Table of Contents
تمهيد عن البندول البسيط
البندول البسيط مثال كلاسيكي على الحركة التوافقية البسيطة عندما تكون زاوية التأرجح صغيرة. يتكون من كتلة صغيرة تسمى ثقل البندول، معلقة بخيط خفيف غير قابل للاستطالة، وطول الخيط يساوي المسافة بين نقطة التعليق ومركز ثقل الكتلة. نهمل في النموذج المثالي مقاومة الهواء وكتلة الخيط والاحتكاك عند نقطة التعليق.
عند إزاحة الثقل زاوية صغيرة عن وضع التعادل الرأسي وتركه، يبدأ في التأرجح ذهابًا وإيابًا. هذه الحركة يمكن تقريبها بحركة توافقية بسيطة، لكن هذا التقريب يعتمد على ما يسمى تقريب الزاوية الصغيرة.
القوى والحركة الزاوية للبندول
ليكن طول البندول $L$ وكتلة الثقل $m$، وزاويته عن الوضع الرأسي هي $\theta(t)$، حيث تُقاس الزاوية من الوضع العمودي للأسفل. القوة الوحيدة التي تهتم بها في ديناميكا الحركة هي مركبة وزن الجسم المماسية لمسار الحركة، لأن الشد في الخيط يعمل دائمًا باتجاه مركز الدوران ولا يسبب عزمًا حوله.
مركبة الوزن المماسية للمسار تساوي:
$$
F_\text{مماسي} = -mg \sin\theta
$$
والإشارة السالبة لأن القوة تحاول دائمًا إعادة الثقل إلى الوضع الرأسي، أي عكس اتجاه الإزاحة الزاوية.
تتحرك الكتلة على قوس دائرة نصف قطرها $L$، لذا يمكن كتابة قانون نيوتن الثاني في الصورة الزاوية باستخدام العزم حول نقطة التعليق.
العزم المؤثر حول نقطة التعليق هو:
$$
\tau = -mgL \sin\theta
$$
والعزم يساوي جداء عزم القصور الذاتي في التسارع الزاوي:
$$
\tau = I \alpha
$$
ولكتلة نقطية عند مسافة $L$ من محور الدوران يكون:
$$
I = mL^2
$$
إذًا:
$$
-mgL \sin\theta = mL^2 \alpha
$$
وبما أن التسارع الزاوي $\alpha = \dfrac{d^2\theta}{dt^2}$ نحصل على المعادلة التفاضلية الدقيقة لحركة البندول:
$$
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0
$$
هذه المعادلة غير خطية بسبب وجود $\sin\theta$، وحلها العام ليس على شكل دالة جيبية بسيطة. هنا يأتي دور تقريب الزاوية الصغيرة.
تقريب الزاوية الصغيرة
تقريب الزاوية الصغيرة هو خطوة رياضية وفيزيائية مهمة في دراسة البندول البسيط. الفكرة الأساسية هي أن قيم الدوال المثلثية للزوايا الصغيرة (مقاسة بالراديان) يمكن تقريبها بتعابير أبسط.
لبدء هذا التقريب، نكتب التوسع التقريبي لـ $\sin\theta$ للزوايا الصغيرة:
$$
\sin\theta \approx \theta \quad \text{إذا كانت} \quad |\theta|\ll 1 \text{ راديان}
$$
بكلمات أخرى، عندما تكون الزاوية صغيرة بما يكفي، الفرق بين $\sin\theta$ و $\theta$ يصبح صغيرًا جدًا ويمكن تجاهله في النموذج التقريبي.
باستخدام هذا التقريب في معادلة البندول:
$$
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0
$$
نستبدل $\sin\theta$ ب $\theta$ فنحصل على:
$$
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0
$$
معادلة البندول في تقريب الزاوية الصغيرة:
$$
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \omega^2 \theta = 0
\quad \text{حيث} \quad
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}
$$
وهذه بالضبط معادلة الحركة التوافقية البسيطة التي تمت دراستها في حركة الكتلة على نابض، مع استبدال الإحداثي الخطي $x$ بالإحداثي الزاوي $\theta$.
حل حركة البندول في تقريب الزاوية الصغيرة
بما أن المعادلة أصبحت معادلة حركة توافقية بسيطة، فحلها يكون زاويًا جيبيًا أو جيبيًا تمامًا. الحل العام يمكن كتابته على الصورة:
$$
\theta(t) = \theta_\text{max}\cos(\omega t + \phi)
$$
حيث:
- $\theta_\text{max}$ سعة التأرجح الزاوية أي أقصى قيمة للزاوية،
- $\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}}$ التردد الزاوي للبندول في هذا التقريب،
- $\phi$ ثابت الطور يحدد موضع البندول عند الزمن $t = 0$.
يمكن أيضًا استخدام دالة جيب بدلاً من جيب التمام، والفرق يكون فقط في اختيار ثابت الطور. اختيار الشكل يعتمد على الشروط الابتدائية للحركة.
مثال على الحل في حالة خاصة:
إذا تم إزاحة البندول زاوية صغيرة $\theta_0$ ثم ترك من السكون، أي:
$$
\theta(0) = \theta_0, \quad \frac{d\theta}{dt}\Big|_{t=0} = 0
$$
يمكن اختيار الحل على صورة:
$$
\theta(t) = \theta_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}}\, t\right)
$$
في هذه الحالة، $ \theta_\text{max} = \theta_0 $ و $\phi = 0$.
الزمن الدوري للبندول الصغير
التردد الزاوي $\omega$ يرتبط بالزمن الدوري $T$ بالعلاقة العامة للحركة التوافقية البسيطة:
$$
\omega = \frac{2\pi}{T}
$$
باستخدام $\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}}$ نجد:
دورة البندول في تقريب الزاوية الصغيرة:
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
$$
هذا التعبير يبين عدة خصائص مهمة للبندول البسيط في هذا التقريب.
أولا، الزمن الدوري لا يعتمد على كتلة الثقل $m$، فالزمن الدوري نفسه بغض النظر عن كون الثقل حديدًا أو رصاصًا أو خشبًا، طالما بقيت الفرضيات الأخرى صحيحة.
ثانيًا، الزمن الدوري يعتمد على الجذر التربيعي لطول البندول $L$، فكلما ازداد الطول زاد الزمن الدوري، لكن ليس بشكل خطي بل بشكل جذري. إذا ضاعفنا الطول أربع مرات مثلاً، يصبح الزمن الدوري ضعف الزمن الأصلي.
ثالثًا، الزمن الدوري يعتمد على تسارع الجاذبية $g$، لذا فإن البندول في مكان ذي جاذبية أقل (مثل قمة جبل مرتفع) يملك زمنًا دوريًا أطول بقليل.
رابعًا، في هذا التقريب لا يظهر اعتماد على سعة التأرجح $\theta_\text{max}$، وهذا ما يسمى التساوي الزمني للبندول في الزوايا الصغيرة.
حدود تقريب الزاوية الصغيرة
تقريب $\sin\theta \approx \theta$ ليس صحيحًا لكل الزوايا، بل يعمل جيدًا فقط عندما تكون الزاوية صغيرة نسبيًا. عمليًا، غالبًا ما يعتبر التقريب جيدًا لزوايا أقل من نحو $10^\circ$ إلى $15^\circ$ تقريبًا، أي أقل من حوالي $0.2$ إلى $0.26$ راديان. كلما كبرت الزاوية ازداد الفرق بين الزمن الدوري الحقيقي والزمن الدوري المحسوب من العلاقة التقريبية.
يمكن فهم حدود التقريب من خلال مقارنة سلوك البندول الفعلي مع النموذج التوافقي البسيط. عند زوايا كبيرة، تصبح حركة البندول أبطأ قليلًا مما يتوقعه النموذج الخطي، ويزداد الزمن الدوري الفعلي. في هذه الحالة يجب الرجوع إلى المعادلة غير الخطية أو استخدام تقريبات أعلى رتبة.
رغم ذلك، في كثير من التطبيقات العملية، خصوصًا التعليمية والتجريبية البسيطة، الزوايا تكون صغيرة بما يكفي لجعل العلاقة التقريبية للزمن الدوري مفيدة ودقيقة إلى حد كبير.
البندول كتقريب لحركة توافقية بسيطة
البندول في تقريب الزوايا الصغيرة مثال على كيفية ظهور الحركة التوافقية البسيطة في أنظمة ليست خطية أساسًا. المعادلة الأصلية تحتوي على $\sin\theta$، لكن عندما تصبح الإزاحات الزاوية صغيرة، تسلك الحركة سلوكًا توافقيًا بسيطًا. هذه الفكرة تتكرر كثيرًا في الفيزياء، حيث يمكن تقريب حركات كثيرة على أنها توافقية بسيطة قرب وضع الاتزان.
المهم هنا أن ندرك أن البندول لا يكون حركة توافقية بسيطة حقيقية إلا في هذا الحد التقريبي، وأن وصفه بالتوافقي البسيط هو وصف تقريبي يتجاهل غير الخطية الناتجة عن $\sin\theta$.
تطبيقات عملية على البندول ذي الزاوية الصغيرة
استفيد من البندول الصغير في التاريخ كأداة لقياس الزمن. ساعات البندول كانت تعتمد على خاصية أن زمن التأرجح لا يعتمد في هذا التقريب على الكتلة وسعة الزاوية، ويُضبط الزمن الدوري عن طريق اختيار طول معين للبندول.
كما يستخدم البندول في التجارب التعليمية لقياس تسارع الجاذبية الأرضية. من خلال قياس الزمن الدوري بدقة لبندول ذي طول معلوم وزوايا صغيرة يمكن إيجاد $g$ من العلاقة:
$$
g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}
$$
هذه التطبيقات تفترض صحة نموذج الزاوية الصغيرة، لذا يحرص عادة على أن لا تكون سعة التأرجح كبيرة، وأن يكون الخيط خفيفًا والاحتكاك مهملًا قدر الإمكان.
مثال تطبيقي مبسط:
لو كان لدينا بندول طوله $L = 1.0 \text{ m}$، وتجاوزت زاويته القصوى $5^\circ$ فقط، نحسب زمنه الدوري تقريبًا من:
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{1.0}{9.8}} \approx 2.01 \text{ s}
$$
لو قمنا بقياس الزمن الذي يستغرقه البندول ليقوم بعشرين ذبذبة متتالية ووجدناه $40.2 \text{ s}$، فإن:
$$
T_\text{تجريبي} = \frac{40.2}{20} \approx 2.01 \text{ s}
$$
التوافق الجيد بين الزمن النظري والتجريبي يؤكد صلاحية تقريب الزاوية الصغيرة في هذه الحالة.
الطاقة في البندول ذي الزاوية الصغيرة
في نموذج البندول المثالي ذي الزاوية الصغيرة، يمكن وصف الحركة أيضًا من منظور الطاقة. طاقة البندول تتناوب بين طاقة كامنة جاذبية وطاقة حركية، ويُفترض أن مجموعهما ثابت مع الزمن في غياب الاحتكاك.
الارتفاع الرأسي للثقل بالنسبة لوضع التعادل يرتبط بالزاوية $\theta$. للزوايا الصغيرة يمكن تقريب الارتفاع بدلالة $\theta^2$، مما يؤدي في النهاية إلى أن الطاقة الكامنة تأخذ شكلًا تربيعيًا في $\theta$، وهذا يتوافق مع الصورة العامة للطاقة في الحركة التوافقية البسيطة.
في هذا التقريب، يمكن كتابة الطاقة الكلية على نحو يشبه طاقة نظام كتلة نابض لكن باستخدام إحداثي زاوي بدلًا من الإحداثي الخطي. هذا يؤكد مرة أخرى التشابه العميق بين البندول ذي الزاوية الصغيرة وبين أنظمة الحركة التوافقية البسيطة الأخرى.
ملخص خصائص البندول ذي الزاوية الصغيرة
في النهاية يمكن تلخيص السمات الرئيسة للبندول البسيط عند الزوايا الصغيرة على النحو الآتي. معادلة الحركة تصبح خطية وتأخذ شكل معادلة الحركة التوافقية البسيطة مع تردد زاوي $\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}}$. الزمن الدوري، في هذا التقريب، يساوي $T = 2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}$ ولا يعتمد على الكتلة ولا على سعة التأرجح ما دامت السعة صغيرة بما فيه الكفاية. الحركة الزاوية يمكن تمثيلها بدوال جيبية أو جيبية تمامة في الزمن. وأخيرًا، هذا النموذج يظهر كيف يمكن لنظام غير خطي في الأصل أن يسلك سلوكًا توافقيًا بسيطًا في حدود صغيرة قرب وضع الاتزان، وهي فكرة أساسية في دراسة الاهتزازات في الفيزياء.