Table of Contents
مقدمة عامة للأدوات الرياضية في الميكانيكا الكلاسيكية
الفيزياء عموًما، والميكانيكا الكلاسيكية خصوصًا، تحتاج إلى لغة دقيقة نعبر بها عن الكميات والعلاقات والقوانين. هذه اللغة هي الرياضيات. في هذا الفصل نمهّد للأدوات الرياضية الأساسية التي سنستخدمها في بقية الكتاب، من غير أن ندخل في التفاصيل التي ستأخذ حقها في الفصول الفرعية مثل المتجهات، والتفاضل والتكامل، وحساب المتجهات.
هنا نوضح لماذا نحتاج هذه الأدوات، وكيف نفكر بها، وكيف نربطها بالواقع الفيزيائي، كي لا تبدو العلاقات الرياضية مجرد رموز معزولة عن الظواهر التي نصفها.
من الكميات الفيزيائية إلى الرموز والمعادلات
في التجربة اليومية نستعمل كلمات مثل موقع، سرعة، مسافة، قوة، كتلة، زمن. في الفيزياء لا يكفي الوصف بالكلمات، بل نحتاج إلى تمثيل منضبط لهذه الكميات. لهذا نستخدم الرموز، مثل $x$ للموقع على خط مستقيم، أو $t$ للزمن، أو $m$ للكتلة.
الكميات الفيزيائية نوعان رئيسيان، كميات قياسية وكميات متجهة، وسيُفصَّل الكلام عنهما في فصل منفصل. ما يهمنا هنا هو الفكرة العامة، عندما نكتب علاقة مثل
$$
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
$$
فنحن لا نستعمل الأعداد من أجل الأعداد ذاتها، بل لكي نصف تغيرًا في موقع جسم مع مرور الزمن. المعادلات إذن ترجمة رياضية لعلاقات فيزيائية.
لهذا السبب تتكرر نفس الأدوات الرياضية في سياقات فيزيائية مختلفة. الاشتقاق مثلًا يظهر في السرعة والتسارع، ثم في الشغل والطاقة، ثم في لاغرانج وهاملتون. التكامل يظهر في حساب الشغل من قوة متغيرة، وفي حساب الكتلة من كثافة، وفي حساب الشحنات والتيارات في سياقات أخرى.
متى نستخدم الجبر، ومتى نستخدم التفاضل والتكامل؟
في أبسط صور الميكانيكا يمكن أن نكتفي بالعلاقات الجبرية التي تربط بين كميات ثابتة أو تتغير بطريقة بسيطة جدًا، مثل علاقة متوسط السرعة أو صيغة الشغل عندما تكون القوة ثابتة.
لكن معظم الظواهر الفيزيائية تتضمن تغيرًا مستمرًا مع الزمن أو مع المكان. عندما يتغير موقع الجسم في كل لحظة، وعندما تتغير القوة من نقطة لأخرى، لا تكفي المعادلات الجبرية البسيطة. هنا يأتي التفاضل والتكامل كأدوات للتعامل مع التغير المستمر.
بشكل عام نستعمل:
التفاضل لوصف معدل التغير، مثل السرعة بوصفها تغير الموقع مع الزمن، أو القوة بوصفها مشتقة طاقة كامنة بالنسبة إلى الموضع في سياق لاحق.
التكامل لجمع مساهمات صغيرة كثيرة إلى كمية إجمالية، مثل جمع أجزاء صغيرة من الشغل عندما تتغير القوة مع المسافة، أو جمع كتل صغيرة لتحديد مركز الكتلة.
في الفصول الفرعية الخاصة بالتفاضل والتكامل سيُشرح هذا بشكل أكثر تنظيمًا، الدوال، المشتقات، التكاملات، والمشتقات الجزئية والكلية.
فكرة المتجه كأداة لوصف المكان والحركة
في الميكانيكا لا يكفي غالبًا أن نعرف مقدار الكمية، بل نحتاج أيضًا إلى اتجاهها. القوة مثلًا لا تتحدد فقط بقيمتها العددية، بل أيضًا بالاتجاه الذي تؤثر فيه. لهذا نستعمل المتجهات.
المتجه في الحس الفيزيائي هو سهم له طول واتجاه، يمكن أن يمثل إزاحة أو سرعة أو قوة. رياضيًا نحتاج إلى نظام إحداثيات لوصف هذا السهم بأعداد، مثل $(x, y)$ في بعدين، أو $(x, y, z)$ في ثلاثة أبعاد. كيفية العمل مع هذه المتجهات، جمعًا وتحليلًا وضربًا، ستأتي في الفصول الفرعية المخصصة للكميات القياسية والمتجهات وجبر المتجهات والضرب القياسي والاتجاهي.
ما يهم هنا هو إدراك أن الانتقال من بعد واحد إلى أبعاد متعددة لا يغيّر جوهر الفيزياء، بل يضيف تعقيدًا شكليًا يتطلب أداة رياضية أعم وهي المتجهات. فبدل أن تكون السرعة مجرد عدد موجب أو سالب، تصبح سهمًا في الفضاء.
من العلاقات النوعية إلى المعادلات التفاضلية
في كثير من المسائل الفيزيائية لا نقول فقط إن كمية ما تتغير، بل نحدد كيف يرتبط معدل تغيرها بكميات أخرى. مثلًا يمكن أن تكون القوة المؤثرة على كتلة ما متناسبة مع إزاحتها، أو متناسبة مع سرعتها، أو مع مربع سرعتها في بعض الحالات التقريبية.
عندما يكون لدينا قانون من نوع "معدل تغير كمية ما يساوي تعبيرًا يعتمد على تلك الكمية نفسها أو على متغيرات أخرى"، فهذا يقودنا إلى معادلات تفاضلية. المعادلة التفاضلية هي علاقة تتضمن دالة ومشتقاتها، مثل:
$$
m \frac{d^2 x}{dt^2} = -kx
$$
ستُستخدم مثل هذه المعادلات لاحقًا لوصف حركة الكتلة على نابض، والبندول، وأنظمة أكثر تعقيدًا. في هذا الفصل لا نحاول حل هذه المعادلات بشكل عام، بل ننبه إلى أن اللغة الطبيعية لعلاقة "قوة تتناسب مع إزاحة" أو "تسارع يتناسب مع سرعة" تتحول إلى صيغة رياضية تفاضلية.
حل هذه المعادلات يعطينا الدالة $x(t)$ أو $v(t)$ التي تصف تطور الحالة الفيزيائية مع الزمن. معظم الميكانيكا، في جوهرها، هي عملية ترجمة من وصف فيزيائي إلى معادلة رياضية، ثم حل هذه المعادلة، ثم تفسير النتيجة فيزيائيًا.
من الأعداد إلى الفضاء: أنظمة الإحداثيات وحساب المتجهات
عندما ننتقل من الحركة على خط مستقيم إلى الحركة في مستوى أو في فضاء ثلاثي الأبعاد، نحتاج إلى نظام إحداثيات. نظام الإحداثيات هو طريقة منظمة لربط كل نقطة في الفضاء بمجموعة من الأعداد. الأكثر شيوعًا هو النظام الديكارتي الذي يستخدم محاور متعامدة، لكن توجد أنظمة أخرى مثل الإحداثيات القطبية والاسطوانية والكروية، ستناقش بإيجاز في فصل أنظمة الإحداثيات.
عندما تكون الكميات متجهة وتتغير من نقطة إلى أخرى، لا يكفي أن نأخذ مشتقة عددية بسيطة. عندها نحتاج إلى ما يسمى بحساب المتجهات، الذي يقدم لنا مؤثرات مثل التدرج والتباعد والدوران. هذه الأدوات تُستخدم بكثافة في المجالات المتقدمة مثل الجاذبية والإلكتروستاتيك والديناميكا الحرارية، لكن بذورها تُغرس هنا في سياق الميكانيكا الكلاسيكية.
سيأتي في فصل "حساب المتجهات" شرح التدرج بوصفه طريقة لقياس تغير دالة عددية في الفضاء، والتباعد بوصفه مقياسًا لانتشار متجه من نقطة، والدوران بوصفه مقياسًا للالتفاف حول نقطة.
الترميز، الوحدات، والأبعاد في التعامل الرياضي
العمل الرياضي في الفيزياء يتطلب عناية بالرموز والوحدات معًا. لا يكفي أن تكون المعادلة صحيحة شكليًا، بل يجب أن تكون منسجمة بعديًا. فلا يمكن مثلًا جمع كمية ذات أبعاد طول مع أخرى ذات أبعاد زمن.
في هذا الفصل نؤكد على بعض عادات العمل الجيدة:
عندما تكتب معادلة، تحقق من أن الأطراف جميعًا تحمل نفس الأبعاد الفيزيائية. في معادلة السرعة:
$$
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
$$
البعد على الطرف الأيمن هو بعد السرعة، وعلى الطرف الأيسر نقسم طولًا على زمن، وهذا متسق.
عند الانتقال من الصيغة النظرية إلى الأعداد، حافظ على الوحدات المصاحبة لكل كمية حتى الخطوة الأخيرة من الحساب. مثلًا لا تكتب فقط $5$ بل اكتب $5\,\text{m/s}$ أو $5\,\text{s}$ حسب السياق.
قاعدة أساسية في المعادلات الفيزيائية
لا يجوز جمع أو طرح كميات ذات أبعاد فيزيائية مختلفة. إذا وجدت في معادلة حدًا بوحدة المتر وحدًا آخر بوحدة الثانية وهما في عملية جمع مباشرة، فهذه إشارة قوية إلى خطأ فيزيائي أو رياضي في الصياغة.
ستُناقش الوحدات والأبعاد بشكل منظّم في فصل خاص في المقدمة، لكن من المفيد منذ الآن أن تتعامل مع الأبعاد كأداة فحص سريعة لأي معادلة.
التقريبات والنماذج في الصياغة الرياضية
ليس كل ما في الطبيعة يمكن وصفه بمعادلات بسيطة. في الواقع، معظم الظواهر معقدة جدًا، لذا نلجأ إلى بناء نماذج مبسطة. النماذج الفيزيائية والتقريبات لها فصلها الخاص، لكن هنا نربطها بالأدوات الرياضية.
عندما نقول إن الهواء مهمل، أو أن الاحتكاك صغير، أو أن زاوية البندول صغيرة، فغالبًا ما يكون الهدف تحويل مسألة معقدة إلى معادلة أبسط يمكن التعامل معها رياضيًا. مثلًا عندما تكون الزاوية $\theta$ صغيرة يمكن أن نستخدم التقريب
$$
\sin\theta \approx \theta
$$
إذا كانت $\theta$ معبرة بالراديان. هذا التقريب يجعل المعادلات التفاضلية للبندول تأخذ شكلًا بسيطًا يمكن حله بسهولة. التقريبات من هذا النوع تربط بين التحليل الرياضي الدقيق وواقع التجربة التي تكون دائمًا تقريبية.
مثال على دور التقريب الرياضي
تخيل حركة جسم يسقط في الهواء. النموذج الأكثر بساطة يهمل مقاومة الهواء، فيكون التسارع ثابتًا ومعادلة الحركة خطية وسهلة الحل. عندما نريد نموذجًا أدق نضيف قوة مقاومة الهواء، فنحصل على معادلة تفاضلية أكثر تعقيدًا. في السرعات الصغيرة يمكن تقريب مقاومة الهواء بأنها متناسبة مع السرعة $v$، وفي السرعات الكبيرة بأنها تتناسب مع $v^2$. كل اختيار يؤدي إلى معادلة مختلفة، وجميعها نماذج تقريبية للواقع.
الأدوات الرياضية نفسها لا تخبرنا أي تقريب هو الأنسب، لكنها تعطي طريقة منظمة لرؤية نتائج كل اختيار، ومقارنة تلك النتائج بالتجربة.
من الرياضيات إلى الفهم الفيزيائي
هدف هذا الفصل ليس أن يحوّلك إلى خبير رياضيات بل أن يوضح الدور الذي تلعبه الأدوات الرياضية في بناء الميكانيكا الكلاسيكية. في الفصول اللاحقة ستقابل المتجهات في وصف الحركة في بعدين وثلاثة أبعاد، والتفاضل في تعريف السرعة والتسارع، والتكامل في حساب الشغل والطاقة، والمعادلات التفاضلية في وصف الاهتزازات والموجات والنسبية.
من المهم أن تنظر إلى كل أداة رياضية على أنها جزء من لغة نعبر بها عن الطبيعة. عندما نتقن هذه اللغة نصبح قادرين على الانتقال من وصف لفظي مثل "الجسم يتحرك بسرعة تزداد بانتظام" إلى علاقة رياضية مثل
$$
a = \frac{dv}{dt} = \text{ثابت}
$$
ومنها إلى معادلات الحركة، ثم إلى تنبؤات رقمية يمكن اختبارها في تجربة.
كل فصل فرعي ضمن "الأدوات الرياضية" سيتناول جانبًا محددًا من هذه اللغة، وسيبني، خطوة خطوة، ما نحتاجه لفهم بقية فصول الميكانيكا الكلاسيكية على أرضية صلبة.