Table of Contents
تمهيد قصير
في هذا الفصل نركّز على عمليتين أساسيتين على المتجهات في الفضاء الإقليدي، وهما الضرب القياسي والضرب الاتجاهي. هاتان العمليتان تربطان بين الهندسة والجبر، وتُستخدمان باستمرار في الميكانيكا الكلاسيكية لوصف الشغل، والزوايا بين المتجهات، والعزوم، والكثير من الكميات الفيزيائية الأخرى.
سنفترض أن مفهوم المتجه، وطريقة جمع المتجهات وطرحها، وتمثيلها في أنظمة إحداثيات، قد تم تناوله في الفصول السابقة ضمن جبر المتجهات، وسنركّز هنا على خصائص الضربين وتعريفهما وصيغهما وكيفية استخدامهما في السياق الفيزيائي.
الضرب القياسي بين متجهين
الضرب القياسي هو عملية تجمع بين متجهين في الفضاء، وينتج عنها عدد حقيقي، أي كمية قياسية، وليس متجهًا. لذلك يسمّى أيضًا "الجداء الداخلي" أو "الجداء النقطي".
التعريف الهندسي
يعتمد الضرب القياسي على طول كل من المتجهين، وعلى الزاوية بينهما.
إذا كان لدينا متجهان في الفضاء الثلاثي الأبعاد، $\vec{A}$ و$\vec{B}$، والزاوية بينهما هي $\theta$ بحيث $0 \le \theta \le \pi$، فإن الضرب القياسي يُعرَّف هندسيًا بالعلاقة
$$
\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \, |\vec{B}| \cos\theta
$$
حيث $|\vec{A}|$ هو طول المتجه $\vec{A}$، و$|\vec{B}|$ طول المتجه $\vec{B}$.
من هذه الصيغة نرى أن قيمة الضرب القياسي تعتمد على مدى "توازي" المتجهين. إذا كانا في نفس الاتجاه يكون $\cos\theta = 1$، وإذا كانا متعامدين يكون $\cos\theta = 0$، وإذا كانا في اتجاهين متعاكسين يكون $\cos\theta = -1$.
الضرب القياسي بين متجهين لا يعطي متجهًا، بل عددًا حقيقيًا. إذا حصلت في حساباتك على متجه نتيجة لعملية يفترض أنها ضرب قياسي، فهذا يعني أن هناك خطأ في التطبيق.
الصيغة الإحداثية للضرب القياسي
في الفضاء الثلاثي الأبعاد، إذا كُتب المتجه $\vec{A}$ على صورة مركباته في نظام إحداثيات ديكارتي كما يلي
$$
\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)
$$
وكتبنا المتجه $\vec{B}$ على الصورة
$$
\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)
$$
فإن الضرب القياسي يُحسب جبريًا كالتالي
$$
\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z
$$
هذه الصيغة الجبرية مكافئة تمامًا للصيغة الهندسية، ويمكن استخلاص العلاقة بينهما باستعمال المتجهات الأحادية في الاتجاهات $x, y, z$، لكن هذه التفاصيل سبق تناولها في جبر المتجهات.
مثال عددي بسيط
لتكن
$$
\vec{A} = (2, 1, -1), \quad \vec{B} = (1, 0, 3)
$$
إذن
$$
\vec{A} \cdot \vec{B} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 = 2 + 0 - 3 = -1
$$
حصلنا على عدد حقيقي يساوي $-1$، وهذه هي نتيجة الضرب القياسي.
الخواص الجبرية للضرب القياسي
للضرب القياسي خصائص بسيطة لكنها مهمة في الفيزياء:
- الإبدال
$$
\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}
$$
هذه الخاصية واضحة من الصيغة الإحداثية، ومن الصيغة الهندسية أيضًا لأن $|\vec{A}| \, |\vec{B}| \cos\theta$ لا تتغير إذا بدّلنا بين $A$ و$B$.
- التوزيع على الجمع
$$
\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}
$$
- الضرب القياسي مع عدد حقيقي
إذا كان $k$ عددًا حقيقيًا، فإن
$$
(k\vec{A}) \cdot \vec{B} = k (\vec{A} \cdot \vec{B})
$$
- الضرب القياسي للمتجه مع نفسه
$$
\vec{A} \cdot \vec{A} = |\vec{A}|^2
$$
هذه العلاقة مهمة جدًا، لأنها تربط بين الضرب القياسي وطول المتجه.
استخدام الضرب القياسي لاستخراج الزاوية بين متجهين
إذا كانت مركبات المتجهين معلومة، فيمكننا استخدام صيغة الضرب القياسي لاستخلاص الزاوية بينهما.
من التعريف الهندسي
$$
\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}|\,|\vec{B}|\cos\theta
$$
إذن
$$
\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|\,|\vec{B}|}
$$
ومنها
$$
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|\,|\vec{B}|}\right)
$$
هذا مفيد جدًا عند دراسة الزوايا بين السرعات، أو بين القوة والإزاحة عند حساب الشغل في فصول لاحقة.
مثال على حساب الزاوية
لتكن
$$
\vec{A} = (3, 0), \quad \vec{B} = (0, 4)
$$
في فضاء ثنائي الأبعاد. نحسب
$$
\vec{A} \cdot \vec{B} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 0
$$
كما أن
$$
|\vec{A}| = 3, \quad |\vec{B}| = 4
$$
إذن
$$
\cos\theta = \frac{0}{3 \cdot 4} = 0
$$
ومنها $\theta = 90^\circ$. إذًا المتجهان متعامدان.
التفسير الفيزيائي للضرب القياسي
في الميكانيكا، يظهر الضرب القياسي طبيعيًا عندما نريد إسقاط متجه على اتجاه متجه آخر. على سبيل المثال، عندما نحسب الشغل الذي تبذله قوة على جسم يتحرك في اتجاه معين، سنحتاج إلى مكوّن القوة على اتجاه الإزاحة، أو مكوّن الإزاحة على اتجاه القوة. في كلتا الحالتين، يظهر التعبير
$$
F s \cos\theta
$$
وهو بالضبط الضرب القياسي بين متجهي القوة والإزاحة.
يمكن فهم الضرب القياسي أيضًا باعتباره حاصل ضرب طول متجه، في طول إسقاط المتجه الآخر على اتجاهه. فمثلًا
$$
\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \, |\vec{B}| \cos\theta
$$
يمكن قراءتها على أن
$$
\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \times (\text{مركبة } \vec{B} \text{ على اتجاه } \vec{A})
$$
أو بالعكس.
الضرب الاتجاهي بين متجهين
على عكس الضرب القياسي، الضرب الاتجاهي بين متجهين في الفضاء الثلاثي الأبعاد يعطي متجهًا جديدًا، وليس عددًا. هذا المتجه الناتج يكون عموديًا على المستوي الذي يضم المتجهين الأصليين، وله طول يعبّر عن المساحة "المتجهة" للموازي المستطيل الذي يشكّلانه.
التعريف الهندسي
لتكن لدينا المتجهات $\vec{A}$ و$\vec{B}$ في فضاء ثلاثي الأبعاد، والزاوية بينهما $\theta$ بحيث $0 \le \theta \le \pi$. يُعرَّف طول المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي $\vec{A} \times \vec{B}$ بالعلاقة
$$
|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| \, |\vec{B}| \sin\theta
$$
اتجاه هذا المتجه يكون عموديًا على كل من $\vec{A}$ و$\vec{B}$ في آن واحد. لتحديد أي من الاتجاهين العموديين الممكنين نستخدم ما يُسمى "قاعدة اليد اليمنى".
الضرب الاتجاهي لزوج من المتجهات معدّل في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في الفضاء ثنائي الأبعاد لا يمكن تعريفه كمتجه داخل نفس الفضاء، لأن المتجه الناتج يجب أن يكون عموديًا على المستوي الذي يضم المتجهين.
قاعدة اليد اليمنى
قاعدة اليد اليمنى طريقة عملية لتحديد اتجاه المتجه الناتج عن $\vec{A} \times \vec{B}$.
- ضع يدك اليمنى بحيث تكون أصابعك الأربعة ممتدة في اتجاه المتجه الأول $\vec{A}$.
- لف أصابعك باتجاه المتجه الثاني $\vec{B}$ عبر الزاوية الأصغر بينهما.
- يكون الإبهام ممتدًا في اتجاه المتجه الناتج $\vec{A} \times \vec{B}$.
إذا قمت بالعكس، أي حاولت لف أصابعك من $\vec{B}$ إلى $\vec{A}$، ستحصل على متجه في الاتجاه المعاكس. هذه ملاحظة تعكس خاصية أساسية في الضرب الاتجاهي.
الخواص الجبرية للضرب الاتجاهي
للضرب الاتجاهي عدة خواص أساسية:
- اللا إبدالية
بخلاف الضرب القياسي، الضرب الاتجاهي غير إبدالي، بل يتحقق
$$
\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A}
$$
أي أن تبديل المتجهين يغيّر إشارة المتجه الناتج.
- التوزيع على الجمع
مثل الضرب القياسي، ينطبق قانون التوزيع
$$
\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}
$$
- الضرب في عدد حقيقي
إذا كان $k$ عددًا حقيقيًا فنجد
$$
(k \vec{A}) \times \vec{B} = k (\vec{A} \times \vec{B})
$$
- المتجه الصفري
إذا كان المتجهان متوازيين أو أحدهما يساوي متجهًا صفريًا، فإن
$$
\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}
$$
وذلك لأن الزاوية بينهما إما $0$ أو $\pi$ وبالتالي $\sin\theta = 0$.
الصيغة الإحداثية للضرب الاتجاهي
في فضاء ثلاثي الأبعاد، لنكتب
$$
\vec{A} = (A_x, A_y, A_z), \quad \vec{B} = (B_x, B_y, B_z)
$$
الصيغة الإحداثية للضرب الاتجاهي هي
$$
\vec{A} \times \vec{B} =
\bigl( A_y B_z - A_z B_y,\,
A_z B_x - A_x B_z,\,
A_x B_y - A_y B_x \bigr)
$$
ويمكن كتابة هذا في صورة "محدد" باستخدام المتجهات الأحادية $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ كإشارة مختصرة
$$
\vec{A} \times \vec{B} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
A_x & A_y & A_z \\
B_x & B_y & B_z
\end{vmatrix}
$$
حساب هذا المحدد باستخدام القواعد المعروفة في الجبر الخطي يعطي الصيغة السابقة نفسها.
مثال عددي على الضرب الاتجاهي
لتكن
$$
\vec{A} = (1, 2, 3), \quad \vec{B} = (4, -1, 0)
$$
نحسب المركبات:
المركبة $x$:
$$
A_y B_z - A_z B_y = 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) = 0 + 3 = 3
$$
المركبة $y$:
$$
A_z B_x - A_x B_z = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 0 = 12 - 0 = 12
$$
المركبة $z$:
$$
A_x B_y - A_y B_x = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 4 = -1 - 8 = -9
$$
إذن
$$
\vec{A} \times \vec{B} = (3, 12, -9)
$$
العلاقة بين الضرب الاتجاهي والتعامد
من الخصائص المهمة للضرب الاتجاهي أنه ينتج متجهًا عموديًا على كل من $\vec{A}$ و$\vec{B}$، أي
$$
(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{A} = 0
$$
و
$$
(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{B} = 0
$$
وهذا واضح من التفسير الهندسي. إذا كان المتجه الناتج يقع عموديًا على المستوي الذي يضم $\vec{A}$ و$\vec{B}$، فهو متعامد بالتالي مع كليهما. في التطبيقات الفيزيائية، هذا التعامد غالبًا ما يكون مفتاح فهم الاتجاهات المرتبطة بعزم القوة، أو بالعزوم المغناطيسية مثلًا.
المساحة المتجهة والموازي المستطيل
من التعريف الهندسي لطول $\vec{A} \times \vec{B}$ نرى أن
$$
|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| \, |\vec{B}| \sin\theta
$$
تُمثّل هذه القيمة مساحة متوازي الأضلاع الذي يشكّله المتجهان $\vec{A}$ و$\vec{B}$. وإذا أردنا مساحة المثلث الذي يشكّله المتجهان من نقطة أصل مشتركة، فهي نصف هذه القيمة.
المساحة هنا ليست مجرد عدد، بل يمكن اعتبار المتجه $\vec{A} \times \vec{B}$ نفسه "مساحة متجهة"، حيث يعطي طوله قيمة المساحة، ويعطي اتجاهه الاتجاه العمودي المرتبط بهذه المساحة. هذه الفكرة ستكون مفيدة عند دراسة التكاملات السطحية والمجالات في فصول لاحقة.
مثال هندسي
إذا كان
$$
|\vec{A}| = 5, \quad |\vec{B}| = 4, \quad \theta = 30^\circ
$$
فإن
$$
| \vec{A} \times \vec{B} |
= 5 \cdot 4 \cdot \sin 30^\circ
= 20 \cdot \frac{1}{2}
= 10
$$
إذن مساحة متوازي الأضلاع الذي يشكّله المتجهان هي $10$ بوحدات المساحة المناسبة. ومساحة المثلث الذي يكوّنانه هي
$$
\frac{1}{2} |\vec{A} \times \vec{B}| = 5
$$
التفسير الفيزيائي للضرب الاتجاهي
الضرب الاتجاهي يظهر بصورة طبيعية في عدة كميات فيزيائية ذات طبيعة "متجهة مساحية". من أهم هذه الكميات:
- عزم القوة حول نقطة معينة، ويُكتب عادة على الصورة
$$
\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}
$$
حيث $\vec{r}$ هو متجه الموضع من محور الدوران إلى نقطة تأثير القوة، و$\vec{F}$ هي القوة. اتجاه عزم القوة يُحدَّد بقاعدة اليد اليمنى، وطوله يعطي "قدرة" هذه القوة على إحداث دوران حول المحور.
- في المغناطيسية، القوة المغناطيسية على شحنة متحركة توصف بالضرب الاتجاهي بين سرعة الشحنة ومتجه المجال المغناطيسي، لكن تفاصيل ذلك تخرج عن نطاق هذا الفصل.
هذه الأمثلة توضّح أن الضرب الاتجاهي ليس مجرد عملية جبرية، بل يعكس طبيعة فيزيائية حقيقية تعتمد على الاتجاهات والمساحات والعزوم.
مقارنة بين الضرب القياسي والضرب الاتجاهي
من المفيد تلخيص الفروق الأساسية بين العمليتين، لأن الخلط بينهما شائع في المراحل الأولى من دراسة الفيزياء:
- نوع الناتج
الضرب القياسي يعطي عددًا حقيقيًا، أي كمية قياسية، بينما الضرب الاتجاهي يعطي متجهًا جديدًا.
- الاعتماد على الزاوية
في الضرب القياسي يظهر $\cos\theta$، بينما في الضرب الاتجاهي يظهر $\sin\theta$.
- العلاقة بالتوازي والتعامد
إذا كان المتجهان متعامدين، فالضرب القياسي يساوي صفرًا، أما إذا كانا متوازيين فيكون الضرب الاتجاهي صفرًا.
- الإبدال
الضرب القياسي إبدالي، أي يمكن تبديل ترتيب المتجهين دون تغيير النتيجة، أما الضرب الاتجاهي فلا، بل يغيّر الترتيب إشارة المتجه الناتج.
- التفسير الهندسي
في الضرب القياسي يمكن التفكير في "إسقاط" متجه على اتجاه آخر، بينما في الضرب الاتجاهي نفكر في "مساحة" المتوازي الذي يشكّله المتجهان واتجاهه العمودي.
لا تخلط بين $\vec{A} \cdot \vec{B}$ و$\vec{A} \times \vec{B}$. تغيير النقطة إلى إشارة الضرب الاتجاهي أو العكس يغيّر نوع الكمية الناتجة من عدد إلى متجه أو بالعكس، ويؤدّي إلى نتائج فيزيائية خاطئة بالكامل.
بهذا نكون قد ركّزنا على طبيعة الضرب القياسي والضرب الاتجاهي، تعريفهما، صيغهما وخواصهما الأساسية، إلى الحد الذي نحتاجه لبناء الميكانيكا الكلاسيكية في الفصول اللاحقة.