Table of Contents
تمهيد للصيغة الدورانية
في هذا الفصل ننتقل من قوانين نيوتن في صورتها الخطية إلى صورتها الدورانية. في الفصول السابقة من هذا الباب تعرّفت على العزم وعزم القصور الذاتي وطاقة الدوران، وهنا نربط هذه المفاهيم بقوانين نيوتن للحركة بشكل مباشر، كما فعلنا سابقا مع العلاقة بين القوة، الكتلة، والتسارع الخطي.
الهدف هنا أن نصل إلى معادلات على شاكلة $F = ma$ ولكن للحركة الدورانية، وأن نفهم متى تكون هذه المعادلات صحيحة وكيف نستخدمها في تحليل حركة الأجسام الدوّارة.
تشابه الحركة الخطية والدورانية
في الحركة الخطية نكتب قانون نيوتن الثاني في الصورة
$$
\sum \vec{F} = m \vec{a}.
$$
في الحركة الدورانية يوجد تشابه قوي للغاية، لكن كل كمية خطية تستبدل بنظيرتها الزاوية:
- القوة تقابلها عزم القوة.
- الكتلة يقابلها عزم القصور الذاتي.
- التسارع الخطي يقابله التسارع الزاوي.
- الزخم الخطي يقابله الزخم الزاوي.
في أبسط صورة للحركة حول محور ثابت نحصل على العلاقة الأساسية
$$
\sum \tau = I \alpha,
$$
حيث $\sum \tau$ محصلة العزوم المؤثرة حول المحور، و $I$ عزم القصور الذاتي حول هذا المحور، و $\alpha$ التسارع الزاوي.
العلاقة الأساسية في الصيغة الدورانية لقانون نيوتن الثاني حول محور ثابت:
$$
\sum \tau = I \alpha.
$$
هذه المعادلة هي قلب الديناميكا الدورانية، وهي النظير الدوراني للمعادلة $F = ma$ في الحركة الخطية.
اشتقاق مبسط للمعادلة $\sum \tau = I \alpha$
لفهم معنى هذه المعادلة نربطها مباشرة بقانون نيوتن الثاني للجسيمات، ولكن دون إعادة كل تفاصيل ديناميكا الأجسام الصلبة.
تخيّل جسما صلبا مكونا من عدد كبير من الجسيمات الصغيرة ذات كتل $m_i$ موضوعة على مسافات شعاعية $r_i$ من محور الدوران. لكل جسيم تسارع خطي $\vec{a}_i$، وتتأثر عليه قوة $\vec{F}_i$ بحيث يطبّق قانون نيوتن الثاني على كل جسيم على حدة:
$$
\vec{F}_i = m_i \vec{a}_i.
$$
نهتم فقط بالمركبة المماسية للتسارع لأنها المسؤولة عن تغيير السرعة الزاوية. هذه المركبة تساوي
$$
a_{t,i} = \alpha r_i,
$$
إذا كان الجسم يدور كجسم صلب حول محور ثابت بتسارع زاوي $\alpha$ نفسه لجميع نقاطه.
القوة المماسية على الجسيم $i$ هي
$$
F_{t,i} = m_i a_{t,i} = m_i \alpha r_i.
$$
العزم الذي تنتجه هذه القوة حول المحور هو
$$
\tau_i = F_{t,i} r_i = m_i \alpha r_i^2.
$$
إذا جمعنا عزوم كل الجسيمات نحصل على محصلة العزوم حول المحور
$$
\sum \tau = \sum_i \tau_i = \sum_i m_i \alpha r_i^2.
$$
بما أن $\alpha$ مشترك بين جميع الجسيمات في الجسم الصلب فيمكن سحبه خارج إشارة الجمع
$$
\sum \tau = \alpha \sum_i m_i r_i^2.
$$
الكمية $\sum_i m_i r_i^2$ هي بالضبط تعريف عزم القصور الذاتي $I$ للجسم بالنسبة لهذا المحور، لذلك نحصل على
$$
\sum \tau = I \alpha.
$$
هكذا تظهر الصيغة الدورانية مباشرة من قانون نيوتن للجسيمات مع افتراض الجسم الصلب ومحور دوران ثابت.
الصيغة المتجهية العامة لقانون نيوتن الدوراني
في الحالة العامة للدوارن في الفضاء وبالاعتماد على المتجهات نكتب قانون نيوتن الثاني في صورة زاوية باستعمال الزخم الزاوي $\vec{L}$ كما يلي
الصيغة المتجهية العامة لقانون نيوتن الثاني في الدوران:
$$
\sum \vec{\tau} = \frac{d \vec{L}}{dt}.
$$
هذه المعادلة هي النظير الدوراني للمعادلة المتجهية
$$
\sum \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt},
$$
حيث $\vec{p}$ الزخم الخطي.
في حالة دوران حول محور ثابت بحيث يتجه كل من العزم والزخم الزاوي على طول المحور نفسه، ويمكن اعتبار $I$ ثابتا، نحصل على الشكل الأبسط الذي رأيناه
$$
\sum \tau = I \alpha.
$$
أما إذا كان الجسم يدور حول محاور عديدة أو كان المحور نفسه يتغير، فإن العلاقة بين $\vec{L}$ و $\vec{\omega}$ تصبح أكثر تعقيدا، ويصبح من الضروري الرجوع إلى الصورة العامة $\sum \vec{\tau} = d\vec{L}/dt$ بدلا من الصيغة البسيطة.
الربط بين الحركة الخطية والدورانية
من المفيد النظر إلى جدول تشابه يربط بين كميات الحركة الخطية والدورانية، مع ترك التفاصيل الرياضية التابعة للفصول الأخرى في هذا الباب. هنا نركّز فقط على معادلات نيوتن ودورها.
في الحركة الخطية
$$
\sum \vec{F} = m \vec{a}, \quad \vec{p} = m \vec{v}.
$$
في الحركة الدورانية حول محور ثابت
$$
\sum \tau = I \alpha, \quad L = I \omega.
$$
بمعرفة أن $a_t = \alpha r$، يمكن الربط بين التسارع الخطي للنقطة على حافة الجسم والتسارع الزاوي للجسم كله. هذا الربط مهم عند وجود تلامس بين حركة انتقالية وحركة دورانية مثل حالة التدحرج والتي تدرس في موضع آخر.
مثال توضيحي على التشابه
إذا أثرت قوة ثابتة $F$ على جسم كتلته $m$ على خط مستقيم فإن التسارع هو $a = F/m$.
المقابل الدوراني, إذا أثرت مجموعة من القوى بحيث كانت محصلة العزوم حول محور دوران ثابتا $\tau_{\text{محصلة}}$ على جسم عزم قصوره $I$، فإن التسارع الزاوي هو
$$
\alpha = \frac{\tau_{\text{محصلة}}}{I}.
$$
في كلا الحالتين، التسارع يتناسب طرديا مع "المؤثّر" ويتناسب عكسيا مع "مقاومة الجسم للتغير في الحركة" وهي الكتلة في الحالة الخطية، وعزم القصور الذاتي في الحالة الدورانية.
اختيار المحور وتأثيره في المعادلات
في التطبيق العملي لصيغة نيوتن الدورانية هناك نقطة أساسية، وهي اختيار محور الدوران الذي نحسب حوله العزوم والزخم الزاوي. النتائج تعتمد على هذا الاختيار.
عند تحليل جسم يدور حول محور ثابت معلوم، يكون الطبيعي اختيار هذا المحور للحساب. عندها يصبح عزم القصور $I$ ثابتا، ويكون استخدام العلاقة $\sum \tau = I \alpha$ مريحا وبسيطا.
أما في الحالات التي يكون فيها الجسم حرا أو المحور غير ثابت أو غير مادي، يجب التعامل بحذر أكبر، وغالبا ما يكون من الأفضل الرجوع إلى الصورة العامة
$$
\sum \vec{\tau}_O = \frac{d \vec{L}_O}{dt},
$$
حيث تشير الدائرة الفرعية $O$ إلى أن العزوم والزخم الزاوي محسوبة حول نقطة مرجعية معينة $O$. اختيار هذه النقطة يوضح في التطبيقات عادة، وقد يسهّل أو يصعّب الحساب حسب طبيعة المسألة.
القوى الداخلية والخارجية في الصيغة الدورانية
كما في ديناميكا أنظمة الجسيمات الخطية، حيث لا تسهم القوى الداخلية في محصلة القوة الخارجية للجسم ككل، فإن كثيراً من القوى الداخلية في جسم صلب تشكل أزواجا متساوية ومتعاكسة ولا تسهم في محصلة العزم الخارجي.
ما يؤثر على حركة دوران الجسم هو محصلة العزوم الناتجة عن القوى الخارجية التي لا تتعادل فيما بينها حول المحور. هذه النقطة مرتبطة بشكل وثيق بقوانين الحفظ الدورانية التي تُناقش بتوسع عند دراسة الزخم الزاوي وحفظه.
أمثلة تطبيقية على قانون نيوتن الدوراني
فيما يلي بعض الأمثلة التطبيقية المختصرة تبيّن كيفية استخدام الصيغة الدورانية لقوانين نيوتن دون الخوض في تفاصيل الحالات التي تعالج في فصول لاحقة بشكل موسع.
مثال: قرص صلب يدور تحت تأثير عزم ثابت
قرص منتظم أفقي عزم قصوره حول محوره المركزي $I$، نؤثر عليه بعزم ثابت $\tau$ نتيجة قوة مطبّقة عند حافته بواسطة خيط. المطلوب إيجاد التسارع الزاوي.
نكتب قانون نيوتن الدوراني حول المحور المار بمركز القرص:
$$
\sum \tau = I \alpha.
$$
بما أن العزم المؤثر الوحيد هو $\tau$ وثابت، نحصل مباشرة على
$$
\alpha = \frac{\tau}{I}.
$$
إذا استمر العزم نفسه زمنا $t$ وكانت السرعة الزاوية الابتدائية $\omega_0$ فإن السرعة الزاوية بعد هذا الزمن تكون
$$
\omega = \omega_0 + \alpha t = \omega_0 + \frac{\tau}{I} t.
$$
هنا استخدمنا بشكل غير مفصل معادلات الحركة الدورانية المنتظمة التسارع التي تماثل معادلات الحركة الخطية.
مثال: علاقة القوة بالعزم في حركة دوران بسيطة
نعلّق ثقلا كتلته $m$ في خيط ملفوف حول محور أسطوانة نصف قطرها $R$ وعزم قصورها حول محورها $I$. عند ترك الثقل من السكون ينزل إلى أسفل ويسبب دوران الأسطوانة.
باستخدام قانون نيوتن الدوراني حول محور الأسطوانة، يكون العزم المؤثر بسبب شد الخيط $T$
$$
\tau = T R.
$$
باستخدام الصيغة الدورانية
$$
T R = I \alpha.
$$
ولأن التسارع الخطي للثقل $a$ مرتبط بالتسارع الزاوي للأسطوانة بالعلاقة
$$
a = \alpha R,
$$
يمكن دمج هذه العلاقة مع قانون نيوتن الخطي للثقل
$$
mg - T = m a,
$$
والعلاقة الدورانية السابقة للحصول على $a$ و $T$. الغرض هنا ليس حل المسألة بالكامل بل توضيح كيف تربط الصيغة الدورانية لقانون نيوتن بين القوى، العزوم، والتسارع الزاوي في نظام واحد.
العلاقة مع الزخم الزاوي وحفظه
الصيغة العامة
$$
\sum \vec{\tau} = \frac{d \vec{L}}{dt}
$$
توضح أن العزم الكلي يلعب دور "المحرّك" لتغير الزخم الزاوي. إذا كانت محصلة العزوم الخارجية حول نقطة معينة تساوي صفرا فإن
$$
\frac{d \vec{L}}{dt} = 0,
$$
ومن ثم يكون الزخم الزاوي محفوظا. هذه النتيجة هي الأساس في قانون حفظ الزخم الزاوي الذي يُفصّل في فصل مستقل، لكن من المهم هنا أن ندرك أن هذا القانون لا يزيد على كونه حالة خاصة من الصيغة الدورانية لقانون نيوتن الثاني عندما تكون محصلة العزم صفرا.
متى نستخدم أي صيغة؟
يمكن تلخيص الاستخدام العملي كالتالي من دون الدخول في تفاصيل الفصول الأخرى:
- عندما يكون لديك دوران حول محور ثابت، وعزم القصور الذاتي حول هذا المحور معروف أو يمكن حسابه، وتكون السرعة الزاوية موازية للمحور نفسه، فيكفي استخدام الصيغة البسيطة
$$
\sum \tau = I \alpha.
$$
- عندما يكون الجسم في حركة أكثر تعقيدا أو يتغير محور الدوران أو تتغير اتجاهات العزوم والزخم الزاوي مع الزمن بطريقة عامة، يكون من الضروري الرجوع إلى الصيغة المتجهية الأعم
$$
\sum \vec{\tau} = \frac{d \vec{L}}{dt}.
$$
في كلا الحالتين تبقى الفكرة الجوهرية واحدة، العزم هو المسؤول عن تغيير حالة الحركة الدورانية كما أن القوة مسؤولة عن تغيير حالة الحركة الانتقالية، والصيغة الدورانية لقوانين نيوتن هي الأداة الرياضية التي تعبّر عن هذه الفكرة بدقة.