Table of Contents
تمهيد إلى أنظمة الإحداثيات
عندما نتعامل مع متجهات في الفيزياء، نحتاج دائمًا إلى طريقة منظمة لوصف موضع نقطة أو اتجاه متجه في الفضاء. هذه الطريقة المنظمة تسمى "نظام الإحداثيات". الفكرة العامة للكميات القياسية والمتجهات تم تناولها في الفصل الأب، لذلك سنركّز هنا على كيف نختار نظام إحداثيات، وما هي الأنظمة الشائعة، وكيف يكتب المتجه بشكل مختلف في كل نظام.
الهدف من نظام الإحداثيات هو أن يربط بين "العالم الهندسي" الذي نراه، من نقاط وخطوط وأجسام، وبين "العالم الرمزي" الذي نحسب به، أي الأعداد والمعادلات. لذلك اختيار نظام الإحداثيات ليس مسألة شكلية، بل يؤثر في بساطة المعادلات وسهولة الحل.
الإحداثيات في بعد واحد
في البعد الواحد تكفي مستقيم مرجعي موجه، ونقطة أصل، ووحدة طول. نختار نقطة نسمّيها الأصل، مثل $O$، ثم نختار اتجاهًا موجبًا للمحور، ونقرّر وحدة القياس، كالمتر.
أي نقطة على الخط يمين الأصل لها إحداثي حقيقي موجب، وأي نقطة يسار الأصل لها إحداثي حقيقي سالب. إذا كان موضع جسيم على هذا الخط هو $x$، فهذا يعني أن المسافة من الأصل إلى موضع الجسيم تساوي $|x|$ في اتجاه موجب إذا كان $x > 0$ أو في اتجاه معاكس إذا كان $x < 0$.
المتجه في بعد واحد لا يُكتب عادة إلا برقم واحد مع إشارة، فالعدد $+3$ م يمكن اعتباره متجهًا مقداره $3$ م واتجاهه نحو اليمين، والعدد $-5$ م متجه مقداره $5$ م نحو اليسار.
نظام الإحداثيات الكارتيزية في بعدين
في بعدين نحتاج إلى محورين متعامدين لتحديد موضع نقطة على مستوى. نظام الإحداثيات الكارتيزية في بعدين هو الأكثر استخدامًا في المسائل البسيطة في الميكانيكا.
نرسم محورًا أفقيًا نرمز له بـ $x$، ومحورًا عموديًا نرمز له بـ $y$، ويكونان متعامدين ويتقاطعان في نقطة الأصل $O$. عادة نختار الاتجاه إلى اليمين موجبًا لمحور $x$، وإلى الأعلى موجبًا لمحور $y$.
موضع أي نقطة على المستوى يحدد بالزوج المرتب
$$
(x, y)
$$
حيث $x$ هو الإسقاط الأفقي و $y$ هو الإسقاط العمودي.
المتجه في هذا النظام يكتب في صورة مركبتين:
$$
\vec{A} = (A_x, A_y)
$$
حيث $A_x$ مركبة المتجه على المحور $x$ و $A_y$ على المحور $y$.
إذا رمزنا للمتجهات الأساسية التي تشير في اتجاه المحاور بوحدتي الأساس $\hat{i}$ و $\hat{j}$، يمكن أن نكتب المتجه في صورة
$$
\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}
$$
هذه الكتابة ستصبح مهمة في جبر المتجهات، لذلك في هذا الفصل نركّز فقط على الربط بينها وبين الإحداثيات.
نظام الإحداثيات الكارتيزية في ثلاثة أبعاد
عندما نضيف بعدًا ثالثًا، نعمل في الفضاء الثلاثي الأبعاد. نستخدم ثلاثة محاور متعامدة، عادة نرمز لها بـ $x$, $y$, $z$.
يوجد ترتيب معياري لاتجاه هذه المحاور يسمى "نظام اليد اليمنى". إذا فردت يدك اليمنى بحيث يشير الإبهام والسبابة والوسطى إلى ثلاث جهات متعامدة، يمكن تمثيل المحاور كالتالي: الإبهام لمحور $x$، والسبابة لمحور $y$، والوسطى لمحور $z$.
موضع نقطة في الفضاء يكتب بالثلاثي المرتب
$$
(x, y, z)
$$
والمتجه يكتب في صورة
$$
\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)
$$
أو في صورة وحدات أساس ثلاثية
$$
\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}
$$
اختيار نظام اليد اليمنى مهم عند التعامل مع الضرب الاتجاهي والزخم الزاوي، وسيظهر ذلك في فصول لاحقة.
المسافة بين نقطتين في النظام الكارتيزي
في أنظمة الإحداثيات الكارتيزية، المسافة بين نقطتين تُحسب من نظرية فيثاغورس. إذا كانت النقطة الأولى في بعدين هي $(x_1, y_1)$ والثانية $(x_2, y_2)$، تكون المسافة بينهما
$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
وفي ثلاثة أبعاد، إذا كانت النقطتان
$$
(x_1, y_1, z_1),\quad (x_2, y_2, z_2)
$$
فإن المسافة
$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
$$
هذه الصيغ تعبر عن أن المسافة لا تعتمد على اختيار الأصل، بل تعتمد على فروق الإحداثيات فقط.
مثال
نقطة في المستوى إحداثياتها $(3, 4)$ ونريد حساب بعدها عن الأصل. المسافة
$$
d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5
$$
أي أن النقطة تبعد 5 وحدات طول عن الأصل.
الإحداثيات القطبية في بعدين
في بعض المسائل لا يكون من الطبيعي قياس الموضع بمركبتين أفقيتين وعموديتين، بل يكون من الأنسب استخدام البعد عن نقطة معينة والزاوية عن اتجاه معيّن. هنا يظهر نظام الإحداثيات القطبية.
في الإحداثيات القطبية نختار نقطة أصل، ونتجاهها كمرجع للزاوية، ثم نصف موضع النقطة بالزوج
$$
(r, \theta)
$$
حيث $r$ هي المسافة من النقطة إلى الأصل، و$\theta$ هي الزاوية بين المستقيم الواصل بين النقطة والأصل ومحور مرجعي، غالبًا ما يكون الاتجاه الموجب لمحور $x$.
العلاقة بين الإحداثيات الكارتيزية $(x, y)$ والإحداثيات القطبية $(r, \theta)$ في المستوى:
$$
x = r \cos \theta,\quad y = r \sin \theta
$$
وبالعكس
$$
r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
$$
مع الانتباه إلى الربع الذي تقع فيه النقطة لتحديد $\theta$ بشكل صحيح.
هذا النظام يصبح مفيدًا جدًا عندما تكون الحركة أو القوى ذات تماثل دائري أو محوري، مثل حركة جسم على دائرة.
قاعدة مهمة
في الإحداثيات القطبية الإحداثي $r$ لا يكون سالبًا، بل يأخذ قيمًا $r \ge 0$. التغيير في الاتجاه يمثله تغيّر في الزاوية $\theta$، وليس في إشارة $r$.
مثال تحويلي
نقطة في المستوى الكارتيزي إحداثياتها $(x, y) = (3, 3\sqrt{3})$. نحسب إحداثياتها القطبية.
أولًا
$$
r = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6
$$
ثانيًا
$$
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{3}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}
$$
إذًا
$$
(r, \theta) = \left(6, \frac{\pi}{3}\right)
$$
أنظمة الإحداثيات في الفضاء: الأسطوانية والكروية
في ثلاثة أبعاد يوجد تعميم طبيعي للإحداثيات القطبية يناسب مسائل ذات تماثل خاص، هما الإحداثيات الأسطوانية والإحداثيات الكروية. التفاصيل الكاملة في حساب المتجهات والعمليات عليها في هذه الأنظمة ستظهر في فصول أخرى، وهنا نكتفي بصورة هندسية بسيطة وعلاقات تحويل أساسية.
الإحداثيات الأسطوانية
الإحداثيات الأسطوانية مفيدة في المسائل التي لها تماثل حول محور مستقيم، مثل الحقول حول سلك طويل مستقيم أو حركة جسم داخل أنبوب أسطواني.
موضع نقطة يكتب على الصورة
$$
(r, \theta, z)
$$
حيث $r, \theta$ هما الإحداثيات القطبية في المستوى الأفقي، و $z$ هو الارتفاع على طول محور ثابت، غالبًا ما يختار محور $z$.
العلاقة مع الإحداثيات الكارتيزية
$$
x = r \cos \theta,\quad y = r \sin \theta,\quad z = z
$$
وبالعكس
$$
r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right),\quad z = z
$$
الإحداثيات الكروية
الإحداثيات الكروية ملائمة للمسائل ذات التماثل الكروي حيث تعتمد الكميات فقط على البعد عن مركز معين، مثل الحقول حول كوكب أو شحنة نقطة مثالية.
موضع نقطة يكتب عادة على الصورة
$$
(r, \theta, \phi)
$$
مع ملاحظة أن الاصطلاحات قد تختلف بين الكتب. سنختار الاصطلاح الشائع في الفيزياء:
$r$ هو المسافة من الأصل إلى النقطة.
$\theta$ هي الزاوية القطبية بين المتجه من الأصل إلى النقطة ومحور $z$.
$\phi$ هي الزاوية السمتية في المستوى الأفقي بين الإسقاط على مستوى $xy$ ومحور $x$ الموجب.
العلاقة مع الإحداثيات الكارتيزية:
$$
x = r \sin \theta \cos \phi
$$
$$
y = r \sin \theta \sin \phi
$$
$$
z = r \cos \theta
$$
وبالعكس
$$
r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
$$
$$
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{z}{r}\right)
$$
$$
\phi = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
$$
مثال هندسي
تخيّل كرة ذات نصف قطر ثابت $R$. في الإحداثيات الكارتيزية تحتاج ثلاث معادلات لتصف سطحها، أما في الإحداثيات الكروية يكفي أن تقول
$$
r = R
$$
مع السماح للزوايا $\theta$ و $\phi$ أن تتغير ضمن مجالات مناسبة. هذا يوضح كيف أن اختيار نظام إحداثيات مناسب يمكن أن يبسط الوصف الرياضي.
اختيار نظام الإحداثيات في المسائل الفيزيائية
في الميكانيكا، لا يوجد نظام إحداثيات "صحيح" وآخر "خاطئ" من حيث المبدأ، إذ يمكن وصف نفس الظاهرة في أنظمة مختلفة، لكن هناك اختيار "ذكي" يجعل الحسابات أبسط.
في حركة على خط مستقيم، يكفي بعد واحد.
في حركة على سطح مستو غير دائري أو في مسائل فيها قوى ثابتة في اتجاهات ثابتة، النظام الكارتيزي غالبًا هو الاختيار الأنسب.
في حركة دائرية أو في مسائل ذات تماثل دوراني حول نقطة أو محور، تكون الإحداثيات القطبية أو الأسطوانية أو الكروية أكثر ملاءمة.
اختيار نظام الإحداثيات يمكن أن يحوّل معادلات معقدة إلى علاقات بسيطة، كما سيتضح عندما نكتب المعادلة العامة للحركة في فصول لاحقة.
قاعدة منهجية
قبل البدء في حل أي مسألة في الميكانيكا، خصص لحظات لاختيار نظام الإحداثيات الأنسب الذي يعكس شكل الحركة أو تماثل القوى، فهذا الاختيار يمكن أن يختصر الكثير من العمل الحسابي لاحقًا.
ثبات القوانين الفيزيائية تحت تغيير الإحداثيات
رغم أن الأعداد التي تمثل الإحداثيات تتغيّر إذا غيّرنا النظام، تبقى الكميات الفيزيائية نفسها ثابتة. طول متجه الإزاحة بين نقطتين لا يعتمد على طريقة قياسك للإحداثيات، بل يعتمد على الواقع الهندسي.
المتجه نفسه يمكن أن يكتب في صورة مركبات مختلفة في أنظمة مختلفة، لكنه يمثل نفس "السهم" في الفضاء. هذه الفكرة ستكون أساسًا لما يسمى "تحويل الإحداثيات" الذي يظهر في سياقات متعددة من الميكانيكا الكلاسيكية وحتى النسبية.
بهذه الصورة يصبح من الواضح أن أنظمة الإحداثيات هي أدوات لوصف نفس الواقع من زوايا مختلفة، واختيار الأداة المناسبة جزء مهم من مهارة حل المسائل في الفيزياء.