Table of Contents
تمهيد إلى جبر المتجهات
في هذا الفصل ننتقل من مجرد التعرف إلى المتجهات ككميات لها مقدار واتجاه، إلى التعامل معها كـ "كيانات رياضية" يمكن جمعها وطرحها وضربها والتعبير عنها في صورة مركبات. هذا هو ما يسمى جبر المتجهات. الهدف هنا ليس التعمق النظري، بل اكتساب أدوات عملية ستُستعمل لاحقًا في كل أجزاء الميكانيكا الكلاسيكية.
الجمع والطرح المتجهي
عندما نجمع متجهين، فنحن في الحقيقة نجمع "تأثيرين" فيزيائيين يحدثان معًا. على سبيل المثال، إذا أثرت قوتان على جسم في وقت واحد، فإن "القوة المحصلة" هي حاصل جمع هذين المتجهين.
هناك طريقتان هندسيتان شائعتان لفهم الجمع المتجهي.
طريقة رأس إلى ذيل
نأخذ المتجه الأول، ثم نضع بداية المتجه الثاني عند نهاية المتجه الأول. يكون المتجه الناتج هو المتجه الذي يبدأ من بداية المتجه الأول وينتهي عند نهاية المتجه الثاني.
إذا كان لدينا المتجهان $\vec{A}$ و $\vec{B}$، فإن المتجه $\vec{C}$ المعرف بالعلاقة:
$$
\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}
$$
هو متجه يبدأ من نقطة بداية $\vec{A}$ وينتهي عند نقطة نهاية $\vec{B}$ بعد نقله بحيث يبدأ من نهاية $\vec{A}$.
طريقة متوازي الأضلاع
نضع المتجهين $\vec{A}$ و $\vec{B}$ بحيث يبدأان من نفس النقطة. نرسم متوازي أضلاع ضلعاه هما المتجهان الأصليان. القطر الخارج من نقطة البداية المشتركة يمثل المتجه $\vec{A} + \vec{B}$.
هذه الطريقة مفيدة بصريًا، خاصة عند وجود زاوية بين المتجهين.
الطرح المتجهي
طرح متجه من متجه آخر يعني إضافة معكوسه. معكوس المتجه $\vec{A}$ هو متجه له نفس المقدار لكن اتجاهه معاكس ويُرمز له عادة بـ $-\vec{A}$.
إذًا
$$
\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})
$$
هندسيًا نرسم $-\vec{B}$ بقلب اتجاه $\vec{B}$، ثم نطبق قاعدة الجمع السابقة.
عند الرسم، لا يهم مكان المتجه في الفضاء عند جمعه أو طرحه، المهم المحافظة على طوله واتجاهه. يمكن "نقل" المتجه موازيًا لنفسه دون أن يتغير.
مثال:
إذا كان لدينا إزاحة من النقطة $P$ إلى $Q$ ممثلة بالمتجه $\vec{A}$، ثم إزاحة من $Q$ إلى $R$ ممثلة بالمتجه $\vec{B}$، فإن الإزاحة الكلية من $P$ إلى $R$ هي:
$$
\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}
$$
وإذا أردنا الإزاحة من $R$ إلى $P$ فهي:
$$
\vec{P} = -\vec{R}
$$
ضرب المتجه بعدد حقيقي
يمكن "تمديد" أو "تقليص" متجه بضربه بعدد حقيقي. إذا كان $k$ عددًا حقيقيًا، فإن:
$$
\vec{B} = k \vec{A}
$$
يعني أن مقدار $\vec{B}$ يساوي $|k|$ في مقدار $\vec{A}$، واتجاهه:
- نفس اتجاه $\vec{A}$ إذا كان $k > 0$
- معاكس لاتجاه $\vec{A}$ إذا كان $k < 0$
- يساوي المتجه الصفري إذا كان $k = 0$
هذا مفيد في الفيزياء لتمثيل تغيير شدة كمية مثل القوة أو السرعة مع بقاء الاتجاه نفسه.
مثال:
إذا كانت سرعة سيارة ممثلة بمتجه $\vec{v}$، ثم زادت السرعة إلى الضعف في نفس الاتجاه، يمكن تمثيل السرعة الجديدة بالمتجه:
$$
\vec{v}' = 2\vec{v}
$$
المتجه الصفري والمتجهات المتساوية
المتجه الصفري هو متجه مقداره صفر، ولا يكون له اتجاه محدد، ويرمز له عادة بـ $\vec{0}$. يظهر طبيعيًا في جبر المتجهات عند جمع متجه ومعكوسه:
$$
\vec{A} + (-\vec{A}) = \vec{0}
$$
متجهان يُقال إنهما متساويان إذا كان لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه، بغض النظر عن موضعهما في الفضاء. في جبر المتجهات يتعامل المرء مع المتجه ككائن مستقل عن موضعه الهندسي، ما دام محفوظًا طوله واتجاهه.
خواص عملية الجمع المتجهي
عملية جمع المتجهات تشبه في كثير من خواصها جمع الأعداد، لكن مع تفسير هندسي.
من أهم الخواص:
- الإبدال:
$$
\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}
$$
هندسيًا، إذا طبقنا طريقة متوازي الأضلاع، فإن قطر المتوازي نفسه سواء بدأنا بـ $\vec{A}$ أو بـ $\vec{B}$.
- التجميع:
$$
(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})
$$
هذا يسمح بجمع عدة متجهات دون الاهتمام بترتيب التجميع، وهو مفيد جدًا في جمع قوى كثيرة مثل قوى الجاذبية والشد والاحتكاك.
- وجود العنصر المحايد:
$$
\vec{A} + \vec{0} = \vec{A}
$$ - وجود المعكوس الجمعي:
لكل متجه $\vec{A}$ يوجد متجه $-\vec{A}$ بحيث:
$$
\vec{A} + (-\vec{A}) = \vec{0}
$$
في جمع المتجهات لا يمكن "جمع المقادير فقط" دون مراعاة الاتجاه. إهمال الاتجاه يؤدي إلى أخطاء فيزيائية خطيرة، خصوصًا عند التعامل مع قوى أو سرعات.
تمثيل المتجه بالمركبات في بعدين
من أهم أدوات جبر المتجهات في الفيزياء التعبير عن المتجه في صورة مركبات على محاور إحداثية.
نختار نظام إحداثيات ديكارتي في بعدين، بمحورين متعامدين هما $x$ و $y$. نعرّف متجهين وحيدين أساسيين:
- $\hat{i}$ متجه وحدوي في اتجاه محور $x$
- $\hat{j}$ متجه وحدوي في اتجاه محور $y$
أي متجه في المستوى يمكن كتابته في صورة:
$$
\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}
$$
حيث $A_x$ و $A_y$ هما مركبتا المتجه على المحورين.
إذا رسمنا المتجه $\vec{A}$ من نقطة الأصل، فإن إسقاطه على محور $x$ يعطينا $A_x$ وإسقاطه على محور $y$ يعطينا $A_y$.
مقدار المتجه يُحسب من مركباته باستخدام فيثاغورس:
$$
|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}
$$
مثال:
جسم يتحرك بإزاحة مقدارها $5$ أمتار في اتجاه يصنع زاوية مقدارها $37^\circ$ مع محور $x$ الموجب. مركبتي الإزاحة هما:
$$
A_x = 5 \cos 37^\circ,\quad A_y = 5 \sin 37^\circ
$$
إذن:
$$
\vec{A} = (5 \cos 37^\circ)\hat{i} + (5 \sin 37^\circ)\hat{j}
$$
جمع المتجهات باستخدام المركبات
ميزة التعبير بالمركبات هي تبسيط عملية الجمع والطرح إلى عمليات على الأعداد فقط.
إذا كان:
$$
\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}
$$
و
$$
\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j}
$$
فإن:
$$
\vec{C} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j}
$$
أي أننا نجمع مركبات المحور $x$ معًا، ومركبات المحور $y$ معًا.
وبالمثل للطرح:
$$
\vec{D} = \vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x)\hat{i} + (A_y - B_y)\hat{j}
$$
ثم يمكن حساب مقدار المتجه الناتج باتباع:
$$
|\vec{C}| = \sqrt{C_x^2 + C_y^2}
$$
حيث
$$
C_x = A_x + B_x,\quad C_y = A_y + B_y
$$
عند جمع المتجهات بالمركبات يجب الانتباه إلى الإشارات الموجبة والسالبة، فإذا كان المتجه في عكس اتجاه المحور فإن مركبته على هذا المحور تكون سالبة.
مثال:
قوتان تؤثران في جسم عند نقطة الأصل. الأولى مقدارها $8$ نيوتن في اتجاه محور $x$ الموجب. الثانية مقدارها $6$ نيوتن في اتجاه محور $y$ السالب.
نكتب:
$$
\vec{F}_1 = 8 \hat{i},\quad \vec{F}_2 = -6 \hat{j}
$$
القوة المحصلة:
$$
\vec{F}_\text{محصلة} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 8 \hat{i} - 6 \hat{j}
$$
مقدار المحصلة:
$$
|\vec{F}_\text{محصلة}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10 \ \text{نيوتن}
$$
العلاقة بين المركبات والزوايا
إذا كان المتجه $\vec{A}$ مقداره $A$ ويصنع زاوية $\theta$ مع محور $x$ الموجب، فإن مركباته في بعدين تُعطى بالعلاقات:
$$
A_x = A \cos\theta,\quad A_y = A \sin\theta
$$
والعكس صحيح، إذا عرفت المركبتين $A_x$ و $A_y$ يمكن حساب:
$$
A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}
$$
ويمكن حساب الزاوية $\theta$ من:
$$
\tan\theta = \frac{A_y}{A_x}
$$
مع الانتباه إلى الربع الذي يقع فيه المتجه لتحديد الزاوية الصحيحة.
التوسع إلى ثلاثة أبعاد
في ثلاثة أبعاد نضيف محورًا ثالثًا $z$ ومتجهًا وحدويًا ثالثًا $\hat{k}$ في اتجاهه. أي متجه في الفضاء الثلاثي يمكن كتابته كما يلي:
$$
\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}
$$
ومقداره:
$$
|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
$$
ويتم جمع المتجهات وطرحها بنفس الطريقة، بجمع وطرح المركبات على كل محور على حدة.
في التطبيقات الميكانيكية مثل حركة المقذوفات ثلاثية الأبعاد أو القوى في الفضاء، يصبح هذا التمثيل ضروريًا.
الجمع المتجهي لكثير من المتجهات
في المسائل الواقعية لا يوجد غالبًا متجهان فقط، بل عدة متجهات. باستخدام جبر المتجهات يمكن كتابة المتجه المحصل في صورة مجموع لمتجهات كثيرة:
$$
\vec{R} = \vec{A}_1 + \vec{A}_2 + \vec{A}_3 + \dots + \vec{A}_n
$$
وإذا كتبت كل متجه في صورة مركبات، تصبح المركبة الكلية على كل محور هي مجموع مركبات كل المتجهات على ذلك المحور. مثلًا في بعدين:
$$
R_x = \sum_{i=1}^{n} A_{ix},\quad R_y = \sum_{i=1}^{n} A_{iy}
$$
ثم يحسب مقدار المتجه المحصل من:
$$
|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}
$$
هذه الفكرة أساسية في "جمع القوى وتحليلها" التي ستُدرس لاحقًا.
ملخص دور جبر المتجهات في الميكانيكا
جبر المتجهات يزودنا بالأدوات التالية:
- التعبير عن المتجهات في صورة مركبات على محاور مختارة
- جمع وطرح المتجهات بطريقة عددية منظمة
- التحويل بين الوصف بالمقدار والزاوية والوصف بالمركبات
- التعامل مع عدة قوى أو سرعات أو إزاحات في وقت واحد عبر متجه محصل
في الفصول اللاحقة ستُستخدم هذه الأدوات كلما ظهرت كميات متجهة مثل الإزاحة والسرعة والتسارع والقوة، لذا من المهم التمرن على هذه القواعد حتى تصبح طبيعية وسهلة في التطبيق.