Table of Contents
فكرة مبدأ التراكب في الكينماتيكا
مبدأ التراكب في سياق علم الحركة هو فكرة بسيطة لكنها قوية جدا. عندما نصف حركة جسم ما يمكن في كثير من الأحيان اعتبار أن هذه الحركة ناتجة عن أكثر من «حركة أبسط» تحدث في الوقت نفسه. مبدأ التراكب يقول إن الحركة الكلية للجسم يمكن أن تُكتب كمجموع هذه الحركات الأبسط، كل واحدة تُدرَس على حدة ثم تُجمَع في النهاية.
في هذا الفصل سنركّز على تراكب الحركات وليس على تراكب القوى أو الطاقات، فهذه سَتُدرَس في فصول أخرى. هنا نهتم بتراكب الكميات الكينماتيكية مثل الموضع، الإزاحة، السرعة، والتسارع المتجه.
قاعدة عامة
إذا أمكن وصف حركة جسم بمجموعة حركات مستقلة، وكان كل جزء من الحركة يمكن تمثيله بمتجه، فإن الحركة الكلية تساوي مجموع هذه المتجهات، بشرط أن يكون الزمن واحدا لكل الحركات.
التراكب والمتجهات في الحركة
في علم الحركة تمثَّل الكميات الأساسية متجهيا. الموضع يكتب عادة بصيغة متجهة مثل
$$
\vec{r}(t)
$$
والسرعة
$$
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}
$$
والتسارع
$$
\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}
$$
مبدأ التراكب يقول إنه إذا أمكن كتابة موضع جسم على شكل مجموع متجهين أو أكثر
$$
\vec{r}(t) = \vec{r}_1(t) + \vec{r}_2(t) + \cdots
$$
فإن السرعة والتسارع أيضا يتراكبان بجمع بسيط
$$
\vec{v}(t) = \vec{v}_1(t) + \vec{v}_2(t), \quad \vec{a}(t) = \vec{a}_1(t) + \vec{a}_2(t)
$$
حيث
$$
\vec{v}_i(t) = \frac{d\vec{r}_i}{dt}, \quad \vec{a}_i(t) = \frac{d\vec{v}_i}{dt}
$$
السبب في ذلك أن الاشتقاق عملية خطية, أي أن
$$
\frac{d}{dt}\big(\vec{r}_1 + \vec{r}_2\big) = \frac{d\vec{r}_1}{dt} + \frac{d\vec{r}_2}{dt}
$$
إذن تراكب الحركات في الكينماتيكا مبني على خطية الاشتقاق وعلى تمثيل الحركة بمتجهات.
تراكب الحركات في أبعاد مختلفة
من أشهر تطبيقات مبدأ التراكب تحليل حركة جسم في بعدين أو ثلاثة أبعاد إلى مركبات في اتجاهات متعامدة. مثلا في مستوٍ ثنائي البعد يمكن كتابة متجه الموضع على صورة
$$
\vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i} + y(t)\,\hat{j}
$$
حيث $\hat{i}$ و$\hat{j}$ متجهان وحديان ثابتان ومتعامدان.
يمكن اعتبار
$$
\vec{r}_x(t) = x(t)\,\hat{i}, \quad \vec{r}_y(t) = y(t)\,\hat{j}
$$
حركتين مستقلتين على المحورين، والحركة الحقيقية هي تراكبهما:
$$
\vec{r}(t) = \vec{r}_x(t) + \vec{r}_y(t)
$$
وبناء عليه
$$
\vec{v}(t) = \vec{v}_x(t) + \vec{v}_y(t), \quad \vec{a}(t) = \vec{a}_x(t) + \vec{a}_y(t)
$$
مع
$$
\vec{v}_x(t) = \dot{x}(t)\,\hat{i}, \quad \vec{v}_y(t) = \dot{y}(t)\,\hat{j}
$$
هذا الشكل من التراكب هو الأساس في دراسة حركات مثل الرمي الأفقي وحركة المقذوفات في بعدين, حيث تُدرَس الحركة أفقيا وعموديا كل على حدة ثم يُركَّب المسار الكلي.
مثال توضيحي بسيط
جسم يتحرك في مستوٍ بحيث
$$
x(t) = 2t, \quad y(t) = 3t
$$
إذن
$$
\vec{r}(t) = 2t\,\hat{i} + 3t\,\hat{j}
$$
يمكن النظر إلى هذه الحركة كمجموع حركتين:
حركة على المحور $x$
$$
\vec{r}_x(t) = 2t\,\hat{i}
$$
حركة على المحور $y$
$$
\vec{r}_y(t) = 3t\,\hat{j}
$$
المسار الكلي على شكل خط مستقيم, ولكنه ناتج عن تراكب حركتين مستقلتين في اتجاهين متعامدين.
تراكب الحركة المنتظمة مع الحركة المتسارعة
من التطبيقات المهمة, التي سيظهر أثرها في فصل حركة المقذوفات, تراكب حركة منتظمة بسرعة ثابتة في اتجاه معين مع حركة متسارعة في اتجاه عمودي على الأول.
افترض أن جسما يتحرك أفقيا بسرعة ثابتة $v_0$ ولا يتسارع أفقيا
$$
x(t) = v_0 t
$$
وفي الوقت نفسه يتحرك رأسيا تحت تأثير تسارع ثابت $g$ مثلا
$$
y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2
$$
الحركة الكلية هي تراكب الحركتين
$$
\vec{r}(t) = v_0 t\,\hat{i} + \left(y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2\right)\hat{j}
$$
لأن مبدأ التراكب يسمح بذلك, نستطيع دراسة كل بعد بمعزل عن الآخر ثم نرسم المسار النهائي من العلاقة بين $x$ و $y$ بعد حذف الزمن.
مثال عددي مختصر
جسم يُرمى أفقيا من حافة طاولة, سرعته الابتدائية أفقيا $v_0$, وارتفاع الطاولة $h$.
أفقيا:
$$
x(t) = v_0 t
$$
رأسيا من السكون:
$$
y(t) = h - \frac{1}{2} g t^2
$$
الحركة الكلية منحنى في المستوي $xy$, لكنه نتيجة تراكب حركة أفقية منتظمة مع حركة سقوط حر عمودية.
التراكب في أنظمة إحداثيات مختلفة
يمكن أيضا فهم مبدأ التراكب عند استخدام أنظمة إحداثيات أخرى مثل الإحداثيات القطبية في المستوي. في هذه الإحداثيات يُكتب متجه الموضع عادة بصورة
$$
\vec{r}(t) = r(t)\,\hat{e}_r
$$
لكن متجهات الوحدة $\hat{e}_r$ و$\hat{e}_\theta$ نفسها قد تتغير مع الزمن إذا تغيّر الاتجاه.
في هذه الحالة يتم تحليل السرعة والتسارع إلى مركبتين مرتبطتين بـ $r(t)$ و $\theta(t)$. يمكن اعتبار أن التغير في المسافة عن الأصل, والتغير في الاتجاه, يشكلان «حركتين» جزئيتين تتراكبان لإعطاء الحركة الفعلية. رياضيا يظهر ذلك في أن السرعة في الإحداثيات القطبية تُكتب على صورة
$$
\vec{v} = \dot{r}\,\hat{e}_r + r\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta
$$
وكل حد يمكن اعتباره مكوّنا مستقلا يتراكب مع الآخر.
مع أن التعبير يبدو أعقد من حالة الإحداثيات الكارتيزية, إلا أن الفكرة نفسها, حركة كلية ناتجة عن تراكب مركبتين متعامدتين في كل لحظة.
التراكب والحركة النسبية
فكرة أخرى مرتبطة بمبدأ التراكب هي الحركة النسبية بين أطر مرجعية مختلفة. عندما نكتب علاقة من نوع
$$
\vec{r}_{\text{جسم بالنسبة للأرض}} = \vec{r}_{\text{جسم بالنسبة للقارب}} + \vec{r}_{\text{قارب بالنسبة للأرض}}
$$
فإننا نستخدم تراكب متجهات الموضع بين مراجع مختلفة. لاحقا في فصل الحركة النسبية سيتم استخدام علاقات مشابهة للسرعات
$$
\vec{v}_{\text{جسم بالنسبة للأرض}} = \vec{v}_{\text{جسم بالنسبة للقارب}} + \vec{v}_{\text{قارب بالنسبة للأرض}}
$$
هذه العلاقات شكل من أشكال مبدأ التراكب, حيث تُعتبَر حركة الجسم بالنسبة لمرجع ما ناتجة عن تراكب حركته بالنسبة لمرجع متحرك مع حركة ذلك المرجع نفسه.
حدود استخدام مبدأ التراكب في الكينماتيكا
مع أن مبدأ التراكب أداة قوية, إلا أن له حدودا يجب الانتباه لها.
أولا, التراكب هنا يعتمد على خطية الوصف الكينماتيكي, أي على أن الموضع والسرعة والتسارع يمكن كتابتها كمجاميع بسيطة. في كثير من مسائل الميكانيكا الكلاسيكية يكون هذا صحيحا ومفيدا للغاية.
ثانيا, التراكب في الكينماتيكا لا يعني دائما وجود تراكب مماثل في الديناميكا. قد لا يكون من الصحيح جمع القوى أو الطاقات بنفس البساطة في أنظمة معينة, لذلك يجب الفصل بين تراكب الحركة كتوصيف رياضي وبين تراكب التأثيرات الديناميكية التي تُدرَس في فصول أخرى.
ثالثا, التراكب يفترض أن القياسات تتم بالنسبة لإطار مرجعي محدد وثابت الإحداثيات. في الأطر غير العطالية التي تتسارع أو تدور, تظهر مصطلحات إضافية في السرعة والتسارع, وتحتاج معاملة أكثر حذرا.
تنبيه
تراكب الحركات يقوم على جمع المتجهات, ويُسمَح به عندما يكون وصف الحركة خطيا في هذه المتجهات. لا يعني ذلك أن كل كمية في الفيزياء يمكن جمعها بنفس الطريقة في كل الظروف.
أهمية مبدأ التراكب لمسائل الحركة
مبدأ التراكب يجعل حل كثير من مسائل الحركة أسهل بكثير, لأنه يسمح بتقسيم المشكلة المعقدة إلى مشكلات أبسط. أشهر الاستخدامات التي ستظهر لاحقا هي
تحليل الحركة في بعدين أو ثلاثة أبعاد إلى مركبات مستقلة في كل بعد
فهم حركة المقذوفات كتركيب بين حركة أفقية منتظمة وحركة رأسية متسارعة
وصف الحركة النسبية بجمع السرعات بين مراجع مختلفة
تحليل الحركة في أنظمة إحداثيات خاصة مثل الإحداثيات القطبية بإرجاعها إلى مركبات متعامدة
بهذا يصبح مبدأ التراكب جزءا أساسيا من طريقة التفكير في علم الحركة، ويُستخدم تلقائيا تقريبًا في معظم مسائل الميكانيكا الكلاسيكية التي تتعامل مع حركات في أكثر من بعد أو مع أكثر من مرجع.