Table of Contents
تمهيد إلى الحركة الدورانية
الحركة الدورانية هي الصورة الأخرى للحركة في الميكانيكا الكلاسيكية إلى جانب الحركة الانتقالية. في الحركة الانتقالية يتحرك الجسم بحيث تنتقل جميع نقاطه تقريبًا بالشكل نفسه في الفضاء، بينما في الحركة الدورانية يدور الجسم حول محور معين بحيث تتحرك النقاط في مسارات دائرية حول هذا المحور.
في هذا الفصل نركّز على المفاهيم الأساسية للحركة الدورانية التي ستكون أساسًا لما يأتي لاحقًا من كينماتيكا زاوية، وديناميكا دورانية، وزخم زاوي. لن ندخل بعد في التفاصيل الرياضية الدقيقة للعزم أو عزم القصور الذاتي، فهذه ستكون موضوعات خاصة في الفصول الفرعية.
الحركة الدورانية لا تظهر فقط في الأجسام الصلبة الصرفة، بل في كل حالة يوجد فيها محور دوران واضح، مثل دوران العجلات، ولفّ المروحة، وحركة الكواكب حول محاورها، بل وحتى دوران الإلكترونات في نماذج مبسّطة. ومع أن الحركة المدارية حول مركز جاذبية قد تبدو حركة "دائرية" أو "إهليلجية"، إلا أن ما نعنيه هنا بالحركة الدورانية هو دوران جسم حول محور مار داخله أو خارجه، مع تركيز خاص على محور ثابت في أبسط الحالات.
مقارنة بين الحركة الانتقالية والحركة الدورانية
من المفيد أن نفهم الحركة الدورانية عبر مقارنتها بالحركة الانتقالية التي تمت دراستها في علم الحركة والديناميكا الخطية.
في الحركة الانتقالية نستخدم كميات مثل الموضع $x$، السرعة $v$، التسارع $a$، والقوة $F$. في الحركة الدورانية توجد كميات "نظيرة" تلعب الدور نفسه ولكن في إطار الزوايا، مثل الموضع الزاوي، والسرعة الزاوية، والتسارع الزاوي، والعزم. هذه النظائر ستظهر بوضوح في الفصول الفرعية، لكن الفكرة العامة مفيدة هنا لفهم الصورة الكاملة.
يمكن تخيل جدول تقابلي بين الكميات الخطية والكميات الزاوية، مع الانتباه إلى أن هذا التقابل ليس مجرد تشابه شكلي بل له أساس فيزيائي عميق، وسوف يُستثمر في صياغة "الصيغة الدورانية لقوانين نيوتن" التي ستأتي في فصل لاحق.
العلاقة الأساسية بين الإزاحة الخطية على محيط دائرة نصف قطرها $r$ والإزاحة الزاوية $\theta$ هي:
$$
s = r \, \theta
$$
حيث $s$ مسافة على القوس، و$\theta$ بالـراديان.
هذه العلاقة هي الجسر بين الوصف الخطي والوصف الزاوي للحركة على مسار دائري، وستُستعمل لاحقًا لربط السرعة الخطية بالسرعة الزاوية، والتسارع الخطّي بالتسارع الزاوي.
مفهوم محور الدوران
في الحركة الدورانية نميّز وجود "محور دوران" وهو خط مستقيم تبقى نقاطه ثابتة أثناء الحركة، بينما تتحرك باقي نقاط الجسم في مسارات دائرية حول هذا المحور. يمكن أن يكون المحور:
- مارًا بمركز الجسم تقريبًا، مثل دوران عجلة حول محورها المركزي.
- خارج الجسم، مثل دوران كوكب حول الشمس إذا حُوّل إلى نموذج دوران جسم حول نقطة خارجية.
- ثابتًا في الفضاء، أو ثابتًا بالنسبة للجسم، أو متحركًا بشكل أكثر تعقيدًا عند دراسة الحركة العامة للأجسام الصلبة.
في هذا الفصل نهتم بصورة أساسية بالحركة الدورانية حول محور ثابت، لأن هذه الحالة هي الأبسط رياضيًا وفيزيائيًا، وهي التي تمهّد لفهم عزم القصور الذاتي والعزم والزخم الزاوي.
من المهم أن ندرك أن اختيار محور الدوران ليس مجرد اختيار هندسي، بل له آثار مباشرة على الكميات الفيزيائية التي سنستخدمها. فمثلًا عزم القصور الذاتي يعتمد بشكل حاسم على موضع هذا المحور، وهذا ما يظهر بوضوح في مبرهنة المحور الموازي في فصل لاحق.
الحركة الدائرية كنموذج بسيط للدوران
أبسط صورة للحركة الدورانية هي الحركة الدائرية لجسيم أو نقطة مادية حول نقطة ثابتة. عند دراسة جسيم يتحرك على دائرة نصف قطرها ثابت $r$، يمكننا اعتباره نموذجًا مبسّطًا لحركة نقطة على سطح جسم صلب يدور حول محور ثابت.
إذا كانت النقطة تتحرك بحيث تبقى المسافة بينها وبين محور الدوران ثابتة، فإن موضعها يتغير زاويًا مع الزمن. الموضع الخطي على محيط الدائرة يرتبط بالزاوية كما ذكرنا بعلاقة $s = r \theta$، وبالمثل يمكننا مستقبلاً تعريف السرعة والتسارع باستخدام المشتقات بالنسبة للزمن.
مثال مبسّط
تخيّل نقطة مرسومة على حافة قرص يدور حول محور يمر بمركزه. إذا دار القرص بحيث تغيّرت زاوية النقطة من $\theta_1$ إلى $\theta_2$، فإن الإزاحة على المحيط تساوي:
$$
\Delta s = r (\theta_2 - \theta_1)
$$
إذا كان نصف قطر القرص $r = 0.1 \, \text{m}$ وتغيرت الزاوية من $0$ إلى $\pi$ راديان، فإن النقطة قد قطعت نصف المحيط:
$$
\Delta s = 0.1 \times \pi \approx 0.314 \, \text{m}
$$
هذا النموذج البسيط يوضح كيف أن كل نقطة من نقاط الجسم الصلب الذي يدور حول محور ثابت تتحرك كما لو كانت جسيمًا يتحرك في مسار دائري بنصف قطر يساوي بعدها عن المحور.
الزاوية كوصف أساسي للحركة الدورانية
في الحركة الخطية نستخدم الإحداثيات الخطية، مثل $x$ أو $y$، لوصف الموضع. في الحركة الدورانية الوصف الأكثر طبيعية هو الزاوية. القياس الافتراضي في الميكانيكا هو الراديان لأنه يرتبط مباشرة بالطول على محيط الدائرة وفق العلاقة $s = r \theta$ دون إدخال ثوابت تحويل.
يمكن تعريف الموضع الزاوي كنسبة بين طول القوس الذي قطعه الجسم على دائرة نصف قطرها $r$ وبين هذا النصف قطر:
$$
\theta = \frac{s}{r}
$$
حيث $\theta$ بوحدة الراديان. من هذه العلاقة تأتي مباشرة صيغة $s = r \theta$ التي رأيناها.
استخدام الزاوية بدلاً من المسافة الخطية يجعل وصف الحركة الدورانية أكثر بساطة وأقرب إلى الطبيعة الهندسية للحركة. لاحقًا سوف يُشتق من الموضع الزاوي كل من السرعة الزاوية والتسارع الزاوي كما اشتُقت السرعة والتسارع من الموضع في الحركة الانتقالية.
الكميات الفيزيائية في الحركة الدورانية
الحركة الدورانية تتطلب مجموعة من الكميات التي تصفها، على نحو مشابه لما فعلناه في الحركة الخطية. في الفصول الفرعية سيتم تعريف ودراسة:
- الموضع الزاوي، السرعة الزاوية، والتسارع الزاوي، والتي تشكل الكينماتيكا الزاوية.
- القوة المركزية، وهي نوع خاص من القوى يرتبط بالحركة الدائرية والحركة المنحنية عمومًا.
- العزم، وطاقة الدوران، وعزم القصور الذاتي، وهي مفاهيم أساسية في الديناميكا الدورانية.
- الزخم الزاوي وقانون حفظه، وهما نظيران للزخم الخطي وحفظه في الحركة الانتقالية.
هنا يكفينا أن نفهم أن الحركة الدورانية ليست عالمًا منفصلًا عن الحركة الانتقالية، بل هي امتداد لها مع استبدال الكميات الخطية بأخرى زاوية مرتبطة بالدوران حول محور محدد.
التقابل العام بين الكميات الخطية والدورانية يمكن تلخيصه بصيغة رمزية على النحو الآتي:
الموضع الخطي $x$ يقابله الموضع الزاوي $\theta$
السرعة $v$ يقابلها السرعة الزاوية $\omega$
التسارع $a$ يقابله التسارع الزاوي $\alpha$
هذا التقابل سيكون أساسًا لصياغة معادلات تشبه تمامًا معادلات الحركة الخطية ولكن في سياق الدوران، مثل المعادلة الدورانية المقابلة لقانون نيوتن الثاني.
الجسم الصلب والدوران حول محور ثابت
لأغراض هذا الفصل نفترض في الغالب أن الجسم صلب أي أن المسافات بين أي نقطتين من نقاطه تبقى ثابتة أثناء الحركة. في هذه الحالة يمكن تمثيل حركة الجسم الدورانية حول محور ثابت بحركة كل نقطة من نقاطه على دائرة نصف قطرها يساوي بعدها عن المحور.
هذا التصور يعطي صورة واضحة مفادها أن الجسم الصلب الذي يدور حول محور ثابت يمكن تحليله إلى مجموعة كبيرة من الحركات الدائرية لنقاطه. كل حلقة من حلقات المادة في الجسم تبعد مسافة مختلفة عن المحور، لذلك تتحرك بسرعات خطية مختلفة، مع أن لها جميعًا نفس السرعة الزاوية.
هذه الفكرة قد تبدو بسيطة، لكنها جوهرية في فهم كيفية توزيع الكتلة حول المحور وتأثير هذا التوزيع في عزم القصور الذاتي، وبالتالي في المقاومة الدورانية للتسارع الزاوي، وهو ما سيتم تناوله بالتفصيل في الديناميكا الدورانية.
مثال توضيحي
اعتبر قرصًا يدور حول محور مار بمركزه. نقطة على حافة القرص تبعد عن المحور مسافة $R$، ونقطة أخرى أقرب تبعد مسافة $r < R$. إذا كان القرص يدور بسرعة زاوية ثابتة $\omega$، فإن السرعة الخطية على الحافة هي:
$$
v_{\text{حافة}} = R \, \omega
$$
بينما السرعة الخطية للنقطة الأقرب:
$$
v_{\text{داخل}} = r \, \omega
$$
مع أن السرعة الزاوية واحدة، فإن السرعات الخطية تختلف باختلاف البعد عن المحور.
هذا الاختلاف في السرعات الخطية مع ثبات السرعة الزاوية جزء أساسي لفهم الطاقة الحركية الدورانية لاحقًا، وكيفية مشارَكة كل جزء من الكتلة في هذه الطاقة وفق موضعه من المحور.
الدوران المنتظم والدوران المتسارع
كما في الحركة الخطية حيث نميز بين الحركة المنتظمة بسرعات ثابتة والحركة المتسارعة، في الحركة الدورانية نميز أيضًا بين:
- دوران منتظم، حيث تكون السرعة الزاوية ثابتة مع الزمن. في هذه الحالة يكون الموضع الزاوي دالة خطية في الزمن، ويكون التسارع الزاوي منعدمًا.
- دوران متسارع، حيث تتغير السرعة الزاوية مع الزمن. في هذه الحالة يظهر التسارع الزاوي، وتدخل قوى وعزوم لتفسير هذا التغيّر.
هذه التفرقة أساسية لأن العديد من الأنظمة الواقعية، مثل العجلات عندما تبدأ بالحركة أو تتوقف، تخضع لدوران متسارع، في حين أن حالات أخرى مثل دوران الأرض حول محورها يمكن تقريبها كدوران منتظم تقريبًا.
في الكينماتيكا الزاوية سوف تُشتق معادلات حركة تشبه المعادلات الخطية للحركة بتسارع ثابت، مثل:
$$
\omega = \omega_0 + \alpha t
$$
وغيرها من العلاقات التي تربط الموضع الزاوي بالسرعة الزاوية والتسارع الزاوي والزمن، ولكن هذه التفاصيل ستترك للفصل الفرعي المختص.
القياس والدورات والزمن الدوري
من الظواهر المميزة للحركة الدورانية كونها غالبًا حركة "متكررة". أي أن الجسم يعود إلى نفس الوضعية الزاوية بعد كل دورة كاملة. لذلك يظهر في هذا السياق مفهوم "الدورة" و"الزمن الدوري" و"التردد".
في أبسط صورة، إذا استغرق الجسم زمنًا $T$ لإتمام دورة كاملة حول محوره، يُسمى هذا الزمن "الزمن الدوري". ويمكن تعريف التردد $f$ كعدد الدورات في الثانية، وهو معكوس الزمن الدوري:
$$
f = \frac{1}{T}
$$
العلاقة بين السرعة الزاوية $\omega$ والتردد $f$ هي:
$$
\omega = 2\pi f
$$
حيث $2\pi$ راديان تمثل دورة كاملة واحدة.
هذه العلاقة تربط الوصف الزمني المتقطع "عدد الدورات" بالوصف الزاوي المستمر "السرعة الزاوية". كثير من الأجهزة الدوارة تقاس سرعاتها بعدد الدورات في الدقيقة، ويمكن بسهولة تحويلها إلى سرعة زاوية باستخدام هذه العلاقة.
تطبيقات فيزيائية للحركة الدورانية
الحركة الدورانية ليست مجرد حالة خاصة أو هامشية، بل تتحكم في عدد ضخم من التطبيقات الفيزيائية والهندسية. من الأمثلة على ذلك:
- دوران الكواكب والنجوم حول محاورها، مما يؤثر في شكلها ومجالاتها الجاذبية والمغناطيسية.
- عمل المحركات والمولدات الكهربائية التي تعتمد على دوران أجزاء ميكانيكية حول محاور ثابتة.
- حركة العجلات والتروس في الآلات، وهو أساس علم الميكانيكا التطبيقية.
- استقرار وتوجّه الأجسام الطائرة، حيث يلعب الزخم الزاوي دورًا مهمًا، مثل دوران الجيروسكوبات والأقمار الاصطناعية.
هذه التطبيقات تجعل من الضروري أن نطوّر فهمًا عميقًا للحركة الدورانية ليس فقط من حيث الكينماتيكا بل ومن حيث الديناميكا، أي القوى والعزوم والعلاقة بالطاقة والزخم الزاوي.
نحو ديناميكا الدوران والزخم الزاوي
الفصول اللاحقة ضمن هذا الباب ستأخذ ما تمهّد هنا وتطوّره إلى بنية رياضية وفيزيائية كاملة. في الكينماتيكا الزاوية سنضع الوصف الرياضي لكيفية تغيّر الموضع الزاوي مع الزمن، وفي الديناميكا الدورانية سندخل العزم وعزم القصور الذاتي وطاقة الدوران. أما الزخم الزاوي فسيمثّل الكمية المحفوظة في الأنظمة ذات التناظر الدوراني، كما الزخم الخطي في الأنظمة التي لا تتغيّر تحت انتقالات مكانية.
الفكرة المركزية التي ينبغي أن تبقى حاضرة هي أن كل ما تم تعلمه عن الحركة الخطية تقريبًا له نظير في عالم الدوران، وأن فهم هذا التقابل يساعد كثيرًا في تكوين حدس فيزيائي واضح. في الوقت نفسه، توجد خصائص خاصة للحركة الدورانية لا تظهر في الحركة الانتقالية، مثل اعتماد عزم القصور الذاتي على توزيع الكتلة حول المحور، وهذه الخصائص هي التي تعطي للحركة الدورانية طابعها المميز في الفيزياء.