الحركة التوافقية البسيطة

مدخل إلى الحركة التوافقية البسيطة

الحركة التوافقية البسيطة هي أبسط نموذج رياضي لوصف كثير من الاهتزازات والذبذبات في الطبيعة. تظهر في حركة النابض، والبندول الصغير الزاوية، واهتزاز الأوتار، وحتى في بعض الدوائر الكهربائية. في هذا الفصل سنركّز على خصائص هذه الحركة وصيغتها الرياضية العامة، تمهيدا لتطبيقها لاحقا على أنظمة خاصة مثل نظام الكتلة والنابض والبندول.

فكرتها الأساسية أن الجسم يخضع لقوة تعيده نحو موضع توازن معيّن، وأن هذه القوة تتناسب طرديا مع إزاحته عن موضع التوازن، لكن في اتجاه معاكس. هذه العلاقة البسيطة تقود إلى أنواع من الحركة دورية ومنتظمة جدا تسمى حركة توافقية بسيطة.

القوة المسترجِعة والمعادلة التفاضلية الأساسية

في الحركة التوافقية البسيطة تكون القوة المؤثرة الرئيسية قوة مسترجِعة، أي قوة تحاول "استرجاع" الجسم إلى موضع التوازن. تتميز هذه القوة بشرطين أساسيين:

1. اتجاه القوة معاكس لاتجاه الإزاحة عن موضع التوازن.
2. مقدار القوة يتناسب طرديا مع مقدار هذه الإزاحة.

يمكن كتابة ذلك في صورة رياضية عامة على المحور الواحد كما يلي:

$$
F = -k x
$$

حيث $x$ إزاحة الجسم عن موضع التوازن، و $k$ ثابت موجب يحدد "شدة" القوة المسترجِعة.

بتطبيق قانون نيوتن الثاني $F = m a$ على هذه القوة نحصل على:

$$
m \dfrac{d^2 x}{dt^2} = -k x
$$

أو

$$
\dfrac{d^2 x}{dt^2} + \dfrac{k}{m} x = 0
$$

هذه هي المعادلة التفاضلية الأساسية للحركة التوافقية البسيطة في بعد واحد.

التردد الزاوي وتعريفه في الحركة التوافقية

من المفيد تعريف كمية جديدة تسمى التردد الزاوي، نرمز لها بـ $\omega$، بحيث:

$$
\omega^2 = \dfrac{k}{m}
$$

بهذا تصبح المعادلة السابقة:

$$
\dfrac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0
$$

هذا الشكل سيظهر مرارا في مسائل الاهتزازات، وهو يحدد أن الحركة تتم بتردد زاوي ثابت $\omega$ يعتمد على ثابت القوة $k$ وكتلة الجسم $m$.

التردد الزاوي مرتبط بزمن الدورة الواحدة للحركة، وبعدد الدورات في الثانية، كما سنرى لاحقا.

الحل العام لمعادلة الحركة التوافقية

المعادلة التفاضلية

$$
\dfrac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0
$$

لها حل عام من الشكل الجيبي أو الكوني. من أكثر الصيغ شيوعا:

$$
x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)
$$

حيث:

• $A$ السعة، وهي أكبر إزاحة يصل إليها الجسم عن موضع التوازن.
• $\omega$ التردد الزاوي.
• $\varphi$ طور ابتدائي يحدد حالة الحركة عند اللحظة $t = 0$.

يمكن أيضا كتابة الحل بشكل آخر مكافئ تماما:

$$
x(t) = A \sin(\omega t + \phi)
$$

والصيغتان تمثلان نفس النوع من الحركة، مع اختلاف في تعريف الطور الابتدائي فقط.

العلاقة بين الإزاحة والسرعة والتسارع

بمجرد معرفة $x(t)$ يمكن الحصول على السرعة $v(t)$ والتسارع $a(t)$ بالاشتقاق بالنسبة للزمن.

إذا كان:

$$
x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)
$$

فإن السرعة هي:

$$
v(t) = \dfrac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi)
$$

والتسارع:

$$
a(t) = \dfrac{d^2 x}{dt^2} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi)
$$

لكن $\cos(\omega t + \varphi) = \dfrac{x(t)}{A}$، لذا نحصل على علاقة مهمة جدا بين التسارع والإزاحة:

$$
a(t) = -\omega^2 x(t)
$$

وهذه العلاقة هي في الحقيقة صورة أخرى من المعادلة التفاضلية الأساسية للحركة التوافقية البسيطة، وتبرز المعنى الفيزيائي أن التسارع دائما معاكس للإزاحة ومتناسب طرديا مع مقدارها.

من المفيد كذلك ملاحظة أن السرعة متقدمة عن الإزاحة في الطور بزاوية $\pi/2$، والتسارع متقدم على الإزاحة بزاوية $\pi$، وهذا يظهر في الرسوم البيانية التي تمثل $x(t)$ و $v(t)$ و $a(t)$.

الزمن الدوري والتردد

الحركة التوافقية البسيطة حركة دورية، أي تتكرر بانتظام بعد فترات زمنية متساوية. الفترة الزمنية اللازمة لتمام دورة واحدة تسمى الزمن الدوري ويرمز له بـ $T$، وعدد الدورات في الثانية يسمى التردد ويرمز له بـ $f$.

العلاقة بين الزمن الدوري والتردد هي:

$$
f = \dfrac{1}{T}
$$

التردد الزاوي $\omega$ مرتبط بهما بالعلاقة:

$$
\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}
$$

وبالعودة إلى تعريف $\omega$ في الحركة التوافقية البسيطة، نجد أن الزمن الدوري للحركة يعتمد كليا على خواص النظام الفيزيائي عبر العلاقة بين $k$ و $m$.

هذه العلاقات تسمح لنا بالانتقال من وصف الحركة من حيث الزمن الدوري، أو التردد، أو التردد الزاوي حسب ما يسهّل معالجة المسألة المطروحة.

تمثيل الحركة التوافقية البسيطة بالحركة الدائرية المنتظمة

طريقة مفيدة لفهم الحركة التوافقية البسيطة هي ربطها بالحركة الدائرية المنتظمة. تخيل جسما يتحرك بسرعة ثابتة على دائرة نصف قطرها $A$، وبزمن دوري $T$. إذا أسقطنا موضع هذا الجسم على قطر من أقطار الدائرة، فإن الإسقاط سيتحرك على هذا القطر حركة توافقية بسيطة.

إذا كانت زاوية دوران الجسم على الدائرة هي:

$$
\theta(t) = \omega t + \varphi
$$

فإن إسقاطه على المحور الأفقي مثلا هو:

$$
x(t) = A \cos(\theta(t)) = A \cos(\omega t + \varphi)
$$

وهذه بالضبط هي صيغة الإزاحة في الحركة التوافقية البسيطة. هذا الربط يساعد على تصور التقدم الزاوي المنتظم في الحركة الدائرية على أنه يقابل اهتزازا تردديا في بعد واحد.

الطاقة في الحركة التوافقية البسيطة

في الحركة التوافقية البسيطة توجد عادة طاقة حركية وطاقة كامنة مرتبطة بالقوة المسترجِعة. ما يميز هذه الحركة في صورتها المثالية أن الطاقة الميكانيكية الكلية تبقى ثابتة، وتنتقل بشكل دوري بين طاقة حركية وطاقة كامنة.

إذا اعتبرنا أن القوة المسترجِعة من نوع $F = -k x$، فإن الطاقة الكامنة المرتبطة بها تكون من الشكل:

$$
U(x) = \dfrac{1}{2} k x^2
$$

أما الطاقة الحركية فهي:

$$
K = \dfrac{1}{2} m v^2
$$

بما أن:

$$
v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \varphi)
$$

فإن:

$$
K(t) = \dfrac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi)
$$

و

$$
U(t) = \dfrac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \varphi)
$$

وبما أن $k = m \omega^2$، فإن مجموع الطاقتين:

$$
E = K(t) + U(t) = \dfrac{1}{2} k A^2
$$

وهو مقدار ثابت لا يعتمد على الزمن.

هذا الوصف الطاقي مهم جدا عندما نبدأ في دراسة تأثيرات مثل التخميد أو القوى الخارجية، حيث يتغيّر سلوك الطاقة الميكانيكية مع الزمن.

شرط التوافقية البسيطة وحدود النموذج

الحركة التي يصفها هذا الفصل تمثل نموذجا مثاليا. لكي تكون حركة جسم ما توافقية بسيطة بالمعنى الدقيق، يجب أن تتحقق الشروط التالية تقريبا:

1. أن تكون القوة الأساسية المؤثرة قوة مسترجِعة خطية تقريبا مع الإزاحة، أي أن العلاقة بين $F$ و $x$ قريبة من المستقيم $F = -k x$ في المجال الذي تتحرك فيه الكتلة.
2. أن تكون تأثيرات الاحتكاك أو التخميد صغيرة جدا، بحيث يمكن إهمالها في أول تقريب.
3. أن لا تكون هناك قوى خارجية متغيرة زمنيا تؤثر باستمرار في النظام، مثل قوة دفع دورية، لأن هذا يدخلنا في الحركة القسرية.

عند الإخلال بهذه الشروط، تبدأ الحركة في الابتعاد عن نموذج التوافقية البسيطة، وقد نحتاج حينها إلى وصف أكثر تعقيدا، مثل الحركة التوافقية المخمدة أو القسرية، أو حتى حركات غير توافقية إذا كانت العلاقة بين القوة والإزاحة غير خطية.

مع ذلك، يبقى نموذج الحركة التوافقية البسيطة أساسيا، لأنه:

• يوفر تقريبا ممتازا لكثير من الأنظمة الفيزيائية عندما تكون الاهتزازات صغيرة.
• يعطي نقطة انطلاق مفهومة وواضحة لفهم الاهتزازات المعقدة.
• يقدّم لغة موحّدة لوصف الظواهر الموجية لاحقا، إذ إن كثيرا من الموجات يمكن تحليلها إلى مجموع من الحركات التوافقية البسيطة ذات ترددات مختلفة.

بهذا الفهم العام للحركة التوافقية البسيطة، يمكننا في الفصول التالية أن نطبّق هذه الأفكار على أنظمة محددة، مثل نظام الكتلة والنابض والبندول ذي الزاوية الصغيرة، ثم ننتقل منها إلى دراسة الاهتزازات المخمدة والقسرية والموجات.