حلول الحالة المستقرة

تمهيد: ما المقصود بحلول الحالة المستقرة؟

في الاهتزازات القسرية يكون لدينا مهتز خاضع لقوة خارجية دورية، مثل كتلة على نابض يتعرضان لقوة جيبية. رأينا سابقا أن الحركة الكاملة هي مجموع جزأين، حل انتقالي غير مستقر يختفي مع الزمن بسبب التخميد، وحل حالة مستقرة يبقى إلى الأبد ويهتز مع نفس تردد القوة الخارجية.

في هذا الفصل نركّز على هذا الجزء الثاني تحديدا، حلول الحالة المستقرة، وكيفية إيجادها رياضيا، وما الذي يحدد سعتها وطورها، وكيف ترتبط بظاهرة الرنين.

المعادلة القياسية للاهتزاز القسري المخمد

نعتبر النظام القياسي للكتلة والنابض مع تخميد وقوة قسرية جيبية

$$
m \ddot x + b \dot x + k x = F_0 \cos(\omega t),
$$

حيث $m$ الكتلة، و $b$ معامل التخميد اللزج، و $k$ ثابت النابض، و $F_0$ سعة القوة القسرية، و $\omega$ التردد الزاوي للقوة الخارجية، و $x(t)$ الإزاحة.

حل هذه المعادلة يتكوّن من جزئين

$$
x(t) = x_{\text{عام}}(t) + x_{\text{مستقر}}(t),
$$

حيث $x_{\text{عام}}(t)$ هو الحل المتناقص الذي يعود للحركة الحرة المخمدة، ويختفي مع الزمن، أما

$$
x_{\text{مستقر}}(t)
$$

فهو حل الحالة المستقرة الذي نهتم به هنا.

شكل حل الحالة المستقرة

الخاصية الأساسية لحل الحالة المستقرة هي أنه يهتز بنفس تردد القوة القسرية $\omega$، مهما كان التردد الطبيعي للنظام. لذلك نفترض أن للحل المستقر الشكل

$$
x_{\text{مستقر}}(t) = A \cos(\omega t - \varphi),
$$

حيث $A$ سعة الاهتزاز في الحالة المستقرة، و $\varphi$ فرق الطور بين الاستجابة (حركة الكتلة) والقوة الخارجية.

كل ما سنفعله الآن هو إيجاد $A$ و $\varphi$ بدلالة معلمات النظام $m, b, k$ والتردد القسري $\omega$.

إيجاد السعة في الحالة المستقرة

نبدأ بإيجاد الاشتقاقات

$$
\dot x_{\text{مستقر}}(t) = -A \omega \sin(\omega t - \varphi),
$$

$$
\ddot x_{\text{مستقر}}(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t - \varphi).
$$

نعوّض في معادلة الحركة

$$
m(-A \omega^2 \cos(\omega t - \varphi)) + b(-A \omega \sin(\omega t - \varphi)) + k(A \cos(\omega t - \varphi)) = F_0 \cos(\omega t).
$$

نرتب

$$
A\left[k \cos(\omega t - \varphi) - m \omega^2 \cos(\omega t - \varphi) - b \omega \sin(\omega t - \varphi)\right] = F_0 \cos(\omega t).
$$

نستخدم العلاقات المثلثية لكتابة $\cos(\omega t - \varphi)$ و $\sin(\omega t - \varphi)$ بدلالة $\cos(\omega t)$ و $\sin(\omega t)$

$$
\cos(\omega t - \varphi) = \cos\omega t \cos\varphi + \sin\omega t \sin\varphi,
$$

$$
\sin(\omega t - \varphi) = \sin\omega t \cos\varphi - \cos\omega t \sin\varphi.
$$

بعد التعويض وتجميع معاملات $\cos\omega t$ و $\sin\omega t$ يمكن كتابة الطرف الأيسر في صورة

$$
A \left[ C \cos\omega t + S \sin\omega t \right],
$$

حيث

$$
C = (k - m\omega^2)\cos\varphi + b\omega \sin\varphi,
$$

$$
S = (k - m\omega^2)\sin\varphi - b\omega \cos\varphi.
$$

بما أنّ الطرف الأيمن هو $F_0 \cos\omega t$ فقط، فهذا يعني

$$
A C = F_0,
\quad
A S = 0.
$$

لكي يختفي الحد المضروب في $\sin\omega t$ يجب أن يكون $S = 0$. من هذه العلاقة نستخرج الطور، ثم من $C$ نستخرج السعة.

من $S = 0$ نحصل على

$$
(k - m\omega^2)\sin\varphi - b\omega \cos\varphi = 0.
$$

إذن

$$
\tan\varphi = \frac{b\omega}{k - m\omega^2}.
$$

بعد ذلك نستعمل هوية

$$
C^2 + S^2 = (k - m\omega^2)^2 + (b\omega)^2,
$$

وبما أنّ $S = 0$ و $A C = F_0$ نحصل على

$$
A = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (b\omega)^2}}.
$$

هذه الدالة $A(\omega)$ تمثل منحنى الاستجابة الترددية، وهو مفتاح فهم الرنين.

فرق الطور في الحالة المستقرة

سبق أن وجدنا العلاقة

$$
\tan\varphi = \frac{b\omega}{k - m\omega^2}.
$$

هذه المعادلة تخبرنا كيف يتغير فرق الطور بين القوة وموضع الكتلة مع التردد.

يمكن تلخيص سلوك $\varphi$ تقريبيا كما يلي دون الدخول في تفاصيل رسومية

عند الترددات الصغيرة جدا يكون $k \gg m\omega^2$ لذا $\tan\varphi \approx \dfrac{b\omega}{k}$ صغيرة، وبالتالي $\varphi$ قريب من الصفر، أي الإزاحة في طور تقريبا مع القوة.

قرب التردد الطبيعي غير المخمد $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ تصبح $k - m\omega^2$ صغيرة جدا، فتزداد $\tan\varphi$ وتقترب $\varphi$ من $\pi/2$.

عند الترددات العالية جدا يكون $m\omega^2 \gg k$، فيصبح $k - m\omega^2$ سالبا وكبيرا بالقيمة المطلقة، وتقارب $\varphi$ القيمة $\pi$، أي تصبح الإزاحة معاكسة تقريبا في الطور للقوة.

هذه العلاقة بين الطور والتردد سمة أساسية لحلول الحالة المستقرة، ولها تطبيقات واسعة في تحليل الدوائر الكهربائية المماثلة وفي تقنيات المرشحات.

الرنين في إطار الحالة المستقرة

تظهر ظاهرة الرنين في حل الحالة المستقرة من خلال اعتماد السعة $A(\omega)$ على التردد. إذا أهملنا التخميد تماما أي $b = 0$ نحصل على

$$
A(\omega) = \frac{F_0}{|k - m\omega^2|}.
$$

يصبح المقام صفرا عند

$$
\omega = \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}},
$$

فتقترب السعة إلى مالانهاية في الوصف المثالي، وهذا هو الرنين المثالي.

في النظام المخمد غير الصفري $b \neq 0$ لا تصل السعة إلى مالانهاية، لكن يبقى هناك تردد تقريبي يكون عنده $A(\omega)$ أعظمية. في حالة التخميد الضعيف يكون هذا التردد قريبا جدا من $\omega_0$.

هذا التضخيم في الاستجابة هو جوهر الرنين كما يظهر بوضوح في حلول الحالة المستقرة، ويؤكد أن ما يهم على المدى الطويل هو هذا الحل المستقر، لا الجزء الانتقالي الذي يختفي.

تمثيل حلول الحالة المستقرة باستخدام الأعداد المركبة

لحساب حلول الحالة المستقرة بشكل أنيق يمكن استعمال الأعداد المركبة. بدلا من كتابة القوة على صورة $\cos$ نستعمل الممثل المركب

$$
F(t) = \Re\{ \tilde F e^{i\omega t} \}
\quad \text{حيث} \quad
\tilde F = F_0.
$$

ونفترض حلا مركبا من الشكل

$$
x_{\text{مستقر}}(t) = \Re\{ \tilde X e^{i\omega t} \},
$$

حيث $\tilde X$ عدد مركب نسميه السعة المركبة أو المتجه الطوري.

في هذا التمثيل تصبح المشتقات

$$
\dot x \leftrightarrow i\omega \tilde X e^{i\omega t},
\quad
\ddot x \leftrightarrow -\omega^2 \tilde X e^{i\omega t}.
$$

بالتعويض في المعادلة التفاضلية نستبدلها بمعادلة جبرية في $\tilde X$

$$
\left( -m\omega^2 + i b\omega + k \right) \tilde X e^{i\omega t} = \tilde F e^{i\omega t}.
$$

نختصر $e^{i\omega t}$ فنحصل على

$$
\left( k - m\omega^2 + i b\omega \right) \tilde X = \tilde F.
$$

إذن

$$
\tilde X = \frac{\tilde F}{k - m\omega^2 + i b\omega}.
$$

السعة الفعلية هي القيمة المطلقة للعدد المركب $\tilde X$

$$
A = |\tilde X| = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (b\omega)^2}},
$$

وهو نفس التعبير الذي حصلنا عليه سابقا بالطريقة المثلثية. أما فرق الطور فهو زاوية العدد المركب $\tilde X$

$$
\varphi = \arg(\tilde X) = \tan^{-1}\left( \frac{b\omega}{k - m\omega^2} \right).
$$

هذه الطريقة تصبح أساسية عند التعامل مع أنظمة أكثر تعقيدا أو عند دراسة أنظمة كهربائية مكافئة، إذ تختزل المعادلات التفاضلية إلى معادلات جبرية في التردد.

حلول الحالة المستقرة للسرعة والتسارع

في كثير من التطبيقات لا نكتفي بمعرفة إزاحة المهتز في الحالة المستقرة، بل نهتم بسلوك السرعة أو التسارع. إذا كان

$$
x_{\text{مستقر}}(t) = A \cos(\omega t - \varphi),
$$

فإن السرعة

$$
v_{\text{مستقر}}(t) = \dot x_{\text{مستقر}}(t) = -A\omega \sin(\omega t - \varphi).
$$

يمكن كتابة هذه السرعة على شكل جيب تمام أيضا

$$
v_{\text{مستقر}}(t) = A\omega \cos\left(\omega t - \varphi - \frac{\pi}{2}\right).
$$

أي أنّ

السعة المستقرة للسرعة هي $A_v = A\omega$.

فرق الطور بين السرعة والقوة يساوي $\varphi + \dfrac{\pi}{2}$.

وبالمثل يكون التسارع

$$
a_{\text{مستقر}}(t) = \ddot x_{\text{مستقر}}(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t - \varphi)
= A\omega^2 \cos\left(\omega t - \varphi - \pi\right).
$$

إذن

السعة المستقرة للتسارع هي $A_a = A\omega^2$.

فرق الطور بين التسارع والقوة يساوي $\varphi + \pi$ تقريبا أي أن التسارع يكون غالبا معاكسا في الطور للإزاحة.

هذه العلاقات تبين أن الرنين قد يظهر بصورة أوضح في سرعة أو تسارع النظام، حسب ما نقيسه في التجربة.

الخصائص العامة لحلول الحالة المستقرة

من خلال الصيغ الماضية يمكن تلخيص الطابع العام لحلول الحالة المستقرة في الاهتزازات القسرية فيما يلي، مع توضيح رياضي مختصر مرتبط بمعادلات هذا الفصل

أولا، في الحالة المستقرة يختفي تأثير شروط البدء، فلا يهم من أين بدأنا الحركة، جميع الحلول تتقارب إلى حل وحيد يهتز بتردد القوة القسرية. السبب أن الجزء الانتقالي من الحل يتضمن عوامل تناقصية زمنية تختفي مع الزمن، بينما يبقى الجزء المتزامن مع القوة الدورية.

ثانيا، شدة استجابة النظام تعتمد بشدة على التردد من خلال الدالة $A(\omega)$، وهذا ما يفسر أن بعض الترددات "تُسمع" أو "تُرى" بقوة أكبر من غيرها في الأنظمة الاهتزازية.

ثالثا، ليس مقدار السعة فقط هو المهم، بل أيضا فرق الطور $\varphi(\omega)$ الذي يحدد هل تتقدم استجابة النظام على القوة، أم تتأخر عنها، أو تكون في الطور معها. وهذا يلعب دورا حاسما في التحكم والأنظمة الهندسية، حيث قد يؤدي فرق طور غير مرغوب إلى عدم استقرار.

رابعا، صيغة السعة المركبة $\tilde X(\omega)$ تبيّن أن النظام يمكن اعتباره "مرشحا تردديا" يمرر بعض الترددات بشدة أكبر من غيرها. هذه الفكرة تربط مباشرة بين الاهتزازات الميكانيكية ومعالجة الإشارات الكهربائية والصوتية.

من خلال هذه الخصائص نفهم أن حلول الحالة المستقرة ليست مجرد جزء من الحل الرياضي، بل هي التي تصف ما نراه في الواقع بعد فترة كافية من تشغيل أي نظام اهتزازي خاضع لإجبار دوري.