Table of Contents
معنى الرنين في الاهتزازات القسرية
عندما درسنا الاهتزازات القسرية رأينا أن النظام المهتز يمكن أن يتعرض لقوة دورية خارجية ذات تردد معيّن. في معظم القيم لتردد القوة تكون الاستجابة محدودة. لكن يوجد تردد معيّن أو مجموعة ترددات خاصة يزداد عندها سعة الاهتزاز زيادة كبيرة. هذه الظاهرة تسمى الرنين.
الرنين هو إذاً حالة استجابة قصوى لنظام مهتز خاضع لقوة دورية عندما يكون تردد القوة قريباً من تردد معيّن مرتبط بخصائص النظام نفسه. في غياب التخميد يكون هذا التردد هو التردد الطبيعي للنظام. مع وجود التخميد ينزاح تردد الرنين قليلاً عن التردد الطبيعي كما سنرى.
الرنين ليس خاصاً بالأنظمة الميكانيكية فقط. يوجد رنين في الدوائر الكهربائية، وفي تجاوِف الصوت، وفي البنى الجزيئية والذرية، لكننا سنركز هنا على الصورة الميكانيكية البسيطة.
معادلة الحركة تحت تأثير قوة دورية
في الاهتزازات القسرية درسنا حركة كتلة موصولة بنابض مع تخميد وقوة جيبية. نعيد هنا الشكل الرياضي فقط من غير اشتقاق مفصل لأنه تناول في موضع آخر.
لنعتبر نظام الكتلة والنابض مع تخميد، حيث تؤثر قوة خارجية دورية
$F(t) = F_0 \cos(\omega t)$.
معادلة الحركة على المحور الأفقي يمكن كتابتها على الصورة
$$
m \ddot x + b \dot x + k x = F_0 \cos(\omega t),
$$
حيث
$m$ الكتلة,
$k$ ثابت النابض,
$b$ معامل التخميد (قوة احتكاك لزجة متناسبة مع السرعة),
$\omega$ التردد الزاوي للقوة الخارجية.
الحل الكامل يتكوّن من جزأين, حل عابر (يتلاشى مع الزمن بسبب التخميد) وحل مستقر أو حالة مستقرة. في دراسة الرنين نهتم أساساً بالحالة المستقرة, أي الحركة بعد مرور زمن كاف حيث تزول الآثار المؤقتة ويصبح النظام يهتز بنفس تردد القوة الخارجية.
الاستجابة في الحالة المستقرة
في الحالة المستقرة يهتز الموضع $x(t)$ بتردد مساوي لتردد القوة الخارجية $\omega$, لكن بسعة وطور يختلفان عن سعة القوة وطورها. يمكن كتابة الحل المستقر على شكل
$$
x(t) = X(\omega) \cos(\omega t - \phi),
$$
حيث
$X(\omega)$ سعة الاهتزاز المستقر, وهي تعتمد على التردد $\omega$,
$\phi$ فرق الطور بين القوة والإزاحة.
بالتعويض في معادلة الحركة (والتركيز على الحالة المستقرة) يمكن الحصول على تعبير لسعة الاستجابة كدالة في التردد
$$
X(\omega) = \frac{F_0}{\sqrt{\big(k - m\omega^2\big)^2 + (b\omega)^2}}.
$$
سعة الاستجابة في الحالة المستقرة لنظام كتلة نابض مخمّد تحت قوة جيبية:
$$
X(\omega) = \frac{F_0}{\sqrt{\big(k - m\omega^2\big)^2 + (b\omega)^2}}.
$$
هذه العلاقة هي الأساس الكمي لفهم الرنين. الرنين يحدث عند القيم من $\omega$ التي يكون عندها $X(\omega)$ أعظم ما يمكن.
تردد الرنين في الأنظمة المخمّدة
في غياب التخميد, أي عندما يكون $b = 0$, تصبح السعة
$$
X(\omega) = \frac{F_0}{|k - m\omega^2|}.
$$
في هذه الحالة تتجه السعة إلى المالانهاية عندما يقترب $k - m\omega^2$ من الصفر, أي عندما
$$
k - m\omega^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega = \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}.
$$
إذن في النظام غير المخمّد يحدث الرنين الدقيق عند التردد الطبيعي $\omega_0$ ويسمى هذا الرنين المثالي. طبعاً في الواقع لا يوجد نظام بلا تخميد تماماً, لذا لا تصل السعة إلى مالانهاية, لكن يمكن أن تصبح كبيرة جداً إذا كان التخميد ضعيفاً.
عند وجود تخميد, أي $b \neq 0$, لن تصبح السعة لا متناهية, بل ستأخذ قيمة عظمى منتهية عند تردد قريب من $\omega_0$. لإيجاد هذا التردد الأعظمي يمكن الرياضياً إيجاد قيمة $\omega$ التي تعظّم $X(\omega)$ أو تعظّم $X^2(\omega)$.
بعض المعالجة الرياضية تعطي تردد الرنين في النظام المخمّد
$$
\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2},
$$
حيث عرفنا
$$
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad
\beta = \frac{b}{2m}
$$
هي معدل التخميد.
تردد الرنين لنظام كتلة نابض مع تخميد لزج:
$$
\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2},
$$
حيث $\omega_0$ التردد الطبيعي غير المخمّد, و$\beta = \dfrac{b}{2m}$ معامل التخميد.
نلاحظ أمرين مهمين
- عند تخميد ضعيف جداً بحيث $\beta \ll \omega_0$ يكون $\omega_r \approx \omega_0$. أي يكاد تردد الرنين يساوي التردد الطبيعي.
- كلما ازداد التخميد (كبرت $\beta$) ينخفض تردد الرنين عن $\omega_0$, بل وعند تخميد كبير بما فيه الكفاية لا يعود هناك قمة حادة واضحة في السعة, وبالتالي يضعف تأثير الرنين بشكل كبير.
سعة الرنين وأثر التخميد
من المهم ملاحظة كيف تؤثر قيمة التخميد في ارتفاع قمة الرنين. إذا عوّضنا $\omega = \omega_r$ في $X(\omega)$ نجد أن السعة العظمى تتناسب عكسياً تقريباً مع $b$ عندما يكون التخميد ضعيفاً. يمكن إظهار أن
$$
X_\text{max} \approx \frac{F_0}{b\omega_0}
$$
في حالة التخميد الضئيل.
عند تخميد ضعيف, تكون السعة الأعظمية للرنين تقريباً
$$
X_\text{max} \approx \frac{F_0}{b\omega_0}.
$$
كلما قلّ التخميد, زادت سعة الرنين.
هذا يعني أن الأنظمة قليلة التخميد تستجيب بقوة للرنين حتى لو كانت القوة الخارجية صغيرة, بينما الأنظمة ذات التخميد الكبير لا تظهر فيها قمة رنين حادة بل استجابة عريضة ضعيفة.
من الناحية الفيزيائية, التخميد يمتص الطاقة من النظام ويحاول الحد من تراكم الطاقة التي تضخها القوة الخارجية في التردد الرنيني. عندما يكون التخميد صغيراً تستطيع القوة الخارجية أن تضيف كمية من الطاقة في كل دورة أكبر بكثير من الطاقة المفقودة, فتنمو السعة حتى تحدها عوامل غير خطية أو حدود المواد. في الحالة المثالية الرياضية بلا تخميد تبدأ السعة بالنمو بلا حدود في الزمن عند الرنين, وهو ما يجعل هذه الحالة غير واقعية.
منحنى الاستجابة والتردد
من المفيد تخيل منحنى لسعة الاستجابة $X(\omega)$ بدلالة التردد $\omega$. هذا المنحنى يسمى أحياناً منحنى الرنين أو منحنى الاستجابة الترددية.
في حالة تخميد ضعيف يكون المنحنى حاداً, أي أن السعة تكون كبيرة فقط في منطقة ضيقة حول $\omega_r$, وتتناقص سريعاً عندما نبتعد عن هذا التردد. في هذه الحالة نقول إن النظام "منتقى للتردد" أو ذو "انتقائية ترددية" عالية ويستجيب لقيم تردد محددة بدقة.
مع زيادة التخميد تصبح القمة أكثر انبساطاً وأوسع, فتقل السعة العظمى ويصبح النظام أقل انتقائية للتردد. هذه الأفكار جوهرية في فهم عمل المرشحات الترددية في الإلكترونيات, وأيضاً في تصميم الأجهزة الميكانيكية المعرضة لاهتزازات متعددة الترددات.
في التطبيقات العملية كثيراً ما يهمنا أن نعرف ليس فقط قيمة $\omega_r$ بل أيضاً عرض القمة, أي مدى الترددات حول الرنين التي ما تزال الاستجابة فيها كبيرة نسبياً. هذا يقود إلى مفهوم عامل النوعية أو عامل الجودة $Q$ الذي يقيس حدة الرنين, لكنه عادة يدرس بشكل موسع في موضع آخر.
فرق الطور عند الرنين
بالإضافة إلى السعة, يتغير فرق الطور $\phi$ بين القوة والإزاحة مع التردد. التعبير الرياضي لفرق الطور في النظام المخمّد يمكن كتابته على الشكل
$$
\tan \phi = \frac{b\omega}{k - m\omega^2}.
$$
هذه العلاقة تبين أن الطور أيضاً "يرن" أي يمر بتغير حاد نسبياً حول التردد الطبيعي.
لننظر إلى ثلاثة مجالات للتردد
- عند الترددات الصغيرة جداً, أي $\omega \ll \omega_0$, يكون $k \gg m\omega^2$ فيكون المقام موجباً وكبيراً مقارنة بالبسط, فيصبح $\phi \approx 0$. الإزاحة تقريباً في الطور مع القوة.
- عند الترددات الكبيرة جداً, أي $\omega \gg \omega_0$, يسيطر الحد $m\omega^2$ في المقام ويصبح سالباً كبيراً في القيمة المطلقة, بينما البسط يبقى محدوداً. النتيجة أن $\phi \approx \pi$ تقريباً, أي أن الإزاحة تصير عكس طور القوة.
- عند التردد الطبيعي تقريباً, يصبح المقام صغيراً في القيمة المطلقة, فتقترب $\tan\phi$ من قيم كبيرة, وفي حالة تخميد ضعيف يكون $\phi \approx \dfrac{\pi}{2}$, أي أن الإزاحة تتأخر عن القوة بربع دورة تقريباً عند الرنين.
في كثير من التطبيقات يكون طور الاستجابة مهماً بقدر أهمية سعتها, خصوصاً عندما تتداخل اهتزازات متعددة أو عندما نرغب في إلغاء الاهتزاز بدلاً من تضخيمه.
الرنين وانتقال الطاقة
يمكن فهم الرنين أيضاً من زاوية انتقال الطاقة. في نظام مهتز يتبادل النظام الطاقة بين أشكال مختلفة, مثلاً بين طاقة حركية وطاقة وضع مرونية في نظام كتلة نابض. عندما تؤثر قوة دورية على النظام يمكن أن تضخ الطاقة في النظام أو تسحبها منه, حسب فرق الطور بينها وبين حركة النظام.
عند التردد الرنيني وفي الحالة المستقرة يستقر فرق الطور عند قيمة تجعل القدرة المتوسطة المنتقلة من القوة إلى النظام أعظم ما يمكن. في نظام مخمّد, تتساوى في الحالة المستقرة الطاقة المتوسطة الداخلة إلى النظام في كل فترة مع الطاقة المتبددة بسبب التخميد, فتثبت السعة. عند الرنين تكون هذه الطاقة المتبادلة أعظم ما يمكن, أي أن النظام يمتص من القوة الدورية أكبر قدر من الطاقة.
يمكن إظهار أن القدرة المتوسطة المنقولة إلى النظام تتناسب مع
$$
P_\text{avg} \propto F_0 \omega X(\omega) \sin\phi.
$$
عند الترددات المنخفضة جداً أو العالية جداً يكون $\sin\phi$ صغيراً, لذلك تكون القدرة المتبادلة ضعيفة. في جوار الرنين يصبح $\phi$ قريباً من $\pi/2$ في حالة تخميد ضعيف, فتكون $\sin\phi \approx 1$, ويزداد $X(\omega)$ أيضاً, لذا تبلغ القدرة المتوسطة قيمة عظمى. هذه هي الصورة الطاقية للرنين.
أمثلة فيزيائية على الرنين
الرنين ظاهرة عامة تظهر في أنظمة كثيرة, ونذكر هنا نماذج مبسطة تساعد على ترسيخ الفكرة الرياضية التي عرضناها. التفاصيل الكاملة لسلوك هذه الأنظمة تدرس عادة في سياقات متخصصة, لكننا نركز على الفكرة المشتركة وهو وجود تردد مفضّل للنظام.
مثال 1: أرجوحة طفل
أرجوحة بسيطة يمكن تقريبها كبندول بسيط. إذا دفعت الأرجوحة بشكل عشوائي وغير منتظم, فإن سعة التأرجح تبقى صغيرة. لكن إذا بدأت تدفعها كل مرة بنفس التواتر بحيث تتوافق دفعة اليد مع زمن الذهاب والإياب للأرجوحة, أي بتردد يساوي التردد الطبيعي للأرجوحة, تزداد سعة التأرجح تدريجياً. هنا اليد تؤدي دور القوة القسرية, والأرجوحة نظام مهتز, والتوافق بين الترددين هو الرنين.
إذا حاولت أن تدفع الأرجوحة بسرعة كبيرة جداً أو ببطء شديد فلن تزداد سعة التأرجح كثيراً. هذا يطابق وصف الاستجابة الترددية للنظام.
مثال 2: رنين الجسور
الجسور والهياكل الكبيرة يمكن أن تمتلك ترددات طبيعية لاهتزازها. إذا تصادف أن كانت الاهتزازات الخارجية من الرياح أو مرور العربات ذات مكوّن ترددي قريب من تردد طبيعي لأحد الأنماط الاهتزازية للجسر, يمكن أن تظهر استجابة رنينية خطيرة تزيد سعة الاهتزاز حتى تتضرر البنية.
في التصميم الهندسي يجب تجنب أن تتوافق الترددات الطبيعية للهيكل مع الترددات المحتملة للأحمال الدورية. كما يمكن زيادة التخميد باستخدام مخمّدات خاصة لكي تخفف من شدة الرنين عند حدوثه.
مثال 3: كسر كأس بلوري بالصوت
في قصص شائعة يمكن لمغنٍّ أن يكسر كأساً زجاجية بصوته. الفكرة أن للكأس ترددات طبيعية للاهتزاز المرن, وإذا أصدر الصوت بتردد مطابق لأحد هذه الترددات وبتخميد قليل يمكن للصوت أن يحفّز رنيناً في جدار الكأس, فتزداد سعة الاهتزاز وتتركز الطاقة في مناطق ضعيفة, مما يؤدي في النهاية إلى الكسر.
في الممارسة العملية يحتاج الأمر إلى مستوى صوت عالٍ جداً وتخميد صغير وتوافق جيد في التردد, لكن المبدأ نفسه هو مبدأ الرنين كما في نموذج الكتلة والنابض.
الرنين النافع والرنين الضار
الرنين ليس ظاهرة سلبية دائماً. في بعض الحالات نرغب في استغلاله, وفي حالات أخرى نحاول تجنّبه.
في الأجهزة الموسيقية مثلاً تستغل ظاهرة الرنين لتضخيم الصوت. أوتار العود أو الكمان وحدها تصدر صوتاً ضعيفاً, لكن صندوق الرنين الخشبي له ترددات طبيعية قريبة من ترددات الأوتار فيعمل كمرنان, يمتص الطاقة من الاهتزازات ويحوّلها إلى صوت مسموع أقوى.
في الدوائر الكهربية يوجد ما يشبه كتلة ونابض, يتمثل في المحث والمكثف. هناك تردد رنيني للدارة, وعند هذا التردد يمكن أن تكون الاستجابة في التيار أو الجهد كبيرة نسبياً. هذا يستغل في المرشحات الترددية وفي اختيار قنوات معينة في أجهزة الاستقبال اللاسلكية.
في المقابل, في تصميم الأبنية والهياكل الهندسية نسعى إلى إبعاد الترددات الطبيعية عن ترددات القوى المتوقعة, وإضافة عناصر تخميد تقلل من حدة الرنين. كذلك في تصميم الآلات الدوّارة يحاول المهندسون تجنب أن تمر السرعة الزاوية للمحور خلال ترددات رنينية خطيرة أو يستخدمون ترتيبات خاصة لعبور هذه السرعات بسرعة مع أقل ضرر ممكن.
الرنين في النماذج غير الخطية
حتى الآن ركّزنا على نموذج خطي حيث علاقة القوة بالإزاحة والسرعة علاقة خطية. في الواقع كثير من الأنظمة تصبح غير خطية عندما تكبر سعة الاهتزاز. في الأنظمة غير الخطية يمكن أن يتغيّر التردد الطبيعي مع السعة, وقد تظهر ظواهر مثل "انحناء" منحنى الرنين أو وجود أكثر من حل مستقر عند نفس التردد, أو حتى تظهر أنماط معقدة تشبه الفوضى عندما تكون القوة القسرية كبيرة.
هذه الظواهر تدرس في سياق الديناميكا غير الخطية والفوضى, لكن من المفيد الإشارة إليها كي نعي أن وصف الرنين الذي قدّمناه صالح أساساً للأنظمة الخطية أو للاهتزازات ذات السعة الصغيرة, أما في حالات السعة الكبيرة فقد يحتاج الأمر إلى نماذج أكثر تعقيداً.
ملخص خصائص الرنين في الاهتزازات القسرية
يمكن تلخيص السمات الأساسية للرنين في الأنظمة الخطية المخمّدة كما يلي
- يوجد تردد مميز $\omega_r$ يكون عنده استجابة النظام في الحالة المستقرة أعظم ما يمكن.
- في النظام غير المخمّد يتطابق تردد الرنين مع التردد الطبيعي $\omega_0$ ويؤدي إلى نمو غير محدود للسعة في النموذج الرياضي.
- في النظام المخمّد ينزاح تردد الرنين قليلاً عن $\omega_0$ وتعتمد السعة الأعظمية على مقدار التخميد. كلما قل التخميد زادت السعة وحدّة القمة.
- عند الرنين يكون فرق الطور بين القوة والحركة يقارب $\pi/2$ في التخميد الضعيف, وتكون القدرة المتوسطة المنتقلة من القوة إلى النظام أعظم ما يمكن.
- ظاهرة الرنين عامة تظهر في أنظمة ميكانيكية وصوتية وكهربائية وغيرها, ويمكن أن تكون مفيدة في تكبير الإشارات أو ضارة إذا أدت إلى أعطال وأضرار في البنى والآلات.
مع فهم هذه السمات يصبح من الممكن التعامل عملياً مع الرنين, سواء باستغلاله في تصميم الأجهزة المرنِّنة أو بتجنبه وتقليل آثاره في الهياكل الميكانيكية والإنشائية.