Table of Contents
تمهيد عن قوى التخميد في الاهتزازات
في هذا الفصل نركّز على العنصر الذي يجعل الاهتزازات تخمد وتتناقص مع الزمن وهو قوى التخميد. في إطار الاهتزازات المخمدة نعتبر أن النظام يهتز كما في الحركة التوافقية البسيطة، لكن توجد قوة إضافية تعارض الحركة وتحوّل جزءا من الطاقة الميكانيكية إلى حرارة أو إلى أشكال أخرى من الطاقة غير القابلة للاسترجاع بسهولة.
قوى التخميد هي الترجمة الرياضية والفيزيائية لظاهرة “فقدان الطاقة” في المهتزات الواقعية، مثل كتلة تتحرك في سائل لزج أو نابض يهتز في الهواء أو أجزاء ميكانيكية تحتك ببعضها.
فكرة عامة عن قوة التخميد
قوة التخميد هي قوة مقاومة تظهر عندما يتحرك الجسم، وتكون دائما في عكس اتجاه السرعة. إذا كانت الإزاحة على المحور $x$ والسرعة $v = \dot x$ فإن قوة التخميد النموذجية تأخذ الشكل
$$
\vec F_d = - f(\dot x)\,\hat x
$$
حيث $f(\dot x)$ دالة تعتمد على السرعة، وعلامة السالب تعبّر عن أن اتجاه القوة يعاكس اتجاه الحركة.
في هذا الفصل نهتم أساسا بكيفية نمذجة $f(\dot x)$ في الحالات المختلفة، وما المعاني الفيزيائية لكل نموذج، وكيف ينعكس ذلك على معادلة الحركة في الاهتزازات المخمدة.
القوة المخمِّدة دائما تعاكس السرعة:
$$
F_d\,\dot x \le 0
$$
وبالتالي فهي تقلّل الطاقة الميكانيكية للنظام مع الزمن.
التخميد اللزج (التخميد التناسبي مع السرعة)
النموذج الرياضي
أبسط وأشهر أنواع قوى التخميد هو التخميد اللزج، حيث تكون القوة متناسبة خطيا مع السرعة:
$$
F_d = - b \,\dot x
$$
حيث $b$ ثابت موجب يسمى معامل التخميد، ويقاس في النظام الدولي بوحدة $\text{N·s/m}$.
عندما يطبّق هذا النموذج على مهتز كتلة نابض كتلتُه $m$ وثابتُه $k$ نحصل على معادلة الحركة
$$
m \ddot x + b \dot x + k x = 0
$$
وهذه هي المعادلة الأساسية للاهتزازات المخمدة ذات التخميد اللزج. تحليل حلول هذه المعادلة ودراسة أنواع التخميد، مثل التخميد الناقص والزائد والحرج، يتم في فصل لاحق، لذلك نركّز هنا فقط على دور قوة التخميد نفسها.
نموذج قوة التخميد اللزج:
$$
F_d = - b \dot x
$$
التفسير الفيزيائي لمعامل التخميد
كلما كان $b$ أكبر كانت القوة المقاومة أكبر عند نفس السرعة، فيخمد الاهتزاز أسرع، ويضيع مقدار أكبر من الطاقة في كل دورة.
في الأنظمة الميكانيكية الحقيقية يمكن أن يرتبط $b$ بخصائص الوسط المحيط، مثل لزوجة السائل أو الاحتكاك في المحامل أو لزوجة مادة مرنة. في كثير من التجارب المعملية يتم تعديل قيمة $b$ بالتحكم في لزوجة السائل أو مساحة السطح المعرض للحركة.
علاقة التخميد بسرعة الجسم واتجاهه
في التخميد اللزج، إذا كانت السرعة موجبة فإن $F_d$ سالبة، وإذا كانت السرعة سالبة فإن $F_d$ موجبة. أي أن القوة دائما تحاول إبطاء الحركة:
$$
\text{إذا } \dot x > 0 \Rightarrow F_d < 0,\quad
\text{وإذا } \dot x < 0 \Rightarrow F_d > 0
$$
تعبير آخر لذلك هو أن القدرة التي تستهلكها قوة التخميد تساوي
$$
P_d = F_d \dot x = - b\, \dot x^2 \le 0
$$
إشارة السالب هنا تعني أن الطاقة الميكانيكية للنظام تنقص مع الزمن، والفرق يذهب إلى حرارة أو اضطراب في الوسط.
التخميد بسبب مقاومة المائع
في الأنظمة التي تتحرك في سوائل أو غازات، مثل الكرة التي تسقط في الزيت أو البندول الذي يهتز في الهواء، تنشأ قوة مقاومة من الوسط تسمى أحيانا مقاومة المائع. يمكن تقريب هذه القوة بصيغ مختلفة حسب سرعة الحركة وحجم الجسم.
مقاومة متناسبة مع السرعة
عند السرعات الصغيرة، وفي حالة أبعاد صغيرة نسبيا، تكون قوة مقاومة المائع تقريبيا متناسبة مع السرعة. مثال مشهور هو قانون ستوكس لجسم كروي نصف قطره $R$ يتحرك في سائل لزج ذي لزوجة ديناميكية $\eta$ بسرعة $v$:
$$
F_d = - 6 \pi \eta R v
$$
هذا التعبير له الشكل $F_d = - b v$، أي أنه يتوافق تماما مع نموذج التخميد اللزج الخطي، حيث
$$
b = 6 \pi \eta R
$$
في هذه الحالات نستخدم النموذج الخطي لقوة التخميد بثقة كبيرة، خصوصا عندما تكون أرقام رينولدز صغيرة ويتحرك الجسم ببطء.
مقاومة متناسبة مع مربع السرعة
عند السرعات الأعلى، خصوصا في الهواء أو السوائل عند أرقام رينولدز كبيرة، تصبح القوة المقاومة تقريبا متناسبة مع مربع السرعة:
$$
F_d = - C_D \, \frac{1}{2}\,\rho\, A\, v^2 \,\text{sgn}(v)
$$
حيث
$\rho$ كثافة المائع
$A$ مساحة المقطع العرضي للجسم المواجه للحركة
$C_D$ معامل السحب ويعتمد على شكل الجسم وحالته السطحية
$\text{sgn}(v)$ تعطي إشارة السرعة حتى تبقى القوة معاكسة للحركة.
غالبا ما يُكتب هذا على صورة
$$
F_d = - c\, v\,|v|
$$
حيث $c$ ثابت موجب يجمع المعاملات كلها، مثل $C_D$ و$\rho$ و$A$ وغير ذلك.
هذا النوع من التخميد يسمى تخميدا غير خطي لأنه يعتمد على مربع السرعة، وليس مجرد تناسب خطي معها. في دراسة الاهتزازات المخمدة المبسطة يفضَّل غالبا تجاهل هذا التفصيل واعتماد النموذج الخطي، لكن في التطبيقات العملية السريعة مثل السيارات والطيور والطائرات يصبح التخميد غير الخطي أكثر واقعية.
التخميد الجاف (الاحتكاك الانزلاقي)
طبيعة التخميد الجاف
نوع آخر من قوى التخميد يظهر في الأنظمة التي يتحرك فيها جسم صلب على سطح خشن. القوة هنا هي قوة احتكاك انزلاقي تقريبا ثابتة المقدار وتعتمد على اتجاه الحركة فقط، وليس على مقدار السرعة.
النموذج البسيط لقوة الاحتكاك الانزلاقي هو
$$
F_f = - \mu_k N\,\text{sgn}(\dot x)
$$
حيث
$\mu_k$ معامل الاحتكاك الحركي
$N$ قوة رد الفعل العمودية من السطح
$\text{sgn}(\dot x)$ تعطي إشارة السرعة.
تسمى هذه الحالة أحيانا "التخميد الجاف" لأنها تشبه احتكاك جسمين صلبين بلا زيوت أو مواد لزجة بينهما.
قوة الاحتكاك الانزلاقي كنموذج لتخميد جاف:
$$
F_d = - \mu_k N\,\text{sgn}(\dot x)
$$
الفرق بين التخميد الجاف والتخميد اللزج
في التخميد اللزج، يزداد مقدار قوة التخميد بزيادة السرعة، بينما في التخميد الجاف يبقى مقدار القوة تقريبا ثابتا بغض النظر عن قيمة السرعة، ويغيّر فقط اتجاهه.
هذا الفارق يؤدي إلى سلوك مختلف تماما للاهتزازات
في التخميد اللزج يتناقص سعة الاهتزاز عادة بصورة أسية مع الزمن
في التخميد الجاف تنقص السعة تقريبا بمقدار ثابت في كل نصف دورة، لأن الأعمال المنجَزة بواسطة قوة الاحتكاك في كل ذهاب وإياب تكون شبه ثابتة.
بما أن تحليل الحركة مع احتكاك جاف غير خطي، فإن المعادلة التفاضلية للنظام تصبح أصعب بكثير من الحالة الخطية، لذلك يُكتفى غالبا بدراسات تقريبية أو عددية لهذه الأنظمة.
التخميد الداخلي في المواد
ليست كل قوى التخميد ظاهرة على شكل احتكاك خارجي أو مقاومة غاز أو سائل. بعض المواد نفسها تمتص جزءا من الطاقة عند تشوهها وعودتها إلى شكلها الأصلي. هذه الظاهرة تسمى التخميد الداخلي أو التخميد الهستيري.
في المواد المثالية التي تخضع تماما لقانون هوك تكون العلاقة بين القوة والإزاحة خطية ومحافظة، فلا يضيع أي مقدار من الطاقة في دورة تحميل وتفريغ. أما في المواد الحقيقية فغالبا ما يظهر منحنى علاقة القوة بالإزاحة على شكل حلقة هستيرية، والمساحة داخل الحلقة تمثل الطاقة المفقودة في كل دورة.
في النمذجة البسيطة قد يعبَّر عن التخميد الداخلي بمصطلح يعادل التخميد اللزج، أي وجود معامل تخميد فعال $b_{\text{eff}}$ مضاف في معادلة الحركة. في نماذج أكثر تقدما قد تُستخدم قوانين مادة معقدة أو عناصر نمطية مثل عناصر "كالڤن فوغت" و"ماكسويل" التي تجمع بين نابض ومخمّد في سلسلة أو تواز.
قوى التخميد في الأنظمة الكهربية والمكافئ الميكانيكي
في الأنظمة الكهربائية التناظرية، مثل دارة $RLC$، يمكن تفسير جزء من فقدان الطاقة على أنه تخميد. على سبيل المثال، في دارة:
مقاومة R على التوالي مع ملف حث L ومكثف Cيفقد جزء من طاقة الاهتزاز الكهربي في المقاومة $R$ على شكل حرارة. رياضيا، معادلة الشحنة أو التيار تشبه كثيرا معادلة الاهتزاز المخمد ذات التخميد اللزج، ويمكن الربط بين
المقاومة $R$
ومعامل التخميد الميكانيكي $b$
من خلال تشابه العلاقات الرياضية. هذا التشابه مفيد لابتكار نماذج مهتزة باستخدام الكهرباء لفهم سلوك المهتزات الميكانيكية، والعكس.
تأثير قوى التخميد على الطاقة في المهتزات
وجود أي نوع من قوى التخميد يعني أن معدل تغير الطاقة الميكانيكية ليس صفرا، بل يصبح سالبا. إذا كانت الطاقة الميكانيكية الكلية للنظام $E$ فإن
$$
\frac{dE}{dt} = P_{\text{خوا}} = F_d \dot x
$$
في حالة التخميد اللزج على سبيل المثال
$$
\frac{dE}{dt} = - b\, \dot x^2 \le 0
$$
من هنا يتضح أن قوى التخميد تلعب دور "المصارف" التي تنقل الطاقة من النظام المهتز إلى الوسط المحيط. معدل فقدان الطاقة يعتمد على نوع القوة، فالتخميد النسبـي مع السرعة يختلف عن التخميد النسبي مع مربع السرعة، وعن الاحتكاك الجاف.
نمذجة قوى التخميد في معادلة الحركة
في أي نظام اهتزازي بسيط من نوع كتلة نابض مهملة الوزن يمكن كتابة معادلة الحركة العامة بالشكل
$$
m \ddot x + F_{\text{تخميد}}(\dot x) + k x = 0
$$
يختار شكل $F_{\text{تخميد}}(\dot x)$ حسب نوع التخميد المسيطر في النظام
للتخميد اللزج:
$$
F_{\text{تخميد}}(\dot x) = b \dot x
$$
للتخميد غير الخطي من نوع مربع السرعة:
$$
F_{\text{تخميد}}(\dot x) = c \dot x |\dot x|
$$
للاحتكاك الجاف:
$$
F_{\text{تخميد}}(\dot x) = \mu_k N\,\text{sgn}(\dot x)
$$
في التطبيقات العملية قد يكون النظام مزيجا من عدة أنواع من التخميد، ففي هذه الحالة تُجمع قوى التخميد كلها ضمن حد واحد فعال أو تُدرس التأثيرات المختلفة بصورة منفصلة بالتحليل العددي أو التجريبي.
مثال مبسط
اعتبر كتلة كتلتها $m$ متصلة بنابض ثابتُه $k$ وتتحرك أفقيا على سطح أفقي، ومحاطة بسائل لزج يوفر قوة تخميد لزج $F_d = - b \dot x$.
معادلة الحركة هي:
$$
m \ddot x + b \dot x + k x = 0
$$
بتغير قيمة $b$ يمكن للطالب في تجربة مخبرية أن يلاحظ كيف أن الاهتزازات تتلاشى بسرعة عندما يكون التخميد كبيرا، وكيف تعيش لعدد كبير من الدورات عندما يكون التخميد ضعيفا جدا.
اعتبارات عملية في تصميم التخميد
في الأنظمة الهندسية لا يكون الهدف دائما تقليل التخميد إلى الصفر. في بعض الأحيان يكون المطلوب تخميدا قويا لتخفيف الاهتزازات، وفي أحيان أخرى يكون المطلوب تخميدا ضعيفا للمحافظة على الطاقة.
في السيارات مثلا تستخدم ممتصات الصدمات، وهي أجهزة تعتمد على حركة زيت في ممرات ضيقة لتوليد قوة تخميد لزج تقريبا، لضمان عدم استمرار اهتزاز هيكل السيارة بعد المرور على مطب أو حفرة.
في الساعات الميكانيكية أو الأدوات الدقيقة، يختار المصمم مواد وتركيبات تقلل التخميد الداخلي والاحتكاك إلى أدنى حد، للمحافظة على انتظام التذبذبات.
فهم طبيعة قوى التخميد وكيفية نمذجتها في المعادلات هو خطوة أساسية لتفسير كل هذه الظواهر ولمتابعة دراسة أنواع الاهتزازات المخمدة المختلفة في الفصول اللاحقة.