير ثابتة مع الزمن.
عندما تكون السرعة الزاوية ثابتة أي $\omega = \text{ثابت}$ يمكننا الربط مباشرة بين الموضع الزاوي والزمن بالعلاقة
$$
\theta(t) = \theta_0 + \omega t
$$
حيث $\theta_0$ الموضع الزاوي الابتدائي عند $t = 0$. هذه العلاقة تمثل حركة دورانية منتظمة على غرار الحركة الخطية بسرعة ثابتة.
في كثير من التطبيقات الهندسية نستخدم معدل الدوران بوحدة عدد اللفات في الثانية أو في الدقيقة. هناك علاقة بسيطة بين السرعة الزاوية $\omega$ وعدد الدورات في الثانية $f$ تعرف بالتردد الزاوي
$$
\omega = 2\pi f
$$
إذا كان لدينا عدد اللفات في الدقيقة $\text{rpm}$ يمكن تحويله إلى $\text{rad/s}$ عبر الخطوتين التاليين أولا نحول إلى عدد اللفات في الثانية ثم نضرب في $2\pi$.
مثال على السرعة الزاوية المتوسطة
عجلة دراجة تكمل 30 دورة في 10 ثوان. الإزاحة الزاوية الكلية خلال هذه المدة هي
$$
\Delta \theta = 30 \times 2\pi = 60\pi \;\text{راديان}
$$
إذن السرعة الزاوية المتوسطة
$$
\omega_{\text{متوسط}} = \frac{60\pi}{10} = 6\pi \;\text{راديان/ث}
$$
التسارع الزاوي المتوسط واللحظي
إذا تغيرت السرعة الزاوية مع الزمن فإننا نقول إن الجسم يملك تسارعا زاويا. كما في الحركة الخطية نبدأ بالتسارع المتوسط ثم نعرف التسارع اللحظي بالحد.
التسارع الزاوي المتوسط خلال فترة زمنية $\Delta t$ عندما تتغير السرعة الزاوية من $\omega_1$ إلى $\omega_2$ هو
$$
\alpha_{\text{متوسط}} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{\omega_2 - \omega_1}{\Delta t}
$$
إذا كانت $\omega$ بوحدة راديان لكل ثانية فإن وحدة التسارع الزاوي هي راديان لكل ثانية مربعة وتكتب $\text{rad/s}^2$.
التسارع الزاوي اللحظي يعرف كاشتقاق السرعة الزاوية بالنسبة إلى الزمن أو كاشتقاق ثان للموضع الزاوي
$$
\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}
$$
مرة أخرى تعبر إشارة $\alpha$ عن اتجاه زيادة السرعة الزاوية. فإذا كانت $\omega$ موجبة وتتناقص مع الزمن يكون التسارع الزاوي سالبا.
في حالة التسارع الزاوي الثابت أي $\alpha = \text{ثابت}$ تصبح معادلات الحركة الدورانية شبيهة جدا بمعادلات الحركة الخطية بعجلة ثابتة. في هذه الحالة نحصل على العلاقات
$$
\omega(t) = \omega_0 + \alpha t
$$
$$
\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2
$$
$$
\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)
$$
حيث $\omega_0$ السرعة الزاوية الابتدائية و$\theta_0$ الموضع الزاوي الابتدائي.
مثال على التسارع الزاوي
قرص يبدأ من السكون ثم تدور سرعته الزاوية حتى تصل إلى $\omega = 20 \;\text{rad/s}$ خلال $4 \;\text{s}$. التسارع الزاوي المتوسط هو
$$
\alpha_{\text{متوسط}} = \frac{\omega - \omega_0}{\Delta t} = \frac{20 - 0}{4} = 5 \;\text{rad/s}^2
$$
إذا افترضنا أن التسارع الزاوي ثابت وأن القرص بدأ من $\theta_0 = 0$ فإن الإزاحة الزاوية خلال هذه المدة هي
$$
\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2}\times 5 \times 4^2 = 40 \;\text{راديان}
$$
العلاقة بين الكميات الخطية والزاوية
في الحركة حول دائرة نصف قطرها ثابت $r$ توجد علاقة مباشرة بين السرعة الزاوية والسرعة الخطية لنقطة تقع على المحيط. إذا تحركت النقطة بحيث تغير موضعها الزاوي بمعدل $\omega$ فإن سرعتها الخطية المماسية $v$ تكون
$$
v = \omega r
$$
وهذه العلاقة نتيجة مباشرة للعلاقة $s = r\theta$ لأنه باشتقاق الطرفين بالنسبة للزمن نحصل على
$$
\frac{ds}{dt} = r\frac{d\theta}{dt}
$$
أي
$$
v = r\omega
$$
وبالمثل فإن التسارع الخطي المماسي الذي يعبر عن تغير مقدار السرعة الخطية يرتبط بالتسارع الزاوي بالعلاقة
$$
a_{\text{مماسي}} = \alpha r
$$
هذه العلاقات توضح كيف يمكن ترجمة مسألة دورانية إلى مكافئ خطي عند الحاجة. لكن يجب الانتباه إلى أن للحركة الدائرية أيضا مركبة تسارع مركزية مرتبطة بالسرعة الزاوية سوف تناقش في فصل القوة المركزية.
مثال على الربط بين السرعة الزاوية والسرعة الخطية
إذا دارت نقطة على دائرة نصف قطرها $0.5 \;\text{m}$ بسرعة زاوية ثابتة $\omega = 8 \;\text{rad/s}$ فإن السرعة الخطية المماسية للنقطة هي
$$
v = \omega r = 8 \times 0.5 = 4 \;\text{m/s}
$$
ولو كان التسارع الزاوي $\alpha = 3 \;\text{rad/s}^2$ فإن التسارع الخطي المماسي
$$
a_{\text{مماسي}} = \alpha r = 3 \times 0.5 = 1.5 \;\text{m/s}^2
$$
الإزاحة والسرعة والتسارع الزاوي في الحركة العامة
عندما لا تكون السرعة الزاوية ولا التسارع الزاوي ثابتين مع الزمن يجب استخدام التعابير التفاضلية بدلا من المعادلات البسيطة ذات المعاملات الثابتة. في هذه الحالة نحسب الإزاحة الزاوية بالتكامل على السرعة الزاوية
$$
\theta(t) = \theta(t_0) + \int_{t_0}^{t} \omega(t') \, dt'
$$
ونحسب تغير السرعة الزاوية بالتكامل على التسارع الزاوي
$$
\omega(t) = \omega(t_0) + \int_{t_0}^{t} \alpha(t') \, dt'
$$
هذه الصياغة العامة ضرورية عندما يعتمد التسارع الزاوي على الزمن بشكل معقد أو على الموضع الزاوي نفسه. تفاصيل استخدام هذه التكاملات ستظهر بوضوح في مسائل تطبيقية وفي سياق الديناميكا الدورانية.
ملخص مفاهيمي
الموضع الزاوي يحدد وضع الجسم حول محور الدوران ويقاس عادة بالراديان. الإزاحة الزاوية هي التغير في هذا الموضع الزاوي ويمكن أن تشمل عددا من الدورات الكاملة. السرعة الزاوية تعبر عن معدل تغير الموضع الزاوي مع الزمن والتسارع الزاوي عن معدل تغير السرعة الزاوية.
الكميات الزاوية ترتبط بنظيراتها الخطية للعناصر التي تتحرك على مسار دائري نصف قطره ثابت بالعلاقات البسيطة $v = \omega r$ و $a_{\text{مماسي}} = \alpha r$. فهم هذه الكميات يمثل الأساس الرياضي للحركة الدورانية وسنستخدمها باستمرار في دراسة القوة المركزية والديناميكا الدورانية والزخم الزاوي في الفصول اللاحقة.