Table of Contents
تمهيد عن الرمي الأفقي
في المعادلة العامة للحركة تمت صياغة حركة جسم في بعد واحد تحت تسارع ثابت. في الرمي الأفقي نستفيد من هذه المعادلة، لكن في بعدين في آن واحد، حيث يتحرك الجسم أفقيا بسرعة ثابتة، وعموديا تحت تأثير الجاذبية فقط. الرمي الأفقي حالة خاصة بسيطة من حركة المقذوفات، لذلك يعد مثالا تدريبيا ممتازا على تحليل الحركة في بعدين وفصل مركبتيها.
في هذا الفصل سنركز على الصيغة الرياضية الخاصة بالرمي الأفقي، وعلى كيفية تحليل المسار وزمن الحركة والمدى الأفقي، دون الخوض في حالات الزوايا العامة التي تُترك لفصل حركة المقذوفات.
وصف حركة الجسم في الرمي الأفقي
نتخيل جسما يُقذف من حافة طاولة أفقية، بسرعة أفقية ابتدائية $v_0$، من ارتفاع رأسي $h$ عن سطح الأرض. نفترض ما يلي في نموذج الرمي الأفقي المثالي.
أولا، سطح الإطلاق أفقي تماما، أي أن زاوية الإطلاق مع الأفقي تساوي صفرا. ثانيا، السرعة الابتدائية محصورة في الاتجاه الأفقي فقط، أي أن المركبة الرأسية للسرعة الابتدائية تساوي صفرا. ثالثا، إهمال مقاومة الهواء، فلا تؤثر أي قوة أفقية على الجسم بعد الإطلاق. رابعا، الجاذبية هي القوة الوحيدة المؤثرة، وتُحدث تسارعا رأسيا مقداره $g$ متجها نحو الأسفل.
من هذه الفرضيات نحصل مباشرة على خاصيتين مهمتين. حركة الجسم الأفقية منتظمة بسرعة ثابتة، لأن التسارع الأفقي منعدم. حركة الجسم الرأسية سقوط حر ابتدائيه من السكون، لأن السرعة الرأسية الابتدائية صفر والتسارع ثابت يساوي $g$ نحو الأسفل.
في الرمي الأفقي، لا توجد أي قوة تدفع الجسم أفقيا بعد لحظة الإطلاق، ومع ذلك يستمر في الحركة الأفقية بسرعة ثابتة. هذا تطبيق مباشر لقانون نيوتن الأول، وليس دليلا على وجود "قوة خفية" تدفع الجسم.
معادلات الحركة في البعدين
نختار نقطة الإطلاق كنقطة الأصل للنظام الإحداثي. يكون المحور $x$ أفقيا موجبا في اتجاه الرمي، والمحور $y$ رأسيا موجبا إلى الأعلى. عند اللحظة $t = 0$ تكون إحداثيات الجسم
$$
x(0) = 0, \quad y(0) = 0
$$
وتكون مركبتا السرعة الابتدائية
$$
v_{0x} = v_0, \quad v_{0y} = 0
$$
المعادلات الأفقية
التسارع الأفقي صفر
$$
a_x = 0
$$
لذلك تظل السرعة الأفقية ثابتة
$$
v_x(t) = v_0
$$
ويكون موضع الجسم الأفقي دالة خطية في الزمن
$$
x(t) = v_0 t
$$
المعادلات الرأسية
التسارع الرأسي ثابت ويساوي
$$
a_y = -g
$$
حيث الإشارة السالبة تعني أن التسارع باتجاه الأسفل. بما أن السرعة الرأسية الابتدائية تساوي صفرا نحصل على
$$
v_y(t) = -g t
$$
وموضع الجسم الرأسي
$$
y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 = -\frac{1}{2} g t^2
$$
في هذه الصورة تكون $y$ سالبة عندما يهبط الجسم تحت مستوى الإطلاق. أحيانا يكون من الأنسب قياس $y$ من سطح الأرض إلى أعلى، لكن هذا يغيّر فقط ثابت البداية ولا يغيّر شكل العلاقات الزمنية أو المسار.
زمن السقوط من ارتفاع معلوم
في المسائل العملية غالبا نعرف ارتفاع نقطة الإطلاق عن سطح الأرض، ولنرمز إليه بـ $h$. إذا اخترنا $y = 0$ على مستوى الإطلاق، فإن موضع الجسم عند الارتطام بالأرض يساوي $y = -h$. نستخدم معادلة الموضع الرأسي
$$
y(t) = -\frac{1}{2} g t^2
$$
وعند لحظة الوصول إلى الأرض
$$
-h = -\frac{1}{2} g t^2
$$
ومنها
$$
t^2 = \frac{2h}{g}
$$
إذن زمن السقوط من الارتفاع $h$ في الرمي الأفقي يساوي
$$
t_{\text{سقوط}} = \sqrt{\frac{2h}{g}}
$$
لاحظ أن هذا الزمن لا يعتمد على السرعة الأفقية الابتدائية $v_0$. في غياب مقاومة الهواء، يستغرق الجسم نفس الزمن ليسقط من الارتفاع $h$ سواء أطلق أفقيا بسرعة كبيرة أو صغيرة أو ترك ليسقط سقوطا حرا دون سرعة أفقية.
مثال عددي
جسم يُقذف أفقيا من حافة بناية ارتفاعها $h = 20 \,\text{m}$، وخذ $g = 9.8 \,\text{m/s}^2$. زمن السقوط
$$
t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{9.8}} \approx \sqrt{4.08} \approx 2.02 \,\text{s}
$$
هذا تماما هو زمن سقوط جسم يُترك من السكون من نفس الارتفاع، لأن الحركة الرأسية مستقلة عن السرعة الأفقية في نموذجنا.
المدى الأفقي في الرمي الأفقي
المدى الأفقي هو المسافة الأفقية التي يقطعها الجسم من نقطة الإطلاق حتى نقطة وصوله إلى سطح الأرض. من المعادلة الأفقية
$$
x(t) = v_0 t
$$
وباستخدام زمن السقوط الذي وجدناه نحصل على المدى
$$
R = x(t_{\text{سقوط}}) = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}
$$
هنا يظهر بوضوح أن المدى يزداد خطيا مع السرعة الأفقية الابتدائية، كما يزداد مع الجذر التربيعي للارتفاع، ويتناقص مع الجذر التربيعي لتسارع الجاذبية.
مثال عددي
لنأخذ المثال السابق نفسه، ارتفاع $h = 20 \,\text{m}$، لكن الآن السرعة الأفقية الابتدائية $v_0 = 10 \,\text{m/s}$. وجدنا زمن السقوط
$$
t \approx 2.02 \,\text{s}
$$
إذن المدى الأفقي
$$
R = v_0 t \approx 10 \times 2.02 \approx 20.2 \,\text{m}
$$
إذا ضاعفنا السرعة الابتدائية إلى $20 \,\text{m/s}$، بينما يبقى الارتفاع نفسه، يصبح المدى تقريبا $40.4 \,\text{m}$، أي تضاعف المدى تماما.
معادلة مسار الرمي الأفقي
يمكن الحصول على معادلة المسار أو المعادلة التي تربط $y$ بـ $x$ مباشرة دون ذكر الزمن، عن طريق حذف $t$ من المعادلات الزمنية. لدينا
$$
x(t) = v_0 t \quad \Rightarrow \quad t = \frac{x}{v_0}
$$
والحركة الرأسية
$$
y(t) = -\frac{1}{2} g t^2
$$
بتعويض $t = x / v_0$ في العلاقة الرأسية نحصل على
$$
y = -\frac{1}{2} g \left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = -\frac{g}{2 v_0^2} x^2
$$
هذه المعادلة تمثل قطعاً مكافئا مفتوحا إلى الأسفل. الثابت $\dfrac{g}{2 v_0^2}$ يحدد "انحناء" المسار، فكلما زادت السرعة الأفقية الابتدائية قل الانحناء وأصبح المسار أقرب إلى خط مستقيم في الجزء القريب من نقطة الإطلاق.
لا توجد أي مرحلة "حركة أفقية فقط" ثم "سقوط رأسي فقط". يتحرك الجسم في مسار منحني منذ اللحظة الأولى. ما يحدث أن المركبة الأفقية للسرعة تبقى ثابتة، بينما تزداد المركبة الرأسية مع الزمن، فتبدو الحركة في البداية أفقية تقريبا ثم تزداد انحناءً مع استمرار السقوط.
السرعة واتجاهها أثناء الرمي الأفقي
معادلات مركبتي السرعة هي
$$
v_x = v_0, \quad v_y = -g t
$$
مقدار السرعة الكلية عند أي زمن هو
$$
v(t) = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + (g t)^2}
$$
وهي تزداد مع الزمن لأن المركبة الرأسية تنمو خطيا مع $t$.
زاوية السرعة مع المحور الأفقي، ولنسميها $\theta$، يمكن إيجادها من العلاقة المثلثية
$$
\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{-g t}{v_0}
$$
في البداية عند $t = 0$ تكون $\theta = 0$، أي أن متجه السرعة أفقي تماما. مع مرور الزمن تصبح $\theta$ سالبة لأن السرعة تكتسب مركبة رأسية نحو الأسفل، وهذا يطابق المسار المنحني نحو الأسفل.
مثال على زاوية السرعة
في المثال السابق، $v_0 = 10 \,\text{m/s}$، بعد زمن $t = 1 \,\text{s}$
$$
v_x = 10 \,\text{m/s}, \quad v_y = -9.8 \,\text{m/s}
$$
إذن
$$
\tan \theta = \frac{-9.8}{10} \approx -0.98
$$
ومنها $\theta \approx -44^\circ$ تقريبا، أي أن متجه السرعة يميل إلى الأسفل بزاوية تقارب $44^\circ$ تحت الأفق.
الاستقلال بين الحركة الأفقية والرأسية في الرمي الأفقي
من خلال المعادلات السابقة نلاحظ ظاهرة جوهرية في الكينماتيكا، وهي أن الحركة في الاتجاه الأفقي لا تؤثر في الحركة في الاتجاه الرأسي والعكس. في نموذج الرمي الأفقي المثالي.
المسافة الأفقية تعتمد على $v_0$ والزمن، بينما لا يظهر $v_0$ في معادلة الموضع الرأسي. زمن السقوط يعتمد على الارتفاع $h$ وتعيّنُه الجاذبية فقط، ولا يتأثر بقيمة السرعة الأفقية الابتدائية. يمكن النظر إلى الرمي الأفقي على أنه تركيب لحركتين مستقلتين. حركة أفقية منتظمة بسرعة ثابتة. حركة رأسية سقوط حر من السكون. ما يربطهما هو الزمن المشترك فقط.
هذا المبدأ يعد أساسيا عند الانتقال لاحقا إلى دراسة حركة المقذوفات العامة، وحالات أخرى من الحركة في بعدين أو ثلاثة أبعاد، حيث يصبح تحليل كل مركبة على حدة أداة رئيسية في حل المسائل.
استخدام المعادلة العامة للحركة في حل مسائل الرمي الأفقي
في الرمي الأفقي نستخدم الصيغ ذاتها للمعادلة العامة للحركة ذات التسارع الثابت، ولكن لكل اتجاه على حدة. المعادلة العامة للحركة في بعد واحد هي
$$
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
$$
ويمكن استعمالها في الاتجاهين الأفقية والرأسي بتحديد القيم المناسبة.
في الاتجاه الأفقي نضع
$$
x_0 = 0, \quad v_0 = v_0, \quad a = 0
$$
فنحصل مباشرة على $x = v_0 t$.
في الاتجاه الرأسي نضع
$$
y_0 = 0, \quad v_0 = 0, \quad a = -g
$$
فنحصل على $y = -\frac{1}{2} g t^2$.
أي مسألة في الرمي الأفقي يمكن حلها تقريبا انطلاقا من هذه الصيغ البسيطة، مع الانتباه الدقيق لتعريف الإحداثيات والإشارات، ولما هو معلوم وما هو مجهول بين الكميات $h$ و $v_0$ و $R$ و $t$.
مثال تطبيقي كامل
كرة تُطلق أفقيا من ارتفاع $h = 45 \,\text{m}$ بسرعة أفقية $v_0 = 15 \,\text{m/s}$. أوجد:
أولا، زمن السقوط. نستخدم الحركة الرأسية
$$
h = \frac{1}{2} g t^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{9.8}} \approx \sqrt{9.18} \approx 3.03 \,\text{s}
$$
ثانيا، المدى الأفقي
$$
R = v_0 t \approx 15 \times 3.03 \approx 45.5 \,\text{m}
$$
ثالثا، مقدار السرعة عند الارتطام
$$
v_x = 15 \,\text{m/s}, \quad v_y = -g t \approx -9.8 \times 3.03 \approx -29.7 \,\text{m/s}
$$
$$
v = \sqrt{15^2 + 29.7^2} \approx \sqrt{225 + 882} \approx \sqrt{1107} \approx 33.3 \,\text{m/s}
$$
رابعا، زاوية السرعة مع الأفقي
$$
\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} \approx \frac{-29.7}{15} \approx -1.98
$$
إذن $\theta \approx -63^\circ$ تحت الأفق.
بهذا يتضح أن الرمي الأفقي مثال نموذجي يبرز تطبيق المعادلة العامة للحركة في بعدين، ويهيئ الطريق لفهم حركة المقذوفات في الحالة العامة عندما لا يكون اتجاه الإطلاق أفقيا.