Table of Contents
مدخل إلى السرعة والسرعة المتجهة
بعد أن تعرّفنا في علم الحركة على مفهوم الموضع والمسافة والإزاحة، ننتقل الآن لوصف كيفية تغيّر هذا الموضع مع الزمن. أداة الوصف الأساسية هنا هي السرعة، وبشكل أدق السرعة المتجهة. في هذا الفصل سنركّز على التمييز بين السرعة القياسية والسرعة المتجهة، وكيف نعرّف كلًا منهما رياضيًا، وكيف نستخدمهما لوصف الحركة في بعد واحد وفي أبعاد أعلى بشكل مبسّط.
السرعة المتوسطة والسرعة الآنية
عندما يتحرك جسم من موضع إلى آخر خلال فترة زمنية، يمكننا أن نسأل: "كم كانت سرعة الجسم في هذه الرحلة؟". هناك طريقتان أساسيتان للإجابة.
السرعة المتوسطة على مستوى بديهي هي "كم مسافة قطع في كل ثانية في المتوسط". رياضيًا، إذا قطع الجسم مسافة $d$ خلال زمن مقداره $\Delta t$، فإن السرعة المتوسطة القياسية تُعطى بالعلاقة
$$
v_{\text{متوسط}} = \frac{d}{\Delta t}
$$
هنا $v_{\text{متوسط}}$ كمية قياسية، أي ليس لها اتجاه، فقط مقدار.
أما السرعة الآنية فهي تصف سرعة الجسم في لحظة زمنية محددة، لا على فترة زمنية طويلة نسبيًا. على المستوى الرياضي، السرعة الآنية ترتبط بمعدل تغيّر المسافة أو الإزاحة عندما تصبح الفترة الزمنية صغيرة جدًا.
إذا رمزنا للإزاحة بـ $x(t)$ كدالة في الزمن، فإن السرعة الآنية في لحظة $t$ تُعرّف، بشكل تمهيدي، كحد السرعة المتوسطة عندما تصبح $\Delta t$ صغيرة جدًا
$$
v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}
$$
فكرة المشتقة ستُناقش بالتفصيل في فصل التفاضل والتكامل، لذلك سنكتفي هنا بالفكرة النوعية: السرعة الآنية هي "ميل" منحنى الموضع مع الزمن عند نقطة معيّنة.
مثال تمهيدي
افترض أن جسما يتحرك على خط مستقيم بحيث أن موضعه يُعطى بالعلاقة
$$x(t) = 2t$$
حيث $x$ بالأمتار و $t$ بالثواني. هنا نلاحظ أن الجسم يزداد موضعه بمقدار 2 متر كل ثانية، أي أن سرعته الآنية ثابتة وتساوي $2 \,\text{m/s}$ طوال الحركة.
الفرق بين السرعة القياسية والسرعة المتجهة
من المهم جدًا في الميكانيكا التمييز بين الكميات القياسية والكميات المتجهة. السرعة مثال ممتاز لهذا الفرق.
السرعة القياسية هي مقدار فقط، مثل "60 كم في الساعة". لا نهتم إلى أين يتجه الجسم، بل كم هي سرعة حركته. بينما السرعة المتجهة تخبرنا بالمقدار والاتجاه معًا، مثل "60 كم في الساعة نحو الشرق".
في بعد واحد، مثل الحركة على خط مستقيم، يمكننا تمثيل الاتجاه باستخدام إشارة موجبة أو سالبة. فإذا اخترنا "نحو اليمين" كاتجاه موجب، فإن السرعة المتجهة يمكن أن تكون
$$
v = +5 \,\text{m/s}
$$
للحركة نحو اليمين، و
$$
v = -5 \,\text{m/s}
$$
للحركة نحو اليسار. في الحالتين السرعة القياسية (المقدار) هي $5 \,\text{m/s}$، لكن السرعة المتجهة مختلفة لأنها تحمل معلومات عن الاتجاه.
قاعدة مهمة
لا تخلط بين السرعة القياسية والسرعة المتجهة.
المقدار وحده لا يكفي لوصف حركة الجسم في الميكانيكا، الاتجاه جزء أساسي من السرعة المتجهة.
تعريف السرعة المتوسطة المتجهة
في الكينماتيكا، الأهم من المسافة غالبًا هو الإزاحة، لأنها كمية متجهة. لهذا نعرّف السرعة المتوسطة المتجهة باستخدام الإزاحة لا المسافة.
إذا تحرك جسم من موضع ابتدائي $\vec{r}_1$ إلى موضع نهائي $\vec{r}_2$ خلال زمن $\Delta t = t_2 - t_1$، فإن الإزاحة هي
$$
\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1
$$
وتُعرّف السرعة المتوسطة المتجهة بالعلاقة
$$
\vec{v}_{\text{متوسط}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}
$$
لاحظ أن $\vec{v}_{\text{متوسط}}$ متجه، أي له مقدار واتجاه. الاتجاه هو نفسه اتجاه الإزاحة، والمقدار يساوي الإزاحة الكلية مقسومة على الزمن الكلي.
هنا نرى مباشرة الفرق بين استخدام الإزاحة والمسافة. يمكن أن تكون المسافة كبيرة جدًا، لكن الإزاحة صفرا، مثل حالة جسم يدور دورة كاملة ويعود إلى نقطة البداية. في هذه الحالة تكون
$$
\Delta \vec{r} = 0
\Rightarrow
\vec{v}_{\text{متوسط}} = 0
$$
مع أن السرعة القياسية المتوسطة خلال الدوران ليست صفرًا.
مثال توضيحي
شخص يركض حول مضمار دائري طوله $400 \,\text{m}$ ويكمل دورة كاملة في $100 \,\text{s}$.
المسافة الكلية المقطوعة $d = 400 \,\text{m}$، لذا السرعة القياسية المتوسطة هي
$$v_{\text{متوسط}} = \frac{400}{100} = 4 \,\text{m/s}$$
لكن الإزاحة تساوي صفرًا لأنه عاد إلى نفس النقطة، لذلك
$$\vec{v}_{\text{متوسط}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{0}{100} = 0$$
إذن يمكن لجسم أن يتحرك طوال الوقت ومع ذلك تكون سرعته المتجهة المتوسطة مساوية للصفر.
السرعة الآنية المتجهة
كما عرّفنا السرعة الآنية في بعد واحد، يمكن توسيع الفكرة لتعريف السرعة الآنية المتجهة في الفضاء. إذا كان موضع الجسم يُعطى بمتجه الموضع $\vec{r}(t)$، فإن السرعة الآنية المتجهة هي معدل تغيّر متجه الموضع مع الزمن
$$
\vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}
$$
وسنرى لاحقًا في فصل حساب المتجهات أن هذه هي المشتقة الزمنية لمتجه الموضع
$$
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}
$$
مرة أخرى، السرعة الآنية المتجهة تحمل معلومات عن اتجاه الحركة في كل لحظة. في الحركة المنحنية، قد يتغير اتجاه السرعة مع الزمن حتى لو كان مقدارها ثابتًا، وهذا له دور مهم عندما نصل إلى التسارع والقوة المركزية.
السرعة في بعد واحد
في الحركة في بعد واحد يكفي استخدام محور واحد، وليكن المحور $x$، لوصف الموضع والسرعة. موضع الجسم يُعطى بدالة $x(t)$، والسرعة المتجهة يمكن تمثيلها بقيمة واحدة مع إشارة
$$
v(t) = \frac{dx}{dt}
$$
السرعة الموجبة تعني حركة في الاتجاه الموجب للمحور، والسرعة السالبة تعني حركة في الاتجاه المعاكس. مقدار السرعة القياسية هو
$$
|v| = \text{السرعة القياسية}
$$
حتى لو كانت $v$ سالبة.
من الرسوم البيانية، إذا رسمنا الموضع $x$ بدلالة الزمن $t$، فإن ميل المماس لمنحنى $x(t)$ عند أي نقطة يعطي قيمة السرعة عند تلك اللحظة. ميل أكبر يعني سرعة أكبر في المقدار. إذا كان الميل موجبًا فالجسم يتحرك في الاتجاه الموجب، وإذا كان سالبًا فالجسم يتحرك في الاتجاه السالب.
مثال من الرسم البياني
تخيّل منحنى موضع خطيًا من النقطة $(0,0)$ إلى $(2,4)$ في مخطط $x$ مقابل $t$.
الميل يساوي
$$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2 \,\text{m/s}$$
إذن السرعة ثابتة وتساوي $2 \,\text{m/s}$.
إذا كان المنحنى أفقيًا تمامًا، أي $x(t)$ ثابت، فإن الميل صفر، وبالتالي السرعة صفر، أي الجسم ساكن.
السرعة في بعدين بشكل مبسّط
في أبعاد أعلى يحتاج وصف الحركة إلى متجهات بشكل صريح. في بعدين، يمكن تمثيل موضع الجسم بالصيغة
$$
\vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i} + y(t)\,\hat{j}
$$
حيث $\hat{i}$ و $\hat{j}$ متجهان وحديان في اتجاهي المحورين $x$ و $y$. عندئذ تكون السرعة المتجهة
$$
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\,\hat{i} + \frac{dy}{dt}\,\hat{j}
$$
إذن السرعة المتجهة في بعدين لها مركبتان، سرعة على المحور $x$ وسرعة على المحور $y$. مقدار السرعة القياسية يساوي
$$
v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
$$
حيث
$$
v_x = \frac{dx}{dt}
\quad,\quad
v_y = \frac{dy}{dt}
$$
سيُناقش جبر المتجهات وتحليلها إلى مركبات بتفصيل في فصل الكميات القياسية والمتجهات، لذلك نكتفي هنا بالمبدأ: السرعة المتجهة في بعدين أو ثلاثة أبعاد هي متجه يمكن تحليله إلى مركبات على المحاور المختارة.
علاقة السرعة بالتسارع بشكل نوعي
التسارع سيُدرس كعنوان مستقل، لذلك لن ندخل في تفاصيله الرياضية هنا، لكن من المفيد فهم العلاقة النوعية بينهما. التسارع هو معدل تغيّر السرعة المتجهة مع الزمن.
هذا يعني أن تغيّر مقدار السرعة أو تغيّر اتجاهها أو كليهما يؤدي إلى وجود تسارع. حتى في حالة حركة بسرعة قياسية ثابتة على مسار دائري، يتغيّر اتجاه متجه السرعة باستمرار، لذلك يوجد تسارع مع أن مقدار السرعة لا يتغير.
تنبيه مهم
السرعة الثابتة قياسيًا لا تعني غياب التسارع دائمًا.
يمكن لجسم أن يتحرك بسرعة ثابتة على مسار منحن ويظل تحت تأثير تسارع لأن اتجاه متجه السرعة يتغير مع الزمن.
السرعة بالنسبة إلى إطار مرجعي معيّن
الحركة والسرعة تتعلّقان دائمًا بإطار مرجعي معيّن، وهو ما سيُتناول لاحقًا عند دراسة الحركة النسبية. هنا نذكر الفكرة بشكل بسيط: سرعة الجسم التي نقيسها تعتمد على من يراقب الحركة ومن أين يراقب.
إذا كنت داخل قطار يتحرك حركة منتظمة ومرّ شخص يجري في الممر، فإنك قد تقيس سرعته مثلاً $2 \,\text{m/s}$ بالنسبة إلى القطار. بينما يراه شخص واقف خارج القطار بسرعة مختلفة لأن سرعة الرجل تُضاف أو تُطرح إلى سرعة القطار بحسب الاتجاه.
تمثيل هذه العلاقات يُستخدم فيه جمع المتجهات، مثل
$$
\vec{v}_{\text{شخص بالنسبة للأرض}} = \vec{v}_{\text{شخص بالنسبة للقطار}} + \vec{v}_{\text{قطار بالنسبة للأرض}}
$$
تفاصيل هذه الفكرة وتعميمها ستُناقش في فصل الحركة النسبية، لكن من المهم من الآن أن نعي أن السرعة ليست "مطلقة" وإنما تُقاس دائمًا بالنسبة إلى إطار مرجعي محدد.
استخدام السرعة في نماذج الحركة البسيطة
في العديد من مسائل الميكانيكا، خاصة في المراحل الأولى، نفترض نماذج بسيطة للحركة مثل السرعة الثابتة أو السرعة التي تتغيّر خطيًا مع الزمن. مثال نموذجي هو الحركة بسرعة ثابتة
$$
v = \text{ثابت}
$$
في هذه الحالة، إذا كان موضع الجسم الابتدائي $x_0$ عند الزمن $t_0$، فإن موضعه عند زمن لاحق $t$ يُعطى بالعلاقة
$$
x(t) = x_0 + v (t - t_0)
$$
هذه العلاقة تُستخدم على نطاق واسع في المسائل البسيطة قبل إدخال التسارع والحركة بتسارع ثابت ومعادلتها العامة. لاحقًا، في فصل المعادلة العامة للحركة، سنستخدم السرعة كحلقة وسطى بين الموضع والتسارع لحل مسائل أكثر تعقيدًا.
مثال بسيط لحركة بسرعة ثابتة
سيارة تتحرك على طريق مستقيم بسرعة ثابتة قدرها $20 \,\text{m/s}$، وكانت عند اللحظة $t = 0$ عند الموضع $x_0 = 10 \,\text{m}$. موضعها عند الزمن $t$ هو
$$x(t) = 10 + 20t$$
عند $t = 3 \,\text{s}$
$$x(3) = 10 + 20 \times 3 = 70 \,\text{m}$$
أي أنها أصبحت على بعد 70 مترًا من نقطة المرجع التي اخترناها.
بهذا نكون قد رسّخنا مفهوم السرعة القياسية والسرعة المتجهة، والفروق الجوهرية بينهما، وكيفية تمثيل السرعة في بعد واحد وفي بعدين بشكل مبسّط، تمهيدًا لاستخدام هذه الأفكار في دراسة التسارع والمعادلة العامة للحركة وحركة المقذوفات والحركات الأكثر تعقيدًا لاحقًا.